Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Отчет по курсовой работе (1). Курсовая работа по дисциплине Введение в информационные технологии

• Название: Курсовая работа по дисциплине Введение в информационные технологии
• Анкор: Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов
• Дата: 14.11.2022
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: Отчет по курсовой работе (1).docx
• Тип: Курсовая; #788260

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ



МИНИСТЕРСТВО науки и высшего ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики и компьютерных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине Введение в информационные технологии

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

Тема работы: Применение методов алгоритмизации при решении прикладных задач

Выполнил: студент гр. САМ-21-1 Громыко Д.В.

^{(шифр группы) (подпись) (Ф.И.О.)}

Оценка:

Дата:

Проверил

руководитель работы: профессор Кризский В.Н.

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2022

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ



МИНИСТЕРСТВО науки и высшего ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

Маховиков А.Б.

^{(подпись)}

«»2022 г.

Кафедра информатики и компьютерных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине Введение в информационные технологии

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

ЗАДАНИЕ

студенту группы САМ-21-1 Громыко Д.В.

^{(шифр группы) (Ф.И.О.)}

1. 
   Тема работы Применение методов алгоритмизации при решении прикладных задач
   
2. 
   Исходные данные к работе: Таблица значений данных измерений, значение точки X^*, аппроксимирующая функция.
   
3. 
   Содержание пояснительной записки: Титульный лист, задание, аннотация, оглавление, введение, разделы 1-7, заключение, список использованных источников.
   
4. 
   Перечень графического материала Рисунки, таблицы, формулы.
   
5. 
   Срок сдачи законченной работы 202 г.
   
6. 
   Задание выдал (руководитель работы) Кризский В.Н.
   

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

Задание принял к исполнению студент Громыко Д.В.

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

Дата получения задания 202 г.

АННОТАЦИЯ

В курсовой работе произведены расчеты для нахождения аппроксимирующей функции и многочлена Лагранжа, выполнено формирование блок-схем алгоритмов расчета, приведены листинг программы и графики полученных функций в сопоставлении с исходными значениями, проведен анализ полученных данных.

Оглавление

Введение 6

1 Постановка задачи 7

2 Исходные данные 9

3 Вывод расчетных формул 10

3.1 Многочлен Лагранжа 10

3.2 Аппроксимация методом наименьших квадратов 10

4 Блок-схема программы 13

5 Листинг программы 20

6 Графики полученных значений 22

7 Анализ полученных данных. Выводы 24

Заключение 25

Список источников 26

Введение

Данная курсовая работа посвящена применению методов алгоритмизации при решении прикладных задач.

Цель текущей курсовой работы: с использованием знаний, полученных в течение курса дисциплины «Введение в информационные технологии», разработать VBA-программу, производящей расчет многочлена Лагранжа и аппроксимирующей функции для исходного набора точек, построение соответствующих графиков.

Основными задачами являются: разработка алгоритмов для программы, проведение необходимых расчетов, описание алгоритмов языком программирования Visual Basic, проверка правильности работы, разработанной в ходе выполнения курсовой работы VBA-программы.

1 Постановка задачи

Разработать программу на языке VBA в приложении MS Excel, с помощью которой:

1. 
   Найти границы вариации значений : , , и – номер ближайшего к значения , .
   
2. 
   Построить на отрезке равномерную сетку узлов .
   
3. 
   В узлах сетки и в точке вычислить значения многочлена Лагранжа , построенного по пяти ближайшим узлам таблицы исходных данных измерений , .
   
4. 
   Для аппроксимирующей функции , осуществив преобразование линеаризации, и аналитически получив формулы для коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений по таблице исходных данных измерений , методом наименьших квадратов, найти численные значения коэффициентов методом Крамера.
   
5. 
   В узлах сетки и в точке вычислить значения аппроксимирующей функции .
   
6. 
   Для значений и вычислить величину их различия .
   
7. 
   Отобразить на листе Excel исходные данные измерений, все данные вычислений, графики полученных значений и в сопоставлении с данными измерений.
   

2 Исходные данные

Исходные данные, в соответствии с 1 вариантом, следующие:

1. 
   Таблица значений данных измерений , на отрезке .
   
2. 
   Точка .
   
3. 
   Аппроксимирующая функция .
   

Таблица 1 – Значения измерений

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,302	0,401	0,520	0,644	0,870	1,806	2,969	3,218	4,434	5,257
	0,155	0,594	2,087	13,120	2,206	1,224	0,835	0,844	0,666	0,655

	11	12	13	14	15	16	17	18	19
	5,258	6,320	6,700	7,213	7,943	8,087	8,986	11,673	11,716
	0,551	0,514	0,440	0,459	0,397	0,380	0,364	0,316	0,338

3 Вывод расчетных формул

3.1 Многочлен Лагранжа

В качестве интерполяционной функции в данной работе используется многочлен Лагранжа, который в общем виде имеет вид:

3.2 Аппроксимация методом наименьших квадратов

В данной работе используется следующая аппроксимирующая функция:



Последующие действия направленны на поиск неизвестных коэффициентов.

Линеаризация функции относительно искомых коэффициентов:





Формирование суммы квадратов разности:



Поиск наименьшего значения суммы:



Полученная в ходе преобразования система линейный алгебраических уравнений:



Система уравнений в матричном виде :



Поиск коэффициентов по теореме Крамера:

;

;

,

где

;

;

;

.

4 Блок-схема программы

Рисунок 1 – Блок-схема алгоритма, считывающего исходную информацию с листа и вычисляющего индекс ближайшего к значения



Рисунок 2 – Блок-схема алгоритма, осуществляющего поиск границы вариации значений



Рисунок 3 – Блок-схема алгоритма, создающего равномерную сетку узлов



Рисунок 4 – Блок-схема алгоритма, вычисляющего значения многочлена Лагранжа в узлах сетки



Рисунок 5 – Блок-схема алгоритма, вычисляющего значение многочлена Лагранжа в точке





Рисунок 6 – Блок-схема алгоритма, осуществляющая поиск коэффициентов аппроксимирующей функции



Рисунок 7 – Блок-схема алгоритма, вычисляющего значения аппроксимирующей функции в узлах сетки



Рисунок 8 – Блок-схема алгоритма, вычисляющего значение аппроксимирующей функции в точке



Рисунок 9 – Блок-схема алгоритма, вычисляющего модуль разницы значений интерполяционной и аппроксимирующей функций в точке

5 Листинг программы

Рисунок 10 – Первая часть кода программы, выполняющая первые три пункта курсовой работы





Рисунок 11 – Вторая часть кода программы, выполняющая оставшиеся пункты курсовой работы

6 Графики полученных значений

Рисунок 12 – График интерполяционного многочлена Лагранжа



Рисунок 13 – График аппроксимирующей функции

7 Анализ полученных данных. Выводы

График интерполяционного многочлена проходит через большинство точек. На отрезке наблюдается расхождение исходных значений и графика многочлена, что вызвано недостатком узлов сетки. На основе графика можно сделать вывод о том, что программа работает верно.

График аппроксимирующей функции приближается к исходным значениям, начиная с точки . Слева от данной точки подкоренное выражение исходной функции принимает отрицательные значения, что свидетельствует о некорректном преобразовании функции. В таком случае в качестве защитной меры подкоренное выражение берется под модуль. Справа от данной точки функция проходит достаточно близко к исходным данным. На основе той части графика, где исходное подкоренное выражение положительно, можно сделать вывод о том, что программа работает верно.

Заключение

В результате проделанной работы по поставленные задач задачи выполнены и достигнуты все намеченные цели. В ходе работы были построены блок-схемы для лучшего понимания работы алгоритмов и правильного переноса в основную программу. Так как конечные значения, получаемые в результате выполнения разработанной программы, отвечают критериям правильности, следовательно, программа работает правильно.

Таким образом, считаю, что цель настоящей курсовой работы достигнута.

Список источников

1 Вычислительная математика: интерполирование, аппроксимация: методические указания к практическим занятиям / под ред. А.Б. Маховикова. - СПб, 2022, 27 с. https://docs.google.com/document/d/1F5qNfoV0CXwt-v9sKOlQHiNuAg1y3LCo/edit (Дата обращения 03.05.2022).