ведение в мат логику. 0a._Введение_в_математическую_логику. Лекция 0a Введение Что такое Математическая логика Что получат студенты от изучения курса
 Скачать 419.21 Kb.
|
Математическая логика Карпов Юрий Глебович karpov@dcn.infos.ru Лекция 0a Введение Что такое Математическая логика? Что получат студенты от изучения курса? Почему одни умозаключения убедительны, а другие – нет? Если прошел дождь, то дорога мокрая Следовательно , если дорога сухая, то дождя не было 3 Если прошел дождь, то дорога мокрая Следовательно , если дождя не было, то дорога сухая Правильное рассуждение НЕправильное рассуждение Правильность или неправильность рассуждений НЕ ЗАВИСИТ от того, о чем рассуждаем Если будут пробки, то он опоздает Следовательно , если он не опоздает, то пробок не было Правильное рассуждение НЕправильное рассуждение Если будут пробки, то он опоздает Следовательно , если пробок не будет, то он не опоздает почему? – а если поливальная машина? почему? - а если он задержался? Причины неправильности разные. Можно ли найти что-то общее? Правильность/неправильность зависит от СТРУКТУРЫ умозаключения Что такое математическая логика? 4 Математическая логика судит о “правильности” умозаключений, анализируя только их структуру Математическая логика – это наука о законах мышления. Логика занимается изучением правильных рассуждений, доказательств, умозаключений Что такое “ правильное ”, “ убедительное ” умозаключение? Убедительность рассуждения связана с его структурой Если прошел дождь , то дорога мокрая Следовательно , если дорога сухая , то дождя не было 5 Правильные рассуждения Если А, то Б Следовательно , если не Б, то не А Схемы рассуждений Атомарные утверждения: А – дождь прошел Б – дорога мокрая Атомарные утверждения: В – пробки на дорогах Г – он опаздывает Если будут пробки , то он опоздает Следовательно , если он не опоздает, то пробок не было Если В, то Г Следовательно , если не Г, то не В Схемы правильных рассуждений одинаковы! Схемы неправильных рассуждений 6 Если прошел дождь , то дорога мокрая Следовательно , если дождя не было , то дорога сухая НЕправильные рассуждения Если А, то Б Следовательно , если не А, то не Б Схемы рассуждений Если будут пробки , то он опоздает Следовательно , если пробок не было , то он не опоздает Если А, то Б Следовательно , если не А, то не Б Атомарные утверждения: А – дождь прошел Б – дорога мокрая Атомарные утверждения: А – пробки на дорогах Б – он опаздывает Схемы НЕправильных рассуждений одинаковы! Язык для выражения схем рассуждений – двоичные функции СХЕМЫ убедительных рассуждений совпадают: Если Х, то Y Следовательно , если не Y, то не X 7 Если X, то Y Следовательно , если не X, то не Y Правильная схема рассуждения Задача логики: определить, какие СХЕМЫ рассуждений правильны Неправильная схема рассуждения Логика построила ЯЗЫК для выражения СХЕМ рассуждений: X Y Y X ( - ‘ следовательно ’ ) X Y X Y Х, Y – переменные, которые принимают два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ , они могут представлять любые утверждения, в ЛЮБОЙ области Вывод правильный, а схема рассуждения – нет 8 Если прошел дождь , то крыши мокрые Следовательно , если дождя не было , то крыши сухие НЕправильное рассуждение? X Y X Y Схема рассуждения Если и только если прошел дождь , то крышы мокрые Следовательно , если дождя не было , то крыши сухие X Y X Y Схема рассуждения неправильная, но вывод правильный! Что-то не так! В посылке учтена не вся информация! Схема рассуждения правильна Схема неправильна Основная идея математической логики Идея математической логики восходит к Годфриду Лейбницу: Задача логики – записывать утверждения и рассуждения в виде последовательностей символов и затем оперировать с построенными формулами по формальным правилам Правильность рассуждений можно будет проверять механически абстрагируясь от их смысла Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (1646 -1716) 9 Как строить “убедительные” умозаключения? 10 Нужно построить“правильные“ схемы умозаключений, а потом наполнить их смыслом: Р Q R Q P R Q Если завтра приедет губернатор, то дорогу перекроют. Если завтра приедет мэр, то дорогу тоже перекроют. Кто-нибудь из них точно приедет, ведь завтра праздник! Следовательно , завтра дорогу точно перекроют. Если Р, то Q Если R, то Q Или Р, или R Следовательно, Q Если будет инфляция, то уровень жизни упадет. Рост цен ведет к падению уровня жизни. Очевидно, что или будет инфляция, или же цены вырастут! Следовательно , уровень жизни точно упадет. Что значит “правильные” рассуждения? Схемы, которые математическая логика рассматривает как “правильные”, выражают закономерности, которые можно назвать законами мышления “Правильные” схемы согласуются с законами реальности “Неправильные” схемы противоречат законам реальности 11 Законы логики применимы в любой области человеческой деятельности Допущения, на которых основана математическая логика Сведения о мире можно представить множеством утверждений Сложное утверждение может быть представлено формально в виде математической формулы Всякое утверждение (и атомарное, и сложное) либо истинно, либо ложно, третьего не дано Значение истинности сложного утверждения зависит только от истинностных значений входящих в него атомарных утверждений и от его структуры 12 Что исследует, и что не исследует логика? Что исследует математическая логика? - формальные схемы умозаключений (логические формулы), - методы анализа и преобразования логических формул, - правильные схемы доказательств, - методы вывода следствий из имеющихся фактов Чем НЕ занимается математическая логика? - что такое мышление, - что такое истина, - как устанавливать истинность фактов Математическая логика дает формальный язык записи рассуждений, правила построения умозаключений и проверки их правильности 13 Математическая логика необходима каждому инженеру, работающему с информацией Математическая логика возникла из внутренних потребностей математики. Классическое ее направление – основания математики: способы математических доказательств, анализ математических теорий Но значение логики много шире. В последние десятилетия математическая логика превратилась в “индустриальную” науку: Prof. Moshe Y. Vardi (Rice Uni): “ From Philosophical to Industrial Logic ” (Lecture at the University of Liverpool, 2010) 14 Методика представления материала студентам – будущим инженерам Невозможно освоить математическую логику, не изучая формализмы Формальные конструкции усваиваются студентами с большим трудом Формальные конструкции в курсе демонстрируются на различных примерах Курс – для студентов технических направлений обучения 15 Разделы курса Введение 00. Введение в логику (эта лекция – одна из двух лекций введения) 01. Булевы функции и их применения Основы математической логики 1. Логика высказываний 2. Логический вывод в логике высказываний 3. Логика предикатов 4. Логический вывод в логике предикатов 5. Аксиоматические теории Верификация программ 6. Дедуктивная верификация программ 7. Верификация реагирующих программ 16 Цель изучения курса. Что даст курс Математической логики студентам? Логика является инструментом формирования конструктивного мышления Логика дает средства формализации постановок и решения инженерных проблем В результате изучения курса студенты научатся: - ясно излагать свои мысли; - получать “правильные” следствия из установленных фактов; - формально представлять и преобразовывать информацию об окружающем мире; - формализовывать инженерные проблемы; - ясно понимать основные проблемы верификации программ. 17 Нелогичное мышление - сумбур и хаос Виталий Кличко: - Если человек одел форму СС, то… есть чёткое… он окрасил себя в те цвета, в которые он окрасил себя! И… те люди, которые… есть очень много по этому поводу точек зрения… я чётко придерживаюсь, и я чётко понимаю, что те проявления. Если вы уже так ребром ставите вопрос, что … якобы мы!… Владимир Познер: - Понял! Интервью В.Кличко. Эфир В. Познера (13.12.2013 г.) http://www.youtube.com/watch?v=QnSc9p_URV0 Виталий Кличко: - Сегодня в завтрашний день не все могут смотреть. Вернее смотреть могут не только лишь все, мало кто может это делать ”. Интервью В.Кличко. Эфир С. Шустера (22.11.2013) 18 У кого не уяснены принципы логики, “ у того не только в голове сумбур, но и в делах чепуха ” (Н.Г.Чернышевский) Логика – это весело, красиво, и она волнует ум Из выступления проф. математики Arthur Benjamin на конференции “ Technology, Entertainment, Design” : “ Математика - это наука о формальных моделях, и мы изучаем её, чтобы научиться мыслить логично, критично и творчески , но та математика, которую мы изучаем, чаще всего неэффективно мотивирована ... Было бы здорово, если бы мы занимались математикой просто потому, что это весело и красиво, и потому, что она волнует ум ” Мы надеемся, что при изучении нашего курса студенты увидят, что математическая логика - это весело, красиво, и она волнует ум 19 Требования к слушателям курса Еженедельно студенты должны тратить 1.5 часа на прослушивание лекций, и 2 часа на решение задач Необходимые предварительные знания для понимания курса: Стандартный курс дискретной математики, включающий: теорию двоичных функций наивную теорию множеств Первоначальный опыт программирования на языке высокого уровня 20 НАИЛУЧШИЕ ПОЖЕЛАНИЯ в изучении интересного и важного курса!! Guillaume & Jennifer Dargaud's website , gdargaud.net Надеемся, что результат обучения будет лучше, чем такой: 21 Литература Основная С. Клини. Математическая логика // М., “Мир”, 1978 Ю.В.Ивлев. Логика // Москва, 1998 Ю.Г.Карпов. Теория автоматов // Питер, 2005 Слайды и конспекты лекций Дополнительная Ю.Г.Карпов. Model checking. Верификация параллельных и распределенных программных систем // СПб, БХВ, 2010 Р. Смаллиан. Принцесса или тигр // М., “Мир”, 1985 Ч.Чень, Р.Ли. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем // М., “Мир”, 1983 С. Рассел, П. Норвиг. Искусственный интеллект. Современный подход // М., “Вильямс”, 2006 Р.Пенроуз. Новый ум короля // Oxford Univ Press, 1989 22 Заключение. Вопросы по разделу Что такое математическая логика? Логика – наука о законах мышления Что такое “ правильность ” рассуждения? “Правильные” рассуждения соответствуют законам логики Почему правила, законы математической логики могут быть использованы при рассуждениях в ЛЮБОЙ области? Логика изучает схемы рассуждений, абстрагируясь от их смысла Зачем такой курс нужен студентам технических направлений? Чтобы научиться ясно, логично мыслить и рассуждать Чтобы использовать в своей профессиональной деятельности методы и приемы логики для формализации и обработки информации 23 Спасибо за внимание 24 |