Лекция 12 Механические колебания. Лекция 12 Механические колебания 10052014 Алексей Викторович Гуденко План лекции
 Скачать 1.56 Mb.
|
Лекция № 12 Механические колебания10/05/2014 Алексей Викторович Гуденко План лекции Свободные незатухающие гармонические колебания:
Математический маятник Физический маятник Затухающие колебания с вязким трением. Вынужденные колебания. Резонанс. Параметрический резонанс. АвтоколебанияДемонстрации Автоколебания Резонанс камертонов Параметрический резонанс Колебательные процессы Колебание – изменение состояния системы по периодическому или почти периодическому закону: маятник часов, груз на пружине, гитарная струна, давление воздуха в звуковой волне. Свободные (или собственные) колебания: колебания в системе, предоставленной самой себе: шарик в лунке, маятник. Вынужденные колебания – колебания под действием внешней периодической силы: вибрации моста, качели. Автоколебания, параметрические колебания. mx” = - kx mx” + kx = 0 Свободные незатухающие гармонические колебания. Пружинный маятник mx” = - kx mx” + kx = 0 x” + ω02x = 0 – дифференциальное уравнение гармонических колебаний (ω02 = k/m) x = Acos(ω0t + φ0) – гармоническое колебание A – амплитуда колебаний ω0 – циклическая частота φ0 – начальная фаза ω0t + φ0 – фаза колебаний T = 2π/ ω0 – период колебаний Изохронность: ω0 – определяется только свойствами системы и не зависит от амплитуды. F = -kx – квазиупругая возвращающая сила Смещение: x = Acos(ω0t + φ0)Скорость и ускорение при гармонических колебаниях Смещение: x = Acos(ω0t + φ0) Скорость: v = x’ = - ω0Asin(ω0t + φ0) = ω0Acos(ω0t + φ0 + π/2); v0 = ω0A – амплитуда скорости; скорость опережает смещение x по фазе на π/2. Ускорение a = - ω02Acos(ω0t + φ0) = ω02Acos(ω0t + φ0 + π) a0 = ω02A – амплитуда ускорения; ускорение в противофазе со смещением Векторная диаграмма Векторная диаграмма: x = Acos (ωt + φ0) проекция на ось OX радиус-вектора длиной A, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω от начального положения φ0 Смещение: x = Acosω0tВекторная диаграмма гармонических колебаний (картинка) Смещение: x = Acosω0t Скорость: v = x’ = - ω0Asin(ω0t + φ0) = ω0Acos(ω0t + φ0 + π/2); опережает смещение x по фазе на π/2. a = - ω02Acos(ω0t + φ0) = ω02Acos(ω0t + φ0 + π) ускорение в противофазе со смещением Энергия гармонических колебаний Потенциальная энергия: П = kx2/2 = ½kA2cos2(ω0t + φ0) Кинетическая энергия: K = mv2/2 = ½mω02A2sin2(ω0t + φ0) = ½кA2sin2(ω0t + φ0) Полная энергия: Е = П + K = const = ½kA2 = ½mv02 Для гармонических колебаний: Энергетический метод для колебательных систем с одной степенью свободы q – обобщённая координата (смещение, угол поворота, заряд на конденсаторе) q’ – обобщённая скорость (скорость смещения, угловая скорость, электрический ток) Уравнение энергии: ½ κq2 +½ μq’2 = const П = ½ κq2 – потенциальная энергия K = ½ μq’2 – кинетическая энергия ω2 = κ/μ – циклическая частота κ – эффективная жёсткость системы μ – инерционность системы Математический маятник. Математический маятник – материальная точка на нерастяжимой лёгкой нити в поле тяжести Земли. Энергетический метод: θ – угол отклонения нити от вертикали (обобщённая координата).
Кинетическая энергия: K = ½ m(Lθ’)2 = ½ mL2 θ’2 = ½ μθ’2 μ = mL2 – инерционность системы Уравнение колебаний: ½кθ2 + ½ μθ’2 = const ω02 = к/μ = g/L; T = 2π/ω0 = 2π(L/g)1/2 Ангармонический математический маятник ½кθ2 + ½ μθ’2 = const θ” + ω02 θ = 0 – линеаризованное уравнение θ” + ω02sinθ = 0 – нелинеаризованное ангармоническое уравнение; T = T0(1 + θ02/16 + 9θ04/64 + …) – период зависит от амплитуды θ0 Физический маятник Физический маятник - твёрдое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Энергетический метод:
Кинетическая энергия: K = ½Iθ’2, I = Ic + ma2 - момент инерции относительно оси O Уравнение колебаний: ½mgaθ2 + ½ Iθ’2 = const ω02 = mga/I; T = 2π/ω0 = 2π(l/mga)1/2 Приведённая длина. Центр качания. Теорема Гюйгенса. Оборотный маятник и измерение g Lпр = I/ma – длина математического маятника с тем же периодом колебаний Lпр = I/ma = (Ic + ma2)/ma = a + Ic/ma Центр качания О’ расположен на прямой ОС расстоянии Lпр от точки подвеса O Теорема Гюйгенса Точка подвеса и центр качания являются “сопряжёнными” точками: если маятник подвесить за центр качания, то его период не изменится. Доказательство: Lпр = a + Ic/ma a2 - Lпрa + Ic/m = 0 a1 + a2 = Lпр Оборотный маятник и измерение g: экспериментально определяют расстояние между сопряжёнными точками ОО’ = Lпр и рассчитывают g по формуле: g = Lпрω02 Крутильный маятник Крутильные колебания Диск на упругой нити: Момент упругих сил Mz = - kθ, k – коэффициент “крутильной” жёсткости I0θ” = - kθ θ” + (k/I0)θ = 0 ω02 = k/I0 Сила вязкого трения Fтр = -βvЗатухающие колебания. Сила вязкого трения Fтр = -βv mx” = - kx – βv mx” + βv + kx = 0 x” + 2γx’ + ω02 x = 0 - дифференциальное уравнение колебаний с затуханием; γ = β/2m – коэффициент затухания ω02 = k/m – собственная частота если γ < ω0,то x = а0e-γtcos(ωt + φ0), ω = (ω02 – γ2)1/2 – частота затухающих колебаний; а0e-γt – амплитуда затухающих колебаний Характеристики затухающих колебаний Время релаксации τ – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз: τ = 1/ γ Логарифмический декремент затухания: λ = ln[a(t)/a(t + T)] = γT = T/τ Число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e раз Ne = τ/T = 1/λ Слабое затухание Ne = τ/T = ω/2πγ >> 1 γ << ω ≈ ω0 Диссипация энергии. Добротность. dE/dt = -βv2 - мощность силы трения dE/dt = -βv2 = -(2β/m) (mv2/2) = - 4γK Слабое затухание: γ << ω0 Убыль энергии за период ΔЕT = 2γTE Убыль энергии при изменении фазы на 1 рад: ΔЕ = ΔЕT/2π = (2γ/ω)E0 Добротность: Q = E/ΔЕ = ω/2γ = πNe mx” + βv + kx = Fcosωt Вынужденные колебания. Векторные диаграммы. Резонанс. mx” + βv + kx = Fcosωt x” + 2γx’ + ω02x = fcos ωt, f = F/m Вынужденные колебания ищем в виде: x = Bcos(ωt + φ) Векторная диаграмма: x = Acos (ωt + φ0) проекция на ось OX радиус-вектора длиной A, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω от начального положения φ0 Из векторной диаграммы:Вынужденные колебания. Векторные диаграммы. Резонанс. Из векторной диаграммы:
Фаза tg φ = 2γω/(ω02– ω2) В резонансе (при малых γ) Bmax ≈ B(ω0) = f/2γω0 Bmax/Bстат = ω0/2γ = Q Вблизи резонанса: B = Bmaxγ/((ω – ω0)2 + γ2)1/2 ширина резонансной кривой Δω = 2γ Резонансная кривая B = Bmaxγ/((ω – ω0)2 + γ2)1/2 Три способа определения добротности колебательной системы По затуханию: A(t) = A0e-γt → Q = πNe, где Ne – число колебаний за которое амплитуда свободных колебаний падает в е раз По резонансной кривой
Q = Aрез/Астат Параметрический резонанс Параметрический резонанс - возбуждение незатухающих колебаний периодическим изменением параметров колебательной системы Пример: маятник с изменяющейся длиной (качели)
Работа против центробежной силы: A2 = mv02Δh/L приращение энергии за период: ΔE = 2(A1 + A2) = 6 Δh/L mv02/2 dE/dt = 6 Δh/L E/T = E/τ E = E0et/τ Разбиение бокалов. Лабораторные исследования Научный способ разбиения бокалов Научный способ разбиения бокалов Научный способ разбиения бокалов |