Лекция 4. Лекция 4 Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Вычисление определителей. Понятие о ранге матрицы.

• Название: Лекция 4 Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Вычисление определителей. Понятие о ранге матрицы.
• Дата: 29.03.2022
• Размер: 55.32 Kb.
• Имя файла: Лекция 4.docx
• Тип: Лекция; #424968

Лекция 4: «Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Вычисление определителей. Понятие о ранге матрицы.»

План

1. 
   Минор определителя. Понятие о ранге матрицы.
   
2. 
   Метод окаймляющих миноров
   
3. 
   Элементарные преобразования матрицы.
   

1. 
   Минор определителя. Понятие о ранге матрицы.
   

Минором данной матрицы А называется определитель, составленный из оставшихся элементов матрицы после вычёркивания из неё нескольких строк и столбцов.

Рассмотрим, например, матрицу

а11	а12	а13	а14
а21	а22	а23	а24
а31	а32	а33	а34

Миноры третьего порядка этой матрицы получаются после вычёркивания одного столбца и замены знака матрицы ( ) знаком определителя | |. Их четыре. Миноры второго порядка получаются после вычёркивания двух столбцов и одной строки, их 18. Миноров первого порядка 12.

Рангом матрицы А (r_A) называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Можно определение ранга сформулировать и так:

рангом матрицы А (r_A) называется наибольшее натуральное число, для которого существует не равный нулю определитель k – го порядка, порождаемый матрицей А.
Убедитесь, что, например, ранг матрицы

1	2	3
2	4	6

равен 1 (r = 1), а матрицы

1	-1	0
2	0	1
1	1	1

равен 2 (r = 2).
Рассмотрим основные методы вычисления ранга матрицы.

2. 
   Метод окаймляющих миноров.
   

Пусть в матрице найден минор k – го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим те миноры (k + 1) – го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1) – го порядка и обсуждаемую процедуру придётся повторить.
Пример 3. (Маша Куприянова).
Найти ранг матрицы

2	5	4	20
1	3	2	11
2	10	9	40
1	8	7	31

Фиксируем минор второго порядка, отличный от нуля:

M2 =	9	40	≠ 0
	7	31

Минор третьего порядка

	3	2	11
M3 =	10	9	40	,
	8	7	31

окаймляющий минор М₂, также отличен от нуля:

M3 =		3	9	40	-2	10	40	+11	10	9	=
			7	31		8	31		8	7

= -3 + 20 - 22 = -5
Однако минор 4-го порядка

	2	5	4	20
M4 =	1	3	2	11
	2	10	9	40
	1	8	7	31

равен нулю (убедимся сами, повторив ход мысли Маши):

	2	11	10	42		11	10	42
M4 =	1	5	5	20	= -	5	5	20	=
	2	6	5	22		6	5	22
	1	0	0	0

= -		11	5	20	-10	5	20	+42	5	5			=
			5	22		6	22		6	5

= - (110+100-210) = 0
Следовательно, ранг А равен трём (r_A= 3).
Если r_A = r_B, то матрицы А и В называются эквивалентными. Пишут АВ.

3. 
   Элементарные преобразования матрицы
   

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1. 
   Замена строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;
   
2. 
   Перестановка строк матрицы;
   
3. 
   Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю;
   
4. 
   Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
   
5. 
   Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.
   

Метод элементарных преобразований основан на том факте, что они не меняют ранга матрицы. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все её элементы, кроме а₁₁, а₂₂, ... а_rr (r ≤ min (m, n)), равны нулю. Следовательно ранг матрицы равен r.

Пример 4. Найти ранг матрицы

	2	11	5	2
A =	1	5	2	1
	2	3	2	-3
	-1	3	1	4

	2	11	5	2		-1	3	1	4
A =	1	5	2	1		1	5	2	1
	2	3	2	-3		2	11	5	2
	-1	3	1	4		2	3	2	-3

Далее проводим следующие преобразования.

1. 
   а. Элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам второй строки;
   

b. Удвоенные элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам третьей и четвёртой строк:

	-1	3	1	4
A =	0	8	3	5
	0	17	7	10
	0	9	4	5

2. а. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы второй строки;

b. Из элементов третьей строки вычтем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 2:

	-1	3	1	4
A =	0	8	3	5
	0	1	1	0
	0	1	1	0

3. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы третьей строки:

	-1	3	1	4
A =	0	8	3	5
	0	1	1	0
	0	0	0	0

4. Вычёркиваем четвёртую строку, так как все её элементы равны нулю:

	-1	3	1	4
A =	0	8	3	5
	0	1	1	0

5. Из элементов второго столбца вычтем соответствующие элементы третьего столбца:

	-1	2	1	4
A =	0	5	3	5
	0	0	1	0

6. Умножим элементы первой строки на -1 и прибавим к ней соответствующие элементы третьей строки:

	1	-2	0	-4
A =	0	5	3	5
	0	0	1	0

7. Из элементов четвёртого столбца вычтем удвоенные элементы второго столбца:

	1	-2	0	0
A =	0	5	3	-5
	0	0	1	0

8. К элементам второго столбца прибавим удвоенные элементы первого столбца:

	1	0	0	0
A =	0	5	3	-5
	0	0	1	0

9. К элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы четвертого столбца:

	1	0	0	0
A =	0	0	3	-5
	0	0	1	0

10. а. Вычёркиваем второй столбец, так как все его элементы равны нулю;

b. Делим элементы четвёртого столбца на -5:

	1	0	0
A =	0	3	1
	0	1	0

11. Из элементов второй строки вычтем соответствующие элементы третьей строки, умноженных на 3:

	1	0	0
A =	0	0	1
	0	1	0

12. Переставляя строки матрицы А, получаем единичную матрицу.

	1	0	0
E =	0	1	0
	0	0	1

Ранг этой матрицы определяется числом единиц на её главной диагонали и равен 3. Следовательно, таков же и ранг исходной матрицы: r_A = 3.
Понятие ранга матрицы широко используется в теории систем линейных уравнений.
Контрольные вопросы:

1. 
   Дайте определение ранга матрицы?
   
2. 
   В чем заключается суть метода окаймляющих миноров?
   
3. 
   Перечислите элементарные преобразования матрицы.