Вероятность 5. Лекция 5 Последовательность независимых испытаний

• Название: Лекция 5 Последовательность независимых испытаний
• Анкор: Вероятность 5.doc
• Дата: 30.12.2017
• Размер: 256 Kb.
• Имя файла: Вероятность 5.doc
• Тип: Лекция; #13517

ЛЕКЦИЯ 5

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.

3.6. Формула Бернулли

В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся опыты в сходных условиях. При этом, как правило, результаты предшествующих опытов никак не сказываются на результатах последующих опытов. Очень важен простейший тип таких опытов, когда в каждом из испытаний некоторое событие А может появляться с одной и той же вероятностью p и эта вероятность остается одной и той же, независимо от результатов предшествующих или последующих испытаний.

Этот тип испытаний называется схемой повторных независимых испытаний, или схемой Бернулли. Исследование таких последовательностей заслуживает особого внимания в силу их исключительного значения в теории вероятностей и ее приложений.

Изучение многих проблем в производстве, экономике, социологии и других отраслях науки и техники требует организации длительных наблюдений и экспериментов, т.е. организации схемы повторных испытаний. Например, особое значение схема Бернулли имеет в теории контроля. Так, перед тем как ввести в массовое производство новый тип прибора проводят многочисленные его испытания на безотказность, долговечность, простоту наладки и т.п. как раз по схеме Бернулли.

Поставим задачу в общем виде. Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появление события А (успех), либо не появление события  (неуспех). Проведем n испытаний Бернулли, т.е. что все n испытаний независимы и вероятность появления события А в каждом отдельном взятом испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность P(A) появлений события А в отдельном испытании буквой p, т.е. P(A)=p, а вероятность противоположного события P() – буквой q, т.е. P() =
1–P(A) = 1–p = q.

Найдем вероятность P_n(m) того, что событие A появится ровно m раз в n испытаниях Бернулли. Отметим, что здесь не требуется появления события А ровно m раз в строго определенной последовательности. Вероятность элементарного исхода, в котором событие А наступит ровно m раз, равна p^mq^n–m. Однако число таких элементарных исходов совпадает с числом способов, которыми можно выбрать m мест из имеющихся n, не учитывая порядка, т.е. равно числу сочетаний . В результате получаем, что вероятность наступления m успехов в n независимых испытаниях равно

(3.14)

Полученное равенство называют формулой Бернулли.

Пример 3.13. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажется более четырех стандартных?

Решение. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным равна q=0,02. Вероятность того, что изделие окажется стандартным равна p=1–q=0,98. Поскольку эти вероятности постоянны и не изменяются от испытания к испытанию, то для подсчета вероятности можно применить формулу Бернулли. Появление более четырех стандартных изделий означает, что среди 6 взятых деталей окажутся 5 или 6 стандартных. Следовательно



= 50,98⁵0,02¹ + 10,98⁶0,02⁰  0,9943.

3.7. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли, при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой, особенно если требуется не просто вычислить вероятность P_n(m) при конкретных значениях n и m, а решить какую-либо экстремальную задачу. Поэтому широкое значение получили приближенные асимптотические формулы. Функция g(x) называется асимптотическим приближением функции f(x), если .

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, при этом npq » 1,то справедлива приближенная формула

, (3.14)

где , .

Ввиду важности функции (x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы. При использовании таблиц следует учитывать, что функция (x) четная, т.е. (–x)=(x).

Доказательство. Одно из доказательств локальной теоремы основано на использовании формулы Стирлинга:



при n. Не даваясь в математические подробности доказательства, изложим основную его суть. Будем считать, что числа m и n–m в формуле Бернулли возрастают до бесконечности вместе с n. Тогда после применения формулы Стирлинга формула Бернулли примет вид

.

Рассмотрим теперь величину

.

Положим . Тогда , n–q=nq–. Логарифмируя теперь А, получим

.

Поскольку при больших n величины и малы, то логарифмы можно разложить в ряд Маклорена по степеням x. Ограничившись двумя первыми членами, получим



.

Следовательно,

.

Наконец, учитывая, что и при фиксированном x и больших n, получим

.

Принимая во внимание все это, получим утверждение теоремы.

Теперь приведем некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению теоремы Муавра-Лапласа. 1) Если n=1020, то теорема Муавра-Лапласа используется для грубых оценок. 2) Если n=20100, то приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов.
3) Если n=1001000, то практически в любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными асимптотическими формулами.
4) Если n>1000, то даже специальные таблицы рассчитываются с помощью асимптотических формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки).

Здесь следует еще добавить, что локальная формула Муавра-Лапласа верна с точностью до . Это означает, что для применения теоремы Муавра-Лапласа должно выполняться условие npq »1 (обычно достаточно npq >10).

Отметим также, что из условий теоремы следует, что если n, то и m. Это означает, что n и m должны отличаться друг от друга не очень сильно, например, для P_n(0) теорема Муавра-Лапласа дает плохое приближение.

Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, скажем несколько слов о погрешностях, возникающих при использовании приближенных формул. Отметим, что полученная формула гарантирует только малую абсолютную погрешность, а относительная погрешность может быть сколь угодно большой; причем относительная погрешность увеличивается с ростом абсолютного значения |x| = .

Пример 3.14. Производится 10 подбрасываний монеты. Найти вероятность того, что выпадет ровно m (m=0,1,...,10) "гербов".

Решение. Вычислим точные значения искомых вероятностей по формуле Бернулли:

.

После этого воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. Поскольку и x=(m–5)/1,5811, то

.

Результаты вычислений P₁₀(m) занесем в таблицу.

m	Точное значение, формула Бернулли	x	(x)	Приближенное значение, формула Муавра-Лапласа	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность %
0	0,000977	–3,1623	0,002688	0,001700	0,000724	74,1
1	0,009766	–2,5298	0,016262	0,010285	0,000519	5,3
2	0,043945	–1,8974	0,065945	0,041707	0,002238	5,1
3	0,117188	–1,2649	0,179256	0,113372	–0,003816	3,3
4	0,205078	–0,6325	0,326626	0,206577	0,001498	0,7
5	0,246094	0	0,398942	0,252313	0,006220	2,5
6	0,205078	0,6325	0,326626	0,206577	0,001498	0,7
7	0,117188	1,2649	0,179256	0,113372	–0,003816	3,3
8	0,043945	1,8974	0,065945	0041707	0,002238	5,1
9	0,009766	2,5298	0,016262	0,010285	0,000519	5,3
10	0,000977	3,1623	0,00268	0,001700	0,000724	74,1

Из таблицы видно, что приемлемые результаты приближенных вычислений находятся в середине таблицы. В целом можно отметить, что применение локальной теоремы в данной задаче не оправдано. Отметим, что сравнение точных и приближенных вычислений связано со сравнением биномиального и нормального распределений
(см. темы: «Биномиальное распределение» и «Центральная предельная теорема»)

Пример 3.15. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.

Решение. Согласно условию задачи: n=400, m=356, p=0,9, q=0,1. Поскольку n>100 и npq=36>10, то можно применить теорему Муавра-Лапласа. Найдем

.

После этого находим значение функции (–0,6667)=0,31945. В результате, получаем

.

Компьютерные вычисления при помощи формулы Бернулли дает следующий результат

P₄₀₀(356) = 0,05127.

Видно, что применение в данной задаче локальной теоремы Муавра-Лапласа было практически оправдано.

3.8. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

В рассмотренном выше примере вероятность получилась довольно малой, несмотря на то, что вероятность появления стандартной детали равна 0,9. Это объясняется тем, что была вычислена вероятность только одного из 401 исходов. Поэтому в практических приложениях представляет интерес вычисления не одного, а нескольких исходов. Такую вероятность можно получить путем суммирования по всем возможным исходам m. Однако при больших n и достаточно широких пределов изменения величины m вычисления будут довольно громоздкими. В этих случаях для приближенных вычислений используется

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для вероятности P_n(k₁mk₂) того, что число успехов заключено в пределах от k₁до k₂, справедливо приближенная формула

, (3.15)

где , – функция Лапласа.

Отметим, что функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(–x) = –Ф(x), для которой составлены специальные таблицы. Обратите внимание, что 0Ф(x)0,5.

Доказательство теоремы проведем, опираясь на локальную теорему Муавра-Лапласа (здесь мы также опускаем отдельные технические детали доказательства). Очевидно, что вероятность P_n(k₁mk₂) можно представить в виде

.

Так как

,

то сумму можно написать в виде

,

которая мало чем отличается от подходящим образом выбранной интегральной суммы, соответствующей интегралу . Следовательно,

.

Таким образом,

,

где – функция стандартного нормального распределения. Часто вместо функции F(x) используется функция Лапласа Ф(x)=F(x)–0,5. Отметим еще, что в некоторых учебниках за функцию Лапласа принимают вдвое большую функцию = 2Ф(x); в этом случае 01.
Пример 3.16. В среднем в ОТК бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди них не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. По условию задачи n=625, p=0,9, q=0,1, k₁=550, k₂=575. Поскольку npq=56,25»1 и n=625>100, то искомую вероятность найдем при помощи интегральной формулы Муавра-Лапласа:

, ,



= 2·0,45221 = 0,90442.

Более точные компьютерные вычисления, с использованием формулы Бернулли, дают следующий результат P₆₂₅(550m575) = 0,90431. Видно, что использование интегральной теоремы Муавра-Лапласа было вполне оправданным.

3.9. Теорема Пуассона

При использовании теорем Муавра-Лапласа можно заметить, что она действует тем "хуже", чем больше вероятность p отличается от 1/2, т.е. чем ближе вероятность к 1 или 0. Однако значительное число задач связано с необходимостью вычисления вероятностей P_n(m) именно при малых значениях p (или q).

Теорема Пуассона. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность успеха p в одном испытании мала, причем мало также произведение np, то справедлива приближенная формула

, (3.16)

где  = np.

Доказательство. Запишем формулу Бернулли



или, с учетом обозначения  = np, p = /n:

.

Известно, что

.

Кроме того, если n велико, то , , ..., и . Поэтому

,

что и требовалось доказать.

Отметим, что формула Пуассона справедлива также по отношению к числу неудач, но только в том случае, когда мало  = nq.

Теперь рассмотрим некоторые рекомендации по применению приближенной формулы Пуассона. 1) Если число испытаний n=1020, то теорема Пуассона используется для грубых оценок, когда  = np или  = nq изменяются в пределах от 02 (при n=10) до 03 (при n=20); в противном случае необходимо пользоваться формулами Муавра-Лапласа. 2) Если n=20100, то формулу Пуассона рекомендуется применять, когда  и  заключаются в следующих пределах: от 03 (при n=20) до 05 (при n=100). 3) Если n=1001000, то формула Пуассона используется, когда  и  изменяются в следующих пределах: от 05 (при n=100) до 010 (при n=1000). 4) Если n>1000, то необходимо чтобы  и  лежали в пределах 010 и более.

Еще раз отметим, что приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа гарантируют только малую абсолютную погрешность, но не относительную погрешность.

Пример 3.17. Счетчик Гейгера регистрирует попадание в него -частицы с вероятностью p=0,9. Найти вероятность того, что он зарегистрировал m (m=0,1,2,...,10) частиц при условии, что в него попало n=10 частиц.

Решение. Воспользуемся сначала точной формулой Бернулли, в соответствии с которой

.

После этого воспользуемся приближенной формулой Пуассона. В данном случае  = np =9 – велико, а  = nq = 1 мало. Это значит, что нужно воспользоваться формулой Пуассона, но по отношению к незарегистрированным частицам. В соответствии с этой формулой

.

Результаты вычислений P₁₀(m) занесем в таблицу.

m	Точное значение, формула Бернулли	Приближенное значение, формула Пуассона	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность %
0	0	0	-	-
1	0	0,000001	0,000001	-
2	0	0,000009	0,000010	-
3	0,000009	0,000073	0,000064	734
4	0,000138	0,000511	0,000373	271
5	0,001488	0,003066	0,001578	106
6	0,011160	0,015328	0,004168	37,4
7	0,057396	0,061313	0,003918	6,8
8	0,193710	0183940	–0,009771	5,0
9	0,387420	0,367879	–0,019541	5,0
10	0,344678	0,367879	0,019201	5,5

Анализируя приведенные результаты, видно, что максимальная абсолютная погрешность невелика, чего нельзя сказать о максимальной относительной погрешности. Если в данной задаче воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа (чего не рекомендуется делать, поскольку npq=0,9 сравнимо и даже меньше единицы), то получим результаты, имеющие существенно большие погрешности.

Пример 3.18. Радиоаппаратура состоит из 900 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна p=0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Решение. Поскольку =np=0,9, то можно применить теорему Пуассона. Тогда



.

Точное значение



практически не значительно отличается от приближенного. Следовательно, в данной задаче допустимо применение формулы Пуассона.