пизда. Курсовая работа Примитивные группы подстановок с абелевой нормальной подгруппой по дисциплине Группы подстановок
 Скачать 110.33 Kb.
|
Институт кибернетики КУРСОВАЯ РАБОТА «Примитивные группы подстановок с абелевой нормальной подгруппой» по дисциплине «Группы подстановок» Выполнил студент группы ККСО-03-18 Трошин И.А. Проверил Зязин В.П. Москва 2019 Содержание G-группа 2 Введение: целью данной работы является рассмотрение свойств и основных особенностей примитивных групп подстановок с абелевой нормальной подгруппой. Основные обозначения
G-группаТеорема1. Пусть А и В –примитивные группы подстановок множества Х, обладающие одной и тойде неединичной абелевой нормальной подгруппой F, N-нормализатор группы F в группе S(X), а 0-произвольная точка множества X. Обозначим стабилизатор точки 0 в группах A,B и N буквами A0,B0 N0 соответственно. Тогда сследущие утверждения попарно эквивалентны: А) группы А и b сопряжены в группе N0 Б) группы A и B сопряжены в группе S(X) В) ) группы A и B сопряжены в группе N ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. A=FA-=0, B=FB0, N=FN0 Пусть верно а) Тогда в группе n0 есть такой элемент g, что gA0g-1=B0 Отсюда и из первого получаем gAg-1=gFA0g-1=gFg-1gA0g-1=FB0=B Это означает что из а) следует б) и в) Пусть теперь верно б) тогда gAg-1=B, Где g *принадлежит S(X) Ясно что gFg – абелева нормальная подгруппа B. Так как B имеет только одну неединичную абелеву нормальную подругппц то gFg-1=F. Cледовательно, g принадлежит N, значит из б) вытекает в) Пусть наконец, верно в) Тогда верно равенство (2) модно переписать так: B= Как легко вычислить, стабилизатор точки 0 в группе goAg падает с гр. А. 1. Отсюда Таким образом из в) вытекает а). Теорема 2. Пусть Г и G - примитивные группы подстановок множества Х, в каждой из которых есть неединичная абелева подгруппа нормальная, Тогда изоморфизм групп Г и G влечет за собой их сопряженность в группе S(X), Доказательство, Пусть Ф и F- неединичные абелевы нормальные подгруппы в Г и в G соответственно. Пусть далее .Так как Ф и F регулярны , то где Го и G о - стабилизаторы точки 0. Пусть теперь - изоморфизм групп. Тогда Ф(Ф)- абелева нормальная подгруппа группы G. Следовательно, Так как Ф и F регулярны и изоморфны , то они сопряжены в группе S(X) для некоторой подстановки (X). Поло- жим (3) Очевидно, А-примитивная группа подстановок, изоморфная группе G. Ф- нормальная подгруппа А. Пусть A — G - изо- морфизм групп. Тогда г (ф) ф, следовательно, преобразование автоморфизм группы Ф. Обратимся к нормализатору N группы F в группе S(Х), Как известно, N=fn0, где No - стабилизатор точки 0 в группе N. По теореме 1 из $ 17(напиши сноску-отсылку в параграффах) в группе есть такая подстановка д, что (4) для всех Введем еще один изоморфизм y: a v (A), A-d (a) d, A A.(5) В силу (4) ограничение является единицей группы t F. Пусть Тогда Следовательно, Итак, подстановка коммутирует с любой подстановкой группы F. Однако Ф максимальная абелева подгруппа группы S (X). Отсюда A C. F., y (a) GaF, y (4) A. Так как , то , Следовательно, у(А) = А. Отсюда из (5) получаем А Г(А) (А) Д - д "ГД, (6) $ 18. Примитивные группы подстановок Сто сорок один ибо «(с) Г. Из (3) и (6) находим Как уже говорилось, неединичная абелева нормальная подгруппа примитивной группы подстановок характеристически проста. Характеристически простые абелевы группы описывает Предложение 1. Аддитивные группы линейных прост- ранств над простыми полями и только они являются характери- стически простыми абелевыми группами, Доказательство. Пусть - характеристически про- стая абелева группа. Покажем, что А - аддитивная группа ли- нейного пространства над простым полем. Очевидно, возможны лишь два случая: а) все ненулевые элементы группы А имеют один и тот же простой порядок р, б) группа А без кручения - А все ненулевые элементы имеют бесконечный порядок. В первом случае очевидно, что А линейное пространство над полем GF (P). Теперь Пусть А - группа без кручения, Для целого положи- т тельного, как легко видеть, подгруппа т.А (табл) являет- ся ненулевой характеристической подгруппойгруппы А. Следо- вательно, т.А А. В Отсюда вытекает разрешимость группе А уравнения не доступно (7) при любых асА, Уравнение (7) имеет единственное решение. Действительно, МХ2 на Так как группа А без кручения, то х и Х2. Решение уравнения (7) запишем в виде (8) м Равенство (8) определяет операцию умножения элементов груп- пы на рациональные числа. Прямая проверка показывает, что группа после введения этой операции превращается в линейное вопрос: над полем пространство Покажем, например, что r (a b) - ra rb, (9) а где, пля, Пусть м Тогда, согласно (7) и (8), имеем Сто сорок два глава 4, группы с регулярноп нормальной подгруппой m(ra) na, m(rb) nb, mr (a - b) (a + b). Сложив два первых равенства, получим m (ra rb) n (A b). (11) Сравнение равенств (10) и (11) приводит к равенству (9). Ана- логично проверяются и другие аксиомы линейного пространства. Итак, характеристически простая абелева группа есть линейное пространство над простым полем. Пусть теперь в линейное пространство над произвольным полем. Покажем характеристическую простоту аддитивной груп- пы В. Обратимся к аффинной группе АФФ(в) - гл(в)Т, Согласно $ 11, Aff (V) - дважды транзитивная группа подстановок множе- ства В. Группа параллельных переносов 7 является нормальной AF AFF (V). Так как группа АФФ(в) примитивна, то характеристически проста. Отсюда следует характеристиче- ская простота аддитивной группы пространства В. 18.3. П р е д л о ж е н и е 2. Пусть в - линейное простран- ство над полем а, а А аддитивная группа этого пространства. Тогда верны следующие два утверждения: a) если простое поле, то Из гл (в); 6) если поле А не является простым, то имеет место строгое включение GL (V) Aut A. (12) Доказательство. При любом поле А, очевидно, верно включение гл(в) авт А. сперва Пусть - простое поле. Тогда либо GF (P), либо Q. В первом случае для можно написать ему ЛО, где целое число. Следовательно, если аут , то Отсюда Aut A GL (V), Aut A - GL (V). Теперь Пусть м, м, авт А. Тогда - целые числа. Положим - и. Тогда Следовательно, EGL (V), Aut A-GL (V), утверждение а) доказано. Из а) легко получить Пусть - поле непростое, а простое подполе поля А. Тогда в можно трактовать как и прост- ранство над полем А и как пространство над полем 12. CG, что GL(va) cgl(Va). И Отсюда из а) находим Гл (в) - ГЛ(ва) ГЛ(против) = авт А. Следовательно, верно (12). Теорема 3. Пусть Г - примитивная группа подстановок мно- жества х, неединичной нормальной абелевой обладающая под- F. F. N - нормализатор подгруппы F в группе S(X). Тог- да множество можно таким способом наделить структурой ли- нейного пространства В над простым полем А, что группа ока- жется группой параллельных переносов этого пространства, а группа Н станет аффинной группой в). Следовательно, груп- па Г превратится в подгруппу группы АФФ(В) вида Г = ГоТ, где Го - подгруппа группы GL(V). Доказательство. Так как регулярная группа под становок множества Х, то на множестве можно задать такую операцию что (X,+) станет группой, а группа - образом регулярного представления группы Так как абелева группа характеристически проста, то, согласно предложению I, группа (X, совпадает с некоторым линейным пространст- вом над простым полем А. Следовательно, F, будучи образом регулярного представления В является группой параллельных переносов пространства Т В. Согласно теореме 1 $ 17, группу Н можно представить в виде Н Ф Аут ) Авт ( Х, + В силу предложения Aul (X, GL(V). Следовательно, N ГЛ(В)Т(В). По теореме 2 из $ 17, Г ГаТ, где Го - под- aut autxx, GL(V). Пусть в - линейное пространство над простым полем А - аддитивная группа пространства В. Так как, согласно пред- ложению 2, Aul a GL (V), то неприводимые подгруппы группы авт А мы будем называть А-неприводимыми подгруппами группы GL(V). Очевидно, и это уже отмечалось, при что в- GF(p) неприводимость подгруппы группы GL (V) и ее а-не- равносильны приводимость. При Однако в класс А-иеприво- димых подгруппа группы содержится в классе всех неприводимых подгрупп но не совпадает с ним. теоремы 4 $ 17 и теоремы 3 вытекает Теорема 4. a) Пусть G Примитивная группа подстановок множества X, обладающая неединичной абелевой нормальной подгруппой Ф. Тогда группа г подобна некоторой подгруппе Г AF AFF(V), (13) V V линейное пространство над простым полем, | V группа параллельных переносов пространства в, А-неприводимая подгруппа группы GL(V). ля б) Пусть в - линейное пространство над простым полем группа параллельных переносов пространства В, а Го А-непри- водимая подгруппа группы GL(V). Тогда подгруппа группы Aff (V) является примитивной группой подстановок множества V b) Пусть G Примитивная группа подстановок конечного множества Х. неединичной обладающая абелевой кормильной подгруппой Г. Тогда: I) [X] рт, где р простое; 2) г подгруппе аффинной группы подобна Альф(N, Р), Я ТоТ, где го-GL GL (n, p), t- подгруппа параллельных переносов группы АФФ(Н, Из теорем 3 и вытекает Теорема 5. Пусть = и Г Гат - примитивные подгруппы группы АФФ(В) вида (13). Тогда следующие утверждения попар - но эквивалентны: a) Ga Ga сопряжены в группе GL(V): б) группы и Г сопряжены в группе b) группы г и G сопряжены в симметрической группе S(V). замечание 1. Пусть линейное пространство вопрос: нал класс всех А-неприводимых подгрупп группы GL (V), a9R (L) - класс всех неприводимых подгрупп GL(V) Тогда имеет место строгое включение (А) (Л). (14) Действительно, пусть А - аддитивная группа пространства В. DIM DIM V = 1. Тогда V A Q, Aut A GL (V) Q*. Пусть далее л - любое истинное непустое подмножество множе- ства всех простых чисел, а (п) подгруппа группы по- рожденная множеством л. Тогда (L) \ R (A). В самом деле, пусть подгруппа аддитивной группы поля к, состоящих из дробей, знаменатели которых принадлежат группе Н. Тогда, как легко видеть, является В Н-инвариантной подгруппой группы А, 19. Характеры Сто сорок пять Следовательно, для дим |
