Курсовая работа Теория электрических цепей. КУРСОВАЯ ТЭЦ. Курсовая работа по дисциплине Основы теории цепей

• Название: Курсовая работа по дисциплине Основы теории цепей
• Анкор: Курсовая работа Теория электрических цепей
• Дата: 05.11.2020
• Размер: 0.54 Mb.
• Имя файла: КУРСОВАЯ ТЭЦ.doc
• Тип: Курсовая; #148126

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики.
Межрегиональный центр переподготовки специалистов


КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Основы теории цепей»

Выполнила:

студентка группы МДТ-81 Зинченко М. В.

2008

19 вариант
Задание на курсовую работу:

На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы (рис.1) с параметрами: t_и – длительность импульсов, T_и – период следования; T_н – период несущей частоты; U_mн – амплитуда несущего колебания, имеющего форму гармонического u_н(t) = U_mн × cos ω_н t.



Сопротивления генератора радиоимпульсов R_г и сопротивление нагрузки Rн пассивного фильтра одинаковы: R_г = R_н = R. Для варианта 19: R = 600 Ом. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Требуется рассчитать двусторонне нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эффективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (f_н – 1/t_и) до (f_н + 1/t_и).

№№ вариантов	Тн, мкс	tи, мкс	Ти, мкс	А, дБ	Апол, дБ
19 и 44	16	80	232	3	35

Вариант	Umн, В
19	15

 

В ходе выполнения курсовой работы необходимо:

1. 
   Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов.
   
2. 
   Определить частоты f_п2 и f_з2 и рассчитать превышение амплитуды частоты f_п2 над амплитудой частоты f_з2 в децибелах в виде соотношения А¢ = 20lgU_mп/U_mз на входе фильтра.
   
3. 
   Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания А_min = А_пол – А¢.
   
4. 
   Рассчитать порядок m НЧ-прототипа требуемого фильтра.
   
5. 
   Получить выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева.
   
6. 
   Осуществить реализацию двухсторонне нагруженного полосового LC-фильтра.
   
7. 
   Осуществить реализацию полосового ARC-фильтра.
   
8. 
   Привести ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты, т. е. A = K(f).
   
9. 
   Рассчитать ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания).
   
10. 
    Привести схему ARC-полосового фильтра.
    

Дано:

На входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1) с параметрами:

период следования импульсов T_и= 232·10^-6с;

длительность импульсов t_и = 80·10^-6с;

период несущей частоты T_н = 16·10^-6с с;

амплитуда колебаний несущей частоты U_m.н=15 В.

Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания А_max = ΔA = 3 дБ.

Полное ослабление на границах полос непропускания А_пол= 35 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа R_г =R_н = 600 Ом (рис.2). Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.



Рис. 2. Схема подключения фильтра к источнику сигнала

1. Рассчитаем и построим график амплитудного спектра радиоимпульсов.
Прежде чем приступать к расчету фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов.

Вначале находится несущая частота:



Затем рассчитываем частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:













Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте f_н, находится по формуле:

(1)

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 3).



Рис. 3

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами f_i, где i – номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

.

Учитывая, что

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от f_н :





и т.д.

Частоты гармоник, лежащих слева от f_н :





и т.д.

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле:

  (2)

где количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсеK = t_и/T_н =80/16= 5.











После расчета амплитуд по (2) их значения отражаются в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра.

2. Определяем частоты f_п2 и f_з2 и рассчитываем превышение амплитуды частоты f_п2 над амплитудой частоты f_з2 в децибелах в виде соотношения А¢ = 20lgU_mп/U_mз на входе фильтра.

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 50 и 75 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 53,9 кГц до 71,1 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра f_п1 и f_п2 соответственно (рис. 4 ). Граничную частоту полосы непропускания f_з2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (f_н + 1/t_и) = 75 кГц. Этой частотой является частота f₃ = 75,4 кГц. Следовательно, f_з2 =  f₃ = 75,4 кГц.

Рис. 4

Частоты f_п1 и f_п2– границы ПП и частота f_з2 – граница ПН справа; ослабление А_min и А_max = DА (рис. 4). Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН

(3)

найдем центральную частоту ПП:



Тогда граничная частота f_з.1 полосы непропускания будет:



Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f₂ и f₃ спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной А_пол – полного ослабления:

                                         (4)

где                                   (5)

исходная разница амплитуд второй и третьей гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

Согласно формулы (2):





По формуле (5) находим:



3. Рассчитаем минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания А_min = А_пол – А¢.

Из формулы (4):



Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:








 4. Рассчитаем порядок m НЧ-прототипа требуемого фильтра.

Требования к характеристикам ПФ пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу:

(6)

Используя формулу (6), находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа:





Зная требования к ослаблению ФНЧ можно пересчитать их в требования к АЧХ ФНЧ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ |H(j2pf)|² = |H(jw)|². Для унификации расчетов вместо угловой частоты w вводят понятие нормированной частоты W = w/w_н, где w_н – нормирующая частота. Обычно в качестве w_н выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда:

(7)

По формулам (7) получаем значения нормированных частот:



Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рис. 5:



Рис. 5

При синтезе ФНЧ используются универсальные соотношения :

(8)

(9)

где y(W) – функция фильтрации; e – коэффициент неравномерности ослабления в ПП. Если в качестве y(W) используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди последних наиболее широкое применение нашли фильтры Баттерворта и Чебышева.

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из рассмотрения (9) при A =ΔA и W = 1, когда y(1) = Т_m(1) = 1:



5. Получим выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева.

Порядок фильтра Чебышева находится также из рассмотрения (9), но при A = A_min и , т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева Т_m(Ω) = chmarch Ω, поэтому

  (10)

Для вычисления функции archх рекомендуется соотношение:










После подстановки в формулу (10) исходных данных и вычислений получим m = 2,26. Расчетное значение m необходимо округлить в бóльшую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3.
Таблица 1



Пользуясь таблицей 1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

  (11)

Полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р.

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде:



где w (р) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы:



Производя вычисления, получим:

  (12)

Числитель равен свободному члену полинома знаменателя.
6. Осуществляем реализацию двухсторонне нагруженного полосового LC-фильтра.

Если фильтр со стороны зажимов 1–1¢ рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой R_н (рис. 2), то, можно оперировать понятием входного сопротивления Z_вх.1(р) двухполюсника со стороны зажимов 1–1¢:

(13)

где s(р) – коэффициент отражения, характеризующий несогласованность между сопротивлениями R_г и Z_вх.1(р). Если известно Zвх.1(р), то двухполюсник можно реализовать, например, методом Дарлингтона. Один из возможных вариантов реализации схемы названным методом сводится к следующему. Осуществляют нормирование Z_вх.1 по сопротивлению, выбирая в качестве нормирующего, сопротивление R_г, а коэффициент отражения записывают через табулированный полином h(р): s(р) = h(р)/v(р). Тогда (13) записывают как:

(14)

Для фильтров Чебышева третьего порядка сам полином Чебышева равен:

(15)

а полином h(р) будет:

(16)

Подставляя h(р) и v(р), записывают Z_вх.1(р) в виде цепной дроби и по ней составляют схему двухполюсника, т. е. LC-фильтра нижних частот, нагруженного на сопротивление R_н. Элементы этой схемы представлены величинами, нормированными по частоте и по сопротивлению. Поэтому следующей операцией расчета является операция денормирования значения элементов НЧ-прототипа. После этого, используя формулы преобразования частоты, переходят от схемы НЧ-прототипа к схеме полосового фильтра. Элементы схемы ПФ, очевидно, будут иметь сразу реальные значения.

Подставляя в формулу (14) значение v(р) из формулы (12) и значение h(p) из формулы (16), после преобразований получим:

(17)

Формула (17) описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис.2, фильтр, нагруженный на сопротивление R_н, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Z_вх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, формула (17) преобразуется к виду:

(18)

после чего производится ряд последовательных делений.

Вначале числитель делим на знаменатель:



Затем первый делитель делим на первый остаток:



Второй делитель делим на второй остаток:



Третий делитель делим на третий остаток:



Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (18) можно записать в виде цепной дроби:

  (19)

По формуле (19) составляем схему (рис. 6), на которой С_1н = 5,581; L_2н= 0,427; С_3н = 5,581; R_г.н = R_н.н = R_нор.



Рис. 6

Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

  (20)

где ω_н = ω_п.нч – нормирующая частота;

R_г – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения (20) и значения ω_н и R_г, получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:








Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ- прототипа и частотами ω_п.ф полосового фильтра существует соотношение:

  (21)

где w₀ находится по формуле (3):



На основании соотношения (21) индуктивное сопротивление НЧ- прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами



Рис. 7

  (22)

а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами

   (23)
Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 6 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 7. Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (22) и (23).









На этом расчет полосового LC-фильтра заканчивается.

7. Осуществим реализацию полосового ARC-фильтра.

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра. Причем, не самой нормированной передаточной функцией (12), а только ее полюсами (11), и, согласно (24), найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ.

Переход от передаточной функции НЧ-прототипа, к передаточной функции полосового фильтра. Один из возможных вариантов такого перехода основан на использовании формулы пересчета полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:

(24)

где

– полюсы передаточной функции НЧ-прототипа;

w₀ = 2pf₀ .

Вначале находим:







Затем сами полюсы:

(25)















Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC-полосового фильтра, причем денормированной. Их значения удобно представить в виде таблицы 2.
Таблица 2

Номера полюсов	Полюсы H(p)
1,2	1,6127	38,8252
3,6	0,697	33,6406
4,5	0,9155	44,8732

Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соеди­ненных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:



Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

  (26)

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле:



Коэффициенты в знаменателе (26) находятся по формулам:

    (27)

где  – значение полюсов (25).





Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 3.

Таблица 3

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
	ai1	bi1	bi0
1 2 3	6,81×104 6,81×104 6,81×104	3,2254×104 1,3941×104 1,831×104	15,1402×1010 11,32118×1010 20,1445×1010

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (26) получим:

(28)
Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 8). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 8, в виде:

(29)

Из (29) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (28) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R₁; R₂; С₃; С₄; R₅ ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (28) и (29).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (28):

(30)

В системе (30) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому рекомендуется задаваться значениями, например, емкостей конденсаторов С₃ и С₄ (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью нет вообще).



Рис. 8

Если принять С₃ = С₄ = 2 нФ, то, решая (30), получим:

R₁ = 7,35 кОм,  R₅ = 31 кОм,  R₂ = 54 Ом.

Составляя аналогичную систему для второго звена, получим:

R₁ = 7,35 кОм,  R₅  = 71,7 кОм,  R₂ = 31 Ом.

Аналогично для третьего звена:

R₁ = 7,35 кОм,  R₅  = 54,6 кОм,  R₂ = 22,8 Ом.

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R₁и R₅ в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R₂ берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

8. Приведем ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты, т. е. A = K(f).

При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (29). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет

  (31)

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Формула (31) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью в (29) производится замена переменной вида р = jω, в результате чего получаем выражение:



Находится модуль H(jω) в виде:

  (32)

Зная H(ω), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

(33)

где,                            (34)

В качестве числового примера выполним расчет первого звена фильтра.

Из предыдущих расчетов берем значения элементов:

С₃ = С₄ = 2 нФ; R₁ = 7,35 кОм;  R₅ = 31 кОм;  R₂ = 54 Ом.

Подставляем эти значения в (32):



9. Рассчитаем ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания).



Первое звено. На частоте границы ПП f_п2 = 71,1 кГц находим Н₁(ω_п2) = 0,595:



Аналогично, на частоте границы ПН f_з2 = 75,4 кГц находим Н₁(ω_з2) = 0,426. Кроме того находим Н₁(ω) на частотах f_п1 = 53,9 кГц и f_з1 = 49,6 кГц.

Аналогичные расчеты выполняем для второго и третьего звеньев. Ослабления рассчитываем по формулам (33) и (34). Все результаты сводим в таблицу 4.

Таблица 4

	fз1= 49,6кГц	fп1= 53,9кГц	fп2= 71,1кГц	fз2= 75,4кГц
H1(ω) H2(ω) H3(ω)	0,393 1,2861 0,202	0,62 4,5967 0,264	0,595 0,35 3,59	0,426 0,288 1,325
H(ω)	0,102	0,752	0,747	0,162
A1(ω) A2(ω) A3(ω)	8,112 -2,185 13,89	4,152 -13,248 11,567	4,509 9,118 -11,102	7,412 10,812 -2,444
A(ω)	19,827	2,477	2,525	15,779

При анализе табличных данных обратим внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра. Если сравнивать рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах, то можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии. При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.

10. Приведем схему ARC-полосового фильтра.

На рис.9 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты.



Рис. 9

На рис. 10 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.



Рис. 10