Математические модели элементов САУ. Лекция 2. Математические модели элементов САУ. Лекция Математические модели элементов сау
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
Лекция № 2. Математические модели элементов САУ. Цель: Изучить методы составления дифференциальных уравнений и передаточных функций элементов систем автоматического управления различной физической природы. План: 1. Модели динамических систем 2. Математическая модель 3. Передаточная функция. 4. Примеры составления дифференциальных уравнений 4.1. Схема на R, L элементах 4.2. Схема на R, С элементах 4.3. Сложная схема на R, С элементах 4.4. Сложная схема на R, L, С элементах 4.5. Схемы на операционных усилителях 1. Модели динамических систем В процессе разработки автоматической системы управления требуется найти решение двух задач: -задачи синтеза системы; -задачи анализа системы. В первом случае задаётся набор свойств, которыми должна обладать система и необходимо найти структуру системы. Во втором случае даётся система и необходимо определить её свойства. Задача синтеза системы является более сложной и имеет множество возможных решений. Современные методы синтеза САУ не позволяют сразу получить однозначное решение, поэтому 2 при проектировании САУ неоднократно производят анализ разработанной системы, с целью уточнения параметров и последующей корректировки системы, при необходимости. Методом постепенного уточнения значений элементов добиваются соответствия системы заданным параметрам. В самом общем виде анализ системы включает в себя математическое описание, исследование установившихся режимов и переходных процессов. Современная теория автоматического управления оперирует преимущественно с моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения модели исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов, как показано на рис. 1, а. Рис.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде "черного ящика" Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы. 1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Входные переменные подразделяются на две группы: – сигналы воздействия среды, в которой находится система; 3 – управляющие сигналы. Переменные первой группы – это возмущения среды, вызванные внешними по отношению к системе управления причинами. Примерами таких возмущений могут быть порывы ветра – для летящего самолета, течение воды – для плывущего корабля, изменение поля тяготения вблизи больших масс небесных тел – для космического корабля и т.д. Если закон изменения такого возмущения известен (например, изменение давления воздуха с высотой полета самолета), то это возмущение можно учесть в виде переменной второй группы. Переменные второй группы – это так называемые, контролируемые возмущения. Их можно разделить на учтенные возмущения внешней среды и управляющие воздействия. Последние из них являются результатом сравнения выходной информации системы с заданием и выработки управляющего сигнала на коррекцию поведения системы на основе результатов сравнения. Входные переменные характеризуются вектором входа s u u u ,..., , 2 1 U , где s − число входов. 2. Выходные переменные определяют реакцию системы на входные воздействия и возмущения внешней среды и представляются вектором выхода m y y y ,..., ,. 2 1 Y , где m − число выходов. 3. Промежуточные (внутренние) переменные, определяют внутреннее состояние системы, − переменные состояния, представляются вектором 4 n x x x ,..., , 2 1 X , где n − число переменных состояния. Совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа U, совокупность выходов как вектор Y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, – как вектор состояния X (см. рис. 1, б). 2. Математическая модель Математическая модель – это одно или несколько уравнений, связывающих входные и выходные сигналы системы и частично отражающих свойства и поведение системы, необходимые для исследования. В качестве математических средств описания и исследования систем управления чаще всего используются: − алгебраические и дифференциальные уравнения; − преобразование Лапласа; − преобразование Фурье. Описание многомерных систем отличается высокой сложностью и связано с большим объемом вычислений, поэтому при дальнейшем рассмотрении систем управления мы ограничимся элементами, а затем и системами с одним входом и одним выходом. Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект О и управляющее устройство УУ, как показано на рис.2. f(t) g(t) (t) y(t) x(t) У О 5 Рис. 2. Структурная схема замкнутой системе Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства. Состояние объекта характеризуется выходной величиной x(t), регулирующим воздействием y(t) и возмущением f(t). Тогда выходная величина может быть представлена функцией: ,...). , ,...; , , ,...; , , ( ) ( x x f f f y y y t x Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием y(t) и входным воздействием (t). Процессы в УУ будут описываться двумя уравнениями: ,...); ,...; , , ( ) ( y y F t y ). ( ) ( ) ( t x t g t Три последних уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в этих уравнениях исключить переменные y(t) и (t), то получим дифференциальное уравнение САУ: ,...). , ,...; , , ,...; , , ( ) ( x x f f f g g g t x Это уравнение оценивает состояние системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравнением динамики. Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствие сложности решения таких уравнений. Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Дифференциальное уравнение элемента в общем случае имеет вид: ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 1 t dt t d d t d t x a x a t x d a t x d a вых вых n вых n n n вых n n (1) 6 ). ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 1 t dt t d d t d t x b x b t x d b t x d b вх вх m вх m m m вх m m Если в уравнение (1) вместо функции времени ) (t x вых и ) (t x вх ввести функции ) ( p X вых и ) ( p X вх комплексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями: , ) )( ( ) ( , ) ( ) ( 0 0 dt t t p dt t p e x X e x X pt вх вх pt вых вых (2) то оказывается, что дифференциальное уравнение, содержащее функции ) (t x вых и ) (t x вх , при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему функции ) ( p X вых и ) ( p X вх : ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 p p p p p X a X a X p a X p a вых вых вых n n вых n n ). ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 p p p p p X b X b X p b X p b вх вх вх m m вх m m (3) Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа. Функция ) ( p X называется изображением функции ) (t x , функция ) (t x называется оригиналом функции ) ( p X Операция перехода от искомой функции ) (t x к ее изображению ) ( p X (нахождение изображения от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L как ). ( ) ( p X t x L Операция перехода от изображения ) ( p X к искомой функции х t ( ) (нахождение оригинала по изображению) называется обратным 7 преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L 1 как ). ( ) ( 1 t x p X L Формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций t d n n d , dt d d t d n n ..., 1 1 соответственно на p p p n n ,..., , 1 и функций х t ( ) - их изображениями X(р) . С комплексной переменной р , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д. Так как возможность однозначного перехода от дифференциального уравнения к алгебраическому значительно упрощает расчеты, то важно убедиться в правомерности такого перехода. Обозначим в исходном дифференциальном уравнении ) (t y dt dx и согласно интегралу (2) найдем изображение: ) ( ) ( 0 0 dx dt t y dt dx L p Y e e pt pt Согласно правилу интегрирования по частям 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( t d t x p t x p Y e e pt pt ). 0 ( ) ( 0 x dt t x p e pt При нулевых начальных условиях x( ) 0 0 и с учетом (2) получим: ). ( ) ( p pX dt dx L p Y 8 Таким образом, операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число р Так как , 2 2 dt dx dt d d x t d то ) ( 2 2 2 p X d x L p t d и т.д. Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков. Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение X(р) искомой функции х t ( ) , определяющей переходной процесс в системе, находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа. 3. Передаточная функция. Кроме того, преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции. Вынеся в уравнении (3) вых X p ( ) и вх X p ( ) за скобки, получим: ) ( ) ( 0 1 1 1 p p X a a p a p a вых n n n n ). ( ) ( 0 1 1 1 p p X b b p b p b вх m m m m Определим из этого уравнения отношение изображения выходной величины к изображению входной: ). ( ) ( ) ( 0 1 1 1 0 1 1 1 p W p p p p a a p a p a b b p b p b X X n n n n m m m m вх вых (4) 9 Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы). Передаточная функция W(p) является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р: W p B p A p ( ) ( ) ( ) , где A p p n n n n a p a p a a ( ) 1 1 1 0 - полином степени n, B p p m m m m b p b p b b ( ) 1 1 1 0 - полином степени m. Из определения передаточной функции следует, что: вых вх X X p p W p ( ) ( ) ( ). Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции. Рассмотрим вначале примеры по определению дифференциальных уравнений и передаточных функций некоторых простейших схем, характерных для электроники. При этом в качестве элементов систем будем рассматривать электрические элементы. Правомерность такого подхода определяется следующими соображениями. 1. Процессы, протекающие в электрических схемах, описываются известными законами Ома и Кирхгофа. 2. Протекающие в них процессы зависят от одной, наиболее существенной для нас переменной – времени. 3. Для решения уравнений, протекающих в них процессов, разработано множество аналитических и численных методов. 10 Основными элементами электрических схем являются резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы и источники ЭДС, поэтому для получения математических моделей электрических схем необходимо иметь математические модели составляющих их элементов. Они описывают процессы в элементах, происходящие при воздействии входных сигналов. Условные графические обозначения элементов электрических схем приведены на рис 3. R i t u t L C i t u t i t u t i t u t E а б в г Рис. 3. Условные графические обозначения элементов электрических схем: резистор (а), катушка индуктивности (б), конденсатор (в), источник ЭДС (г) Определим математические модели рассматриваемых элементов электрических схем: - напряжение и ток на резисторе u t i t R ; ) ( ) ( R t u t i R - напряжение и ток на катушке индуктивности di t u t L dt 11 ; ) ( 1 ) ( dt t u L t i L L - напряжение и ток на конденсаторе 0 1 t u t i t d C ; ) ( ) ( dt t du C t i c c где u t - напряжение, i t - ток, R – сопротивление, L – индуктивность, C – емкость, p – оператор. В соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком). 1 0 n j j i , где n – количество ветвей в узле. В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. 1 1 n m j k j k u e Простейшие элементы линейных систем управления (с одним входом и одним выходом) могут быть описаны одним дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Составив и решив дифференциальное уравнение, описывающее систему, можно определить характер изменения выходного сигнала и его значение в любой момент времени. 12 4. Примеры составления дифференциальных уравнений Пример 4.1. Схема на R, L элементах Вывести передаточную функцию для схемы на рис. 4, считая входным воздействием приложенное напряжение u, а выходным - ток в цепи i. R L u i Рис. 4. Схема на R, L элементах Процессы в схеме описываются уравнением: u t L di t dt Ri t ( ) ( ) ( ). Перейдем к изображениям по Лапласу: U p LpI p RI p I p Lp ( ) ( ) ( ) ( )( ). 1 Составим передаточную функцию как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины: W p I p U p Lp R R L R p k Tp ( ) ( ) ( ) , 1 1 1 1 где k R 1 - коэффициент передачи, T L R - постоянная времени. Передаточные функции принято записывать в такой форме, чтобы свободные члены полиномов от р равнялись бы единице, что и сделано как в рассмотренном примере, так и в последующих. Пример 4.2. Схема на R, С элементах 13 Вывести передаточную функцию схемы на рис. 5, считая входной величиной напряжение u 1 , а выходной - u 2 R 1 u C 2 u i Рис. 5. Схема на R, С элементах При выводе передаточной функции будем считать, что цепочка не нагружена (никаких элементов к выходным зажимам не подключено, либо эти элементы имеют сопротивление, стремящееся к бесконечности) и сопротивление источника входного напряжения настолько мало, что им можно пренебречь. Подставим (в) в (а): 1 2 u u u u u t RС d t dt t t t C C C ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). Перейдем к изображениям: 1 2 1 U U U U p RС p p p p C C ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). Передаточная функция W p p p p RС p p RCp Tp U U U U C C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 1 1 1 1 1 1 где T RC - постоянная времени. Пример 4.3. Сложная схема на R, С элементах 1 2 u u u u u t) i t)R t), t) t), i t) C d t) dt C C C ( ( ( ( ( ( ( (а) (б) (в) 14 Вывести передаточную функцию схемы на рис. 6, считая входной величиной u 1 , выходной u 2 , при допущениях, сформулированных в примере 2. C i C 1 i R 1 1 u R 2 2 u 2 i Рис. 6. Сложная схема на R, C элементах Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа, одно уравнение по первому закону Кирхгофа и расписываем выходную величину: Из уравнений (б) и (в) соответственно получим: 1 1 i u R t t C ( ) ( ) ; 2 1 i u R u t t C d t dt C C ( ) ( ) ( ) Подставим полученные выражения 1 i t ( ) и 2 i t ( ) в уравнения (а) и (г): 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 u u i R u i R i i i i u u i R t) t) t) t) t) t) t) t) t) C d t) dt t) t) С C C C ( ( ( ; ( ( ; ( ( ( ( ( ; ( ( (a) (б) (в) (г) 15 1 2 1 2 2 2 1 2 u u R R u R u u R R u R u t t t C d t dt t t C d t dt C C C C C ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) Перейдем к изображениям: 1 2 1 2 2 2 1 2 1 U R R R U U R R R U p Cp p p Cp p C C ( ) ( ); ( ) ( ). Передаточная функция: W p p p Cp Cp U U R R R R R R ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 R R R R R R R R R R Cp Cp k( p Tp ) , где k R R R 2 1 2 - коэффициент передачи, T C R R R R 1 2 1 2 , 1 R C - постоянные времени. Пример 4.4. Сложная схема на R, L, С элементах Вывести передаточную функцию схемы на рис. 7, считая входной величиной u 1 , выходной - u 2 , при допущениях, сформулированных в примере 2. R 1 L 1 i 1 u C R 2 2 u 16 C i 2 i Рис. 7. Сложная схема на R, L, C элементах Система уравнений электрического равновесия схемы для мгновенных значений величин: 1 1 1 1 2 2 1 2 2 u i R i u u i R i i u u u t t L d t dt t t t t t C d t dt t t C C C C ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ). Последнее соотношение здесь, конечно, не уравнение, а обозначение выходной величины. Уравнения в операторной форме: Из уравнения (б) 2 2 I U R p p C ( ) ( ) Подставим полученное значение 2 I p ( ) в (в): 1 2 2 2 1 I U R U R R U p p Cp p Cp p C C C ( ) ( ) ( ) ( ). Последнее соотношение подставим в (а) и определим передаточную функцию: 1 1 2 2 1 U R R R U U p Lp Cp p p C C ( ) ( ) ( ) ( ); 1 1 1 1 2 2 1 2 2 U I R I U U I R I I U U U P p Lp p p p p p p Cp p p p C C C C ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ); ( ) ( ). (а) (б) (в) 17 W p p p Lp Cp Cp LC U U R R R R R R R R R p ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 R R R R R R p R R R R T p T LC C p k p , где k R R R 2 1 2 - коэффициент передачи, T LC R R R 2 1 2 , 1 1 2 1 2 T R R R R C - постоянные времени. Пример 4.5. Схемы на операционных усилителях Вывести передаточную функцию схемы на рис. 8,а, содержащей операционный усилитель. C R 2 Z oc (p) R 1 DA 1 I p ( ) Z 1 (p) I p ( ) DA oc I p ( ) 1 u 2 u вx U p ( ) выx U p ( ) а) б) Рис. 8. Схемы на операционных усилителях 18 Операционными усилителями называются усилители постоянного тока малой мощности с большим коэффициентом усиления. В настоящее время они выполняются по интегральной технологии, т.е. в виде микросхем. Выведем вначале передаточную функцию для типового включения операционного усилителя, показанного на рис. 8, б, в общем виде. Так как реальные микросхемы операционных усилителей имеют большой коэффициент усиления k ”— и большое входное сопротивление r ‰ › , то предположим, что k ”— и r ‰ › С учетом принятых допущений напряжение между инвертирующим и неинвертирующим входами операционного усилителя e e U k U вых о у вых p p ( ) ( ) 0 Отсюда следует, что напряжение на входе “ “ (инвертирующем) 0 и тогда вх U I Z p p p ( ) ( ) ( ). 1 1 Кроме того, учитывая, что r ‰ › , можно считать 0 ) ( p I и, следовательно 1 I I p p oc ( ) ( ). Выходное напряжение схемы тогда определяется следующим соотношением: вых oc oc oc U I Z I Z p p p p p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 Теперь легко получить выражение для передаточной функции схемы (см. рис. 8, б): W p p p p p вых вх oc вх U U Z Z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 19 Знак “минус” в последнем выражении указывает на то, что полярность выходного напряжения схемы противоположна полярности входного напряжения. Для определения передаточной функции схемы на рис. 8, а вначале найдем сопротивление конденсатора ) ( p Z C в операторной форме. Мгновенное значение тока через емкость равно: С C i u t C d t dt ( ) ( ) Переходя к изображениям по Лапласу: С C I U p Cp p ( ) ( ). Из последнего равенства С C C U I Z p p p Cp ( ) ( ) ( ) 1 (Аналогично для индуктивности можно получить Lp p Z L ) ( ). Используя выведенное значение ) ( p Z „ , для схемы на рис. 8, а получим: oc Z R R R R p Cp Cp Cp ( ) ; 1 1 1 2 2 2 2 1 1 Z R p ( ) ; W p Cp k Tp R R R ( ) ( ) , 2 1 2 1 1 где k R R 2 1 - коэффициент передачи, T C R 2 - постоянная времени. 20 Контрольные вопросы: 1. Что понимается под анализом и синтезом САУ. 2. Скалярное и векторное представление динамических систем. 3. Переменные, характеризующие динамическую систему. 4. Дать определение математической модели. 5. Математическая модель замкнутой САУ. 6. Переход от дифференциального уравнения к алгебраическому по Лапласу. 7. Связь дифференциального уравнения и передаточной функции. 8. Дифференциальные уравнения и передаточные функции элементов САУ на R, L, C элементах. 9. Математические модели элементов САУ на операционных усилителях. |