Лабораторная_5.1. Лабораторная работа 5. 1 Изучение свободных колебаний в электрическом контуре студент группы мо15 Бригада 2

• Название: Лабораторная работа 5. 1 Изучение свободных колебаний в электрическом контуре студент группы мо15 Бригада 2
• Дата: 21.12.2021
• Размер: 1.47 Mb.
• Имя файла: Лабораторная_5.1.docx
• Тип: Лабораторная работа; #312041

Министерство цифрового развития, связи и

массовых коммуникаций Российской Федерации

ФГБОУ ВО «СибГУТИ»

Кафедра Физики

Лабораторная работа №5.1

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Выполнил: Студент группы МО-15

Бригада №2

Стрельников Евгений Николаевич

Проверил преподаватель:

Ф.И.О. Преподавателя

Измерения сняты:

Дата, роспись преподавателя

Отчёт принят:

Дата, роспись преподавателя

Работа зачтена:

Оценка, дата, роспись преподавателя

Новосибирск, 2021 год.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с физическими процессами, протекающими в электрическом контуре.

2. Исследовать влияние величин электроёмкости и индуктивности на период колебаний в контуре с малым сопротивлением.

3. Установить характер зависимости логарифмического декремента затухания колебаний от сопротивления контура.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Исследуемый контур состоит из конденсатора электроёмкостью С, катушки индуктивностью L и резистора, имеющего сопротивление R. Схема соединения элементов электрической цепи приведена на рисунке 1.



Простой контур, который здесь рассматривается, является электрической цепью со сосредоточенными параметрами. Это означает, что электроемкость С сосредоточена в одном месте (конденсаторе), а индуктивность
L и сопротивление R - в других местах контура (в катушке и в резисторе). Электрическими колебаниями в таком случае выступают повторяющиеся изменения электрических величин, характеризующих процессы в элементах
контура. В конденсаторе, например, изменяются со временем следующие величины: заряд q и напряжение между обкладками а также характеристики электрического поля конденсатора. Электрические колебания (процессы) происходят во всех элементах цепи согласованно. А именно так, что мгновенные значения силы тока I одни и те же в любом месте контура. Подобное имеет место в цепи постоянного (стационарного) тока. Поэтому электрические процессы в колебательном контуре называются квазистационарными («квази» – приставка, означающая «якобы, как будто»). Квазистационарные процессы также подчиняются закону Ома, что и постоянный ток.

Для математического описания электрических процессов в контуре применим 2 правило Кирхгофа: «Сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС».
В колебательном контуре имеются два падения напряжения: на конденсаторе , равное , и на сопротивлении, равное IR.
При изменении силы тока в контуре в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции.



Сила тока по определению связана с зарядом конденсатора соотношением:

или - так обозначается производная по времени.

Подставив выражения для тока i и напряжения в формулу (1), получим дифференциальное уравнение в виде:

или

Разделим уравнение на коэффициент при старшей производной (индуктивность катушки) и введем обозначения:

или

После введения обозначений дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре принимает вид:

; .

Функция является решением дифференциального уравнения (2) и называется уравнением затухающих колебаний заряда конденсатора.
Циклическая частота затухающих колебаний:

или

Амплитуда заряда на конденсаторе убывает со временем по экспоненциальному закону:



Быстрота убывания определяется величиной β, которую называют коэффициентом затухания.



Так как 𝜔 есть действительное число и 𝜔2 не может быть отрицательным, то затухающие колебания имеют место только при условии (см.4):

Наконец, постоянные величины и определяются начальными условиями. Если, например, вначале при разомкнутом контуре конденсатор заряжен ( - величины заряда), а потом соединен с катушкой и резистором, то начальная фаза колебаний равна нулю, то есть . На рисунке 2 оказаны графики затухающих колебаний в одном электрическом контуре при двух значениях коэффициента затухания. Причем, 𝛽2 > 𝛽1, а величины и одинаковы. Пунктиром изображена зависимость амплитуды заряда от времени. Эта зависимость называется экспоненциальной.



Рисунок 2. Графики затухающих колебаний заряда с разными коэффициентами затухания

Теперь обратим внимание на такие особенности колебательного процесса с затуханием, которые на рисунке заметить нельзя. Для этого найдем равнение колебаний тока в контуре, приняв уравнение колебаний заряда в виде . Так как 𝐼 =𝑞′, то после дифференцирования получим:

З аписав слагаемое как и складывая оба слагаемых выражения в скобках с помощью векторной диаграммы, получим уравнение колебаний тока в виде:

колебаниями заряда и тока.

Полученный результат приводит к следующим заключениям:
1. Амплитуда тока в начальный момент времени не зависит от характеристик затухания.
2. В контурах с малым сопротивлением R и достаточно большой частотой 𝜔 реализуется неравенство: 𝛽 ≪𝜔. Это случай слабого затухания, величина сдвига фаз Ψ стремится к ( ). Затухание влияет на частоту 𝜔 только во втором порядке.
Полученная ранее формула (4) позволяет рассчитать относительную разницу величин и 𝜔 с помощью соотношения:



В результате при СЛАБОМ ЗАТУХАНИИ уравнения колебаний заряда и тока можно приближенно записать так:



Отметим, что период колебаний определяется в этом случае известной формулой Томсона:

Точное же значение периода затухающих колебаний (в соответствии с формулой (4)) равно:

В ернемся еще раз к экспоненциальной зависимости , изображенной на рис. 2, чтобы рассказать о других важных характеристиках затухающих колебаний и дать им физическое объяснение.
Непрерывное рассеяние энергии на сопротивлении приводит к тому, что наибольший заряд конденсатора уменьшается с каждым периодом колебаний, именно:

N - число колебаний. Эти амплитуды колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию. А это означает, что отношение величины каждого максимума к последующему одинаково.
Безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения амплитудных значений, отстоящих по времени на период колебания, называется логарифмическим декрементом затухания:



С логарифмическим декрементом затухания связана (обратно пропорциональной зависимостью) еще одна характеристика затухающих колебаний - добротность Q. (Не путать с зарядом q!). В случае слабого затухания добротность определяется следующим образом:

то есть, чем меньше затухание,
тем больше добротность.

Для того, чтобы выявить смысл характеристик затухания, введем понятие времени релаксации 𝜏. Это такой промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз (е2,72- основание натуральных логарифмов).

Заменив t на  в выражении , получим , откуда:



Т о есть коэффициент затухания 𝛽 - это величина, обратная времени релаксации 𝜏.
Связь коэффициента затухания и логарифмического декремента получают из формулы определения последнего (10):

Где T – период колебаний.

В случае слабого затухания можно выразить логарифмический декремент затухания через параметры контура:

В качестве меры затухания можно использовать также число – число колебаний, совершающихся в контуре за время, равное времени релаксации 𝜏. При малом затухании время 𝜏 больше периода колебаний.
Поэтому имеем: так как

Т аким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в 𝑒 раз. Добротность же прямо пропорциональная числу .
Исходя из формул (14) и (16), можно получить формулу зависимости добротности от параметров контура при слабом затухании:

Полная картина поведения электрического контура не ограничивается только затухающими колебаниями. В контуре с сильным затуханием (большим сопротивлением R) колебаний заряда нет, есть только монотонное убывание с течением времени. Не будем рассматривать соответствующие решения дифференциального уравнения (2). Заметим только, что специальный случай «критического затухания» имеет место при сопротивлении R, равном

в котором величину называют критическим сопротивлением контура.

Эта последняя формула подтверждает общую особенность, выражающуюся в том, что все рассмотренные выше характеристики процессов в колебательном контуре имеют связи с численными значениями параметров контура R, L и С. Исследования, проводимые в этой работе, имеют целью проверить некоторые из них.

3. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Электрическая цепь собрана по схеме, изображенной на рис. 1. Колебания возбуждаются в контуре благодаря зарядке конденсатора от источника однополупериодного переменного тока с частотой 50 Гц.
Затухающие колебания напряжения на конденсаторе подаются на клеммы вертикального усиления осциллографа (рис. 3). При этом частоту развертки электрического сигнала осциллографом устанавливают примерно такой же, что и частота зарядки С.
В качестве элементов колебательного контура используются наборы конденсаторов, катушек индуктивности и сопротивлений (резисторов). Присоединение каждого элемента набора производится с помощью кнопочного выключателя. Для включения элементов R, L, C в цепь контура нужно нажать соответствующие кнопки и зафиксировать их в «утопленном состоянии».





Значения сопротивления R, электроемкости С и индуктивности L для каждого положения кнопочных выключателей составляют отдельную таблицу. Таблица выдается на рабочее место при выполнении работы.
Основные измерения проводятся с помощью осциллографа. Осциллограмма напряжения 𝑈𝑐 выглядит так, как показано на рис. 4, то есть подобна графику колебаний заряда на конденсаторе из рис. 2 ( ).
Время по горизонтальной оси можно рассчитать. Для этого поверх экрана нанесена прямоугольная сетка, калиброванная в единицах времени (мс или мкс). Назовем временную длительность одного квадрата сетки по горизонтали ценой деления развертки и обозначим ее 𝛾. Для более точного измерения каждое деление «разделено» на доли по 0,2 (это указано на сетке). Тогда время t, в течение которого происходят N колебаний, будет равно , где n- число квадратов сетки, в пределах которых укладываются эти N колебаний. На рис. 4 видно, что для N=6, то есть для шести периодов Т, число n равно 6,6. Величину 𝛾 отсчитывают непосредственно на панели осциллографа. Отсчёт числа полных колебаний удобно проводить по амплитудным (максимальным) значениям напряжениям. Начало отсчёта «0». На рис. 4 переключатель развертки по горизонтали указывает 0,1. Справа от переключателя нажата кнопка 𝑚𝑠, значит, цена деления  равна 0,1 мс. Отсчитываем шесть полных колебаний (N=6). На экране осциллографа время шести колебаний соответствует n=6,7 делениям. Тогда . Время одного колебания, то есть период колебания .
Важным параметром затухающих колебаний является время релаксации . За это время амплитуда колебания уменьшается в «е» раз (е=2,72 – основание натурального логарифма). Амплитуду напряжения можно измерять в делениях (одно деление – это сторона квадрата сетки на экране осциллографа по вертикали). Цена деления в данном случае для наших рассмотрений не важна. Важно, чтобы формат изображения был удобен для рассмотрений. На рис. 4 амплитуда напряжения =4 деления. Амплитуда через время релаксации =1,48 деления (42,72 =1,48). Осциллограмма показывает, что уменьшение амплитуды в «е» раз произошло за время .
С основными органами управления осциллографом следует ознакомиться перед началом измерений.



Рис. 6.5 Осциллограф



Рис. 6.6 Экран осциллографа

Рассмотрим экран осциллографа поподробнее (рис. 6.6). Цена деления временной развёртки отображается на экране осциллографа, в данном случае γ = 500 μs (500 микросек). Цена деления амплитудной развёртки (20.4 В). T – это период колебаний. - амплитуда произвольного колебания.

4. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Задание 1.

Определить сопротивление проводов намотки катушки индуктивности.

Дано:

; ;

; ; ; .

Ответ: Напряжение – 2.098 Ом.

5. ВЫВОД

Ознакомились с физическими процессами, протекающими в электрическом контуре. Исследовали влияние величин электроёмкости и индуктивности на период колебаний в контуре с малым сопротивлением. Установили характер зависимости логарифмического декремента затухания колебаний от сопротивления контура.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Катушка индуктивности обладает реактивным сопротивлением. Чем больше частота тока, протекающего через катушку – тем больше её сопротивление. Катушка с током запасает энергию в магнитном поле. При замыкании катушки с током на резистор происходит переходной процесс, при котором ток в цепи экспоненциально уменьшается, формула ниже. Уменьшение тока в 2.7 раза передаётся за 3 наносекунды. Частота колебаний в электрическом контуре зависит от ёмкости и индуктивности.



2. Закон Ома, Кирхгофа. Закон сохранения энергии.

3. Отличие – нет сопротивления в формуле. (Идеальный контур не имеет сопротивления)

Реальный эл. Контур:

Идеальный:

4. Быстрота уменьшения амплитуды напряжения зависит от коэффициента затухания.







При изменении t, уменьшается .



5. Время релаксации – промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшится в раз (e – основание натурального логарифма)
время релаксации зависит от сопротивления:



6. Декремент затухания – отношение амплитуд, отличающихся по времени на период.

который можно определить как или – количество полных колебаний, t – время одного колебания.

Через логарифмический декремент затухания можно выразить добротность

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний уменьшилась в раз.

7. Q обратно пропорционален R и C и прямо пропорционален L. Формула работает только при слабом затухании:

8. a) (Формула Томпсона), все формулы согласованны с данными

б) (в случае слабого затухания)

т.к. , то получим формулу

7. ЗАДАЧИ

1.1. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 444 пФ и катушки с индуктивностью 4 мГн. На какую длину волны настроен контур?

Дано: Найти – λ ?

Решение: По формуле Томсона T колебаний контура Длина связана с T колебаний – Тогда Ответ: λ = 2511 метра

1.2. Напряжение на обкладках конденсатора в колебательном контуре меняется по закону . Ёмкость конденсатора C. Найти индуктивность контура и закон изменения силы тока в нём.

Дано: Найти: L? I(t)?

Решение: Напряжение U на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется по гармоническому закону , где – это амплитудное значение напряжения, это циклическая частота (в условии задачи = c-1), L – индуктивность, С – ёмкость конденсатора. Отсюда Заряд на обкладках конденсатора Q равен: Сила тока по определению Ответ: