Л-4 Матрицы. Лекция 4 Раздел Матрицы. Первоначальные сведения о матрице
 Скачать 335 Kb.
|
|
Лекция 4 Раздел 3. Матрицы. 3.1. Первоначальные сведения о матрице. Определение 1. Прямоугольной,или  - матрицей называется совокупность  чисел  , расположенных в виде прямоугольной таблицы из т строк и п столбцов: . (1)Размер матрицы А обозначается символом:  . Числа называются элементами матрицы А. У элемента первый индекс  указывает номер строки, а второй индекс j– номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Например, матрица  имеет размер  , её элемент  , принадлежащий 3-ей строке и 1-му столбцу, равен  .Определение 2. Матрица называется комплексной, если хотя бы один ее элемент является комплексным числом, и действительной, если все ее элементы – действительные числа. Пример.  - комплексная матрица,  - действительная матрица.В учебной и математической литературе встречаются следующие обозначения матриц:  ,  ,  , где  ,  . (Запись означает, что  )Матрицы А и В имеют одинаковый размер, т.е.  , если они содержат равное количество строк и столбцов. Определение 3. Матрицы А и В называются равными, если  , и их соответствующие элементы равны, т.е.  , , . В таких случаях пишут  .Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой:  ,  .Матрица, имеющая лишь один столбец, называется матрицей-столбцом:  ,  .Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой. Нулевые матрицы разных размеров принято обозначать одним и тем же символом О, что не приводит к недоразумениям. 3.2 Линейные действия над матрицами. Определение 1. Пусть матрицы А, В и С такие, что  . Суммой матриц А и В называется такая матрица  , элементы которой определяются равенствами  , где , .Пример. а)  - сложение не имеет смысла, т.к. матрицы разного размера;б)  .Определение 2. Матрица  называется противоположной матрицей к матрице А, если  и каждый элемент матрицы есть элемент матрицы А, взятый с противоположным знаком.Пример. Если  , то противоположная матрица  .Свойства операции сложения матриц. Для матриц А, В, С, О таких, что  , справедливы следующие утверждения:1.  (сложение матриц коммутативно);2.  (сложение матриц ассоциативно);3.  (свойство нулевой матрицы);4.  .Сложение матриц обладает обратной операцией – вычитанием. Определение 3. Пусть матрицы А, В и С такие, что . Разностью матриц А и В называется такая матрица  , элементы которой определяются равенствами  , где , .Пример. а)  б)  - вычитание не имеет смысла, т.к. матрицы разного размера.Определение 4. Пусть матрицы А и В такие, что . Произведениемматрицы А на число называется матрица  , элементы которой определяются равенствами:  , где , .Пример.  Свойства операции умножения матрицы на число. Для матриц А и В таких, что , и любых действительных чисел и справедливы равенства:1.  ;2.  ;3.  ;4.  .3.3 Умножение матриц. Определение 1. Матрица А называется согласованнойс матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.е. ,  .Из согласованности матрицы А с матрицей В, не следует согласованность матрицы В с матрицей А. Пример.  ,  . Матрица А согласована с матрицей В (А имеет 3 столбца, В – 3 строки), но матрица В не согласована с матрицей А (В имеет 3 столбца, А – 3 строки). Определение 2. Пусть матрица А согласована с матрицей В, т.е. , . Произведениемматрицы А на матрицу В называется матрица  , размер которой равен  , а элементы вычисляются по формулам:  , ;  .Пример. 1)  ,  . В этом примере произведение  определено, а произведение  не определено, т.к. число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.Оба произведения и определены, если ,  .Пример. Для матриц  и  определены произведения и , т.к.  ,  . Найдем произведение : ,  .Вычислим : ,  .Из приведенных примеров видно, что если даже оба произведения и имеют смысл, то эти произведения могут оказаться не одинаковыми, т.е. умножение матриц не обладает свойством коммутативности.Свойства операции умножения матриц. 1.  ;2.  ;3.  .Эти свойства доказываются непосредственной проверкой. Докажем, например, свойство 3. Пусть  ,  ,  . По определению произведения матриц элементами произведений  и  будут элементы  и  , а элементами двойных произведений  и  - соответственно элементы  и  . Таким образом, соответствующие элементы матриц  и  равны. Следовательно, сами эти матрицы равны.3.4 Операции над матрицами: транспонирование, комплексное сопряжение, сопряжение по Эрмиту. Определение 1. Транспонированием матрицы А называется операция замены каждой ее строки столбцом с тем же номером. Полученную в результате этой операции матрицу называют транспонированной к матрице А и обозначают через  .Если А – матрица размера  , то - матрица размера  . Пример.  ,  .Запишем транспонированную матрицу:  ,  .Определение 2. Комплексным сопряжением матрицы А называется операция замены каждого элемента матрицы А на комплексно сопряженный ему элемент. Матрица, полученная в результате этой операции, называется комплексно сопряженной с матрицей А и обозначается  .Пример. Пусть  . Представим все элементы матрицы А в алгебраической форме  ,тогда комплексно сопряженная матрица имеет вид  .Определение 3. Сопряженим по Эрмитуматрицы А называется операция сочетающая транспонирование и комплексное сопряжение. Матрица, полученная в результате этой операции, называется эрмитово-сопряженной с матрицей А и обозначается  , т.е.  .Пример. Пусть  , тогда  и  .Для всех трех операций, непосредственной проверкой, можно доказать следующие свойства: I. II. 1)  ; 4)  ;2)  ; 5)  ;3)  ; 6)  ;III. IV. 7)  ; 10)  ;8)  ; 11)  .9)  ;3.5 Квадратные матрицы. Определение 1. Квадратной матрицей называется матрица А, у которой число строк равно числу столбцов, т.е.  . В квадратной матрице совокупность элементов на линии, соединяющей верхний левый угол с правым нижним, называют главной диагональю. У элементов главной диагонали номер строки совпадает с номером столбца. Например, у матрицы размера  элементы  образуют главную диагональ.Определение 2. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, т.е.  называют диагональными. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали одинаковые, называется скалярной. Частным случаем скалярных матриц является единичная матрица  .Легко видеть, что  .Определение 3. Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. При этом матрицу вида  называют верхней треугольной матрицей, а матрицу вида  -нижней треугольной матрицей. Определение 4. Квадратную матрицу А называют симметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е.  .Например, рассмотрим матрицу  . Так как транспонированная матрица имеет вид:  , то матрица А симметрическая.Определение 5. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если при транспонировании она меняет свой знак, т.е.  .Например, для матрицы  , транспонированная матрица имеет вид:  , поэтому матрица А кососимметрическая.Определение 5. Квадратная матрица называется эрмитовой, если она равна эрмитово-сопряженной, т.е.  .Определение 6. Квадратная матрица называется ортогональной, если ее произведение на транспонированную матрицу равно единичной матрице, т.е.  .Определение 7. Квадратная матрица называется унитарной, если ее произведение на эрмитово-сопряженную матрицу равно единичной матрице, т.е.  .При помощи матриц изучаются свойства различных устройств в электротехнике и технике сверхвысоких частот (СВЧ). В частности, в технике сверхвысоких частот (СВЧ) применяют матрицу рассеяния S, связывающую амплитуды волн, бегущих к устройству  и амплитуды волн, бегущих от устройства  : ,где п – число каналов, по которым волны бегут к устройству или от него. В теории устройств СВЧ доказывается, что необходимым и достаточным условием отсутствия потерь в устройстве служит унитарность матрицы рассеяния. Пример. Проверить, обладает ли потерями устройство, описываемое матрицей рассеяния  .Решение. Проверим, будет ли матрица S унитарной. 1. Ищем эрмитово-сопряженную матрицу.   2. Проверяем равенство  . |