ПОКАЗАТЕЛИ ЗНАЧЕНИЙ ЦЕНТРА И РАЗМАХОВ ВАРИАЦИЙ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Лабораторная работа 2 показатели значений центра и размахов вариаций статистического распределения по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

• Название: Лабораторная работа 2 показатели значений центра и размахов вариаций статистического распределения по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
• Анкор: ПОКАЗАТЕЛИ ЗНАЧЕНИЙ ЦЕНТРА И РАЗМАХОВ ВАРИАЦИЙ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
• Дата: 13.01.2022
• Размер: 383.7 Kb.
• Имя файла: matemaktika_laba_2_perepechatat_stranitsy.docx
• Тип: Лабораторная работа; #330432

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Сибирский государственный университет путей сообщения

Кафедра « Системный анализ и управление проектами »

Лабораторная работа № 2


«ПОКАЗАТЕЛИ ЗНАЧЕНИЙ ЦЕНТРА И РАЗМАХОВ ВАРИАЦИЙ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ»
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Руководитель Разработал

студент гр. __МЛ-212_
________________ст.пр. _____________

(подпись) (подпись)

__________________ _____________________

(дата проверки) (дата сдачи на проверку)
Краткая рецензия:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________
_________________________________

(запись о допуске к защите)

________________________________ _________________________________

(оценка по результатам защиты) (подписи преподавателей)

2021 год

ФГБОУ ВО СГУПС

Кафедра «Системный анализ и управление проектами»

Задание на выполнение лабораторной работы

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

студенту		Группа
Вариант	№ 35

Тема: Показатели значений центра и размахов вариаций статистического распределения.

Цель работы: Приобретение навыков обработки и обобщения индивидуальных значений одного и того же признака у различных единиц совокупности.

Вариант задания: 35

График выполнения

Название документа и раздела	Ориентировочно		График выпол- нения (недели)
	колич. страниц записки	трудоемкость в часах
Показатели значений центра и размахов вариаций статистического распределения	18	5	10
Общая трудоемкость	18	5	-

Сроки сдачи на проверку: 10 неделя текущего семестра.

Сроки защиты: 11 неделя текущего семестра.

Работу оформить в соответствии со стандартом организации СТО СГУПС 1.01 БИ.01-2019 «Система менеджмента качества. Письменная отчетная работа. Требования к оформлению».

Основная литература:

1) Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике (Теория вероятностей и математическая статистика). Минск: Вышейш. шк., 1996.


Задание выдано «15» октября 2021 г.
2) Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. Шк., 1977

3) Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Теория вероятностей и математическая статистика / Самарск. гос. экон. акад. Самара, 1994.

Руководитель

/

ОГЛАВЛЕНИЕ

1

«ПОКАЗАТЕЛИ ЗНАЧЕНИЙ ЦЕНТРА И РАЗМАХОВ ВАРИАЦИЙ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ» 1

Введение 4

1Постановка задачи 7

2Выполнение задания 8

2.2 Медиана 10

2.3 Мода 11

2.6Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретного ряда 16

2.7 Нахождение квартилей 20

2.8 Относительные показатели вариации 22

3.9 Показатель фондовой дифференциации 22

3 Вывод 24

Введение

Цель работы: приобретение навыков группирования и обработки первичной статистической информации в интерактивной среде Excel. 

Статистическая информация — это цифровая информация в виде числовых рядов различных показателей, прогнозных моделей и оценок. Данные представлены в виде средних или относительных величин и позволяют выявлять закономерности развития социально-экономических явлений и процессов. 

Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.  

         Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.  

        Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.  

         Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внёс А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение о проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.  

          В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.  

         Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.  Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов.  

           Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда Карл Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ и многочисленные нелинейные обобщения.  

        Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.  

         В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов). 

1. Постановка задачи

Требуется определить среднюю арифметическую интервального вариационного ряда; медиану; моду; медиану и моду графически по известной кумуляте и гистограмме ряда распределения; размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсию; среднее квадратическое отклонение; квартильное отклонение; первую, вторую и третью квартили; относительные показатели вариации (коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации, относительный показатель квартильной вариации); показатель фондовой и децильной дифференциации.

Условие: в качестве условия используется сгруппированный вариационный ряд: 0,72;0,76;0,86;0,88;0,88;0,91;0,94;0,96;0,98;1,01;1,03;1,11;1,13;1,28;1,38;1,38;1,38;1,43;1,43;1,44;1,47;1,49;1,49;1,49;1,51;1,53;1,53;1,53;1,53;1,53;1,56;1,56;1,57;1,57;1,57;1,58;1,59;1,61;1,61;1,61;1,61;1,62;1,63;1,63;1,65;1,68;1,69;1,73;1,86;1,86;1,9;1,9;1,9;1,91;1,94;2,01.

В таблице 1 отображены номера промежутков, рентабельность активов и количество банков (частота).

Таблица 1

Номер	Рентабельность активов		Кол-во банков (частота)
1	0,72	0,94	6
2	0,94	1,16	7
3	1,16	1,38	1
4	1,38	1,6	23
5	1,6	1,82	11
6	1,82	2,04	8
Итого			56

2. Выполнение задания

Изучение средних величин первичной статистической информации имеет важное значение для анализа изучаемого признака в исследуемой совокупности разрозненных данных. Средняя величина является обобщающей характеристикой представленного ряда величин, отражает его типичный уровень в конкретных условиях определенного времени и места.

1. 
   Средняя арифметическая
   

Рассчитать среднюю арифметическую дискретного ряда можно по формуле:

= .



В интервальном вариационном ряду средняя арифметическая определяется по другой формуле:

= , где – середина соответствующего интервала варианта значений признака; – частота повторений данного варианта; j – номер варианты.

В таблице 2 приведены значения середин соответствующих интервалов ряда вариант.

Таблица 2

Среднее значение интервала	Количество банков
0,83	6
1,05	7
1,27	1
1,49	23
1,71	11
1,93	8

В интервальном ряду = = 1,4664.

2. Медиана

Высчитывается медиана. Она соответствует варианте, стоящей в середине ранжированного ряда. Ее положение в ряду определяется номером: , где N – число единиц совокупности. Значит . Для определения величины медианы интервального вариационного ряда используется формула Me= , где - нижняя граница медианного интервала; h – величина интервала; - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; – частота медианного интервала.

По накопленной частоте определяем, что медиана находится в интервале 1,16 - 1,38 и вспомогательные параметры соответственно равны: = 1,16; h = 0,22; = 37; = 11. Тогда, Ме=1,16+0,22 =1,43.

Полученное значение медианы не совпадает со значением, полученным на графике. Медиана представлена графически на рисунке 1 как абсцисса середины промежутка ординат накопленных частот в пределах от 0 до 56 кумуляты ряда распределения. Практически это означает, что 50% банков с доходами от 50 до 100 млн р имеют рентабельность активов менее 1,3, остальные – более 1,3.


Рисунок 1 – Значение медианы

Me _гр =1,43 Mе_расч = 1,53 Ме_excel = 1,42

3. Мода

Определяется значение моды. Мода – наиболее часто встречающееся значение признака совокупности. Наибольшая частота f₃ соответствует интервалу 1,38 - 1,6. Ее величину определяют по формуле Мо=x_Mo+h , где x_Mo – нижняя граница модального интервала; – частота, соответствующая модальному интервалу; – предмодальная частота; – послемодальная частота.

Для приведенного вариационного ряда с равными интервалами для определения Мо используется формула, тогда Мо=1,38+0,22 =1,5224.

Мода, как и медиана, может быть определена графически. Графическое определение моды представлено на рисунке 2. Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречается рентабельность активов, равная 1,5224 для банков с доходами от 50 до 100 млн р.


Рисунок 2 – Графическое определение моды

По рисунку 2 можно сделать вывод, что мода входит в интервал и совпадает с полученной в результате расчетов модой, равной 1, 5224.
Mo_гр= 1,5224 Мо_расч=1,53 Мо_excel=1,48

4. 
   Размах вариации
   

Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значениями признака совокупности.

R = - ; R = 2,01 – 0,72 = 1,29.

5. 
   Среднее линейное отклонение
   

Рассчитать среднее линейное отклонение по формулам для сгруппированных данных = , где К – число групп совокупности, наибольшее значение варианты и для несгруппированных данных = , где = 1, 4525.

= 0,2475



= 0,2557



Применяя формулы для сгруппированных и не сгруппированных данных в среде Excel (рисунки 3, 4) получим = 0,2475, = 0,2557.





Рисунок 3 – Нахождение





Рисунок 4 – Нахождение

6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретного ряда

Нахождение дисперсии и среднеквадратического отклонения дискретного ряда. Дисперсия – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины. Среднее квадратичное отклонение представляет собой корень квадратный их дисперсии. Различают дисперсию для сгруппированных данных: σ² = , где К – число групп совокупности, наибольшее значение варианты. Для не сгруппированных данных σ² = .

σ² = 0,1083 – для сгруппированных;

σ² = 0,1059 – для не сгруппированных.

Применяя формулы для сгруппированных и не сгруппированных данных в среде Excel получим: σ²=0, 1083, σ²=0, 1059.

Среднее квадратическое отклонение σ=0,3291.

Нахождение дисперсии для сгруппированного и не сгруппированного ряда, а также нахождение среднеквадратического отклонения представлены на рисунках 5,6.

Дисперсия для сгруппированных данных







Рисунок 5 – Нахождение дисперсии сгруппированных данных

Дисперсия для несгруппированных данных





Рисунок 6 – Нахождение дисперсии несгруппированных данных

2.7 Нахождение квартилей

Квартили – значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные специальным образом. Четверть единиц должна быть меньше по величине, чем Q₁; другая четверть единиц заключена между значениями Q₁ и Q₂; третья четверть единиц – между значениями Q₂ и Q₃; остальные – превосходят Q₃. Значения Q_i (i= ) вычисляются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы: Q₁= , где - нижняя граница интервала, в котором находится первая квартиль; - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль; - частота интервала, в котором находится первая квартиль. Таким же образом определяются Q₂ и Q₃.

Вычислим первую, вторую и третью квартили по формулам:

Q₁= = 1,1993;



Q₂= = 1,5187.



Q₃= =1,935.



Сравним вычисленные величины квартилей с величинами, полученными применением статистических функций «Квартиль» порядка 1, 2 и 3 к дискретному ранжированному ряду в программной среде Excel (рисунок 6).

Квартильное отклонение Q можно использовать для обобщения характеристики вариаций признаков в рассматриваемой совокупности, если по каким – либо причинам невозможно определение крайних значений рядов распределения с открытыми границами, то Q= =0,3679. Для симметричных или мало симметричных распределений Q≈ =0,2194


Рисунок 7 – Квартили

2.8 Относительные показатели вариации

Относительные показатели вариации используются для сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях. Коэффициент осцилляции К_R= 100%, относительное линейное отклонение = *100%, коэффициент вариации v= *100%, относительный показатель квартильной вариации *100%;

= 1,29/1,45*100=88,97%

= 16,8781%

v=22,4427%

=25,7238%

Совокупность является однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Поскольку v = 22,4427% < 33%, то по размеру рентабельности и прибыли совокупность банков является однородной.

3.9 Показатель фондовой дифференциации

Найти показатель фондовой дифференциации. Он рассчитывается по первичным данным и характеризует отношение средней величины из 10% наибольших значений совокупности к средней величине из 10% наименьших значений совокупности: К_Ф = .

Пять коммерческих банков, что составляет 10% от общего количества банков, имеют наибольший уровень рентабельности, поэтому = =1,9320. И пять коммерческих банков имеют наименьший уровень рентабельности, поэтому = =0,8200. Следовательно, коэффициент фондовой дифференциации будет таким: К_Ф=2,3561.

Это означает, что размер рентабельности у 10 % банков с наивысшими доходами в 2,3561 раза превышает размер прибыли 10% коммерческих банков с наименьшими доходами.

Для определения децильной дифференциации используются формулы расчета квартилей. Сначала находится номер первой децили = , затем девятой - = . =5,7; =51,3.

D₁=0,929

D₉=1,9108

Коэффициент децильной дифференциации устанавливается из соотношения: K_D= =2,056

Это означает, что отношение децили наиболее рентабельных банков в совокупности к децили наименее рентабельных банков составляет 2,056. Таким образом, уровень рентабельности наиболее прибыльных банков в 2,056 раз выше уровня наименее прибыльных банков.

3 Вывод

В ходе лабораторной работы были приобретены навыки обработки и обобщения индивидуальных значений одного и того же признака у различных единиц совокупности.

1. 
   Рассчитали средние арифметические в дискретном и интервальном рядах, они равны 1,4525 и 1,4664 соответственно;
   
2. 
   Рассчитали значение медианы, Ме=1,43. Оно не совпало со значением, найденным графически. Практически это означает, что 50% банков с доходами от 50 до 100 млн р имеют рентабельность активов менее 1,43, остальные – более 1,43;
   
3. 
   Рассчитали значение моды, Мо=1,5224. Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречается рентабельность активов, равная 1,5224для банков с доходами от 50 до 100 млн р.;
   
4. 
   Средние показатели (мода, медиана, средняя арифметического дискретного ряда) неравны, а это значит, что ряды несимметричны.
   
5. 
   Выяснили, что для ассиметричных рядов распределения медиана находится между средней арифметической и модой.
   
6. 
   Рассчитали размах вариации, он равен 1,29;
   
7. 
   Рассчитали значение среднего линейного отклонения. Для сгруппированных данных оно равно 0,2475, для не сгруппированных 0,2557;
   
8. 
   Рассчитали значение дисперсии сгруппированных данных, она равна 0,1083; дисперсия для не сгруппированных данных равна 0,1059; среднее квадратическое отклонение дискретного ряда равно 0,3291;
   
9. 
   Рассчитали значения квартилей, они равны 1,1993; 1,5187; 1,935. Значение второй квартили совпало с медианой.
   
10. 
    Рассчитали относительные показатели вариации. Коэффициент осцилляции равен 22,4427%; относительное линейное отклонение 16,8781%; коэффициент вариации 22,7238%; относительный показатель квартильной вариации 25,7238%. Совокупность является однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Поскольку v=22,7238% < 33%, то по размеру рентабельности и прибыли совокупность банков является однородной;
    
11. 
    Рассчитали показатель фондовой дифференциации, он равен 2,3561. Это означает, что размер рентабельности у 10 % банков с наивысшими доходами в 2,3561 раза превышает размер прибыли 10% коммерческих банков с наименьшими доходами. Также определили коэффициент децильной дифференциации, он равен 2,056. Это означает, что отношение децили наиболее рентабельных банков в совокупности к децили наименее рентабельных банков составляет 2,056. Таким образом, уровень рентабельности наиболее прибыльных банков в 2,056 раз выше уровня наименее прибыльных банков.
    

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1977.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. шк., 1997.

3. Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике (Теория вероятностей и математическая статистика). Минск: Вышейш. шк., 1996.

4. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике / Самарск. экон. ин-т. Самара, 1992.

5. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Теория вероятностей и математическая статистика / Самарск. гос. экон. акад. Самара, 1994.