Лекция 7 1 Лекция Механические волны
 Скачать 162 Kb.
|
|
1й курс. 2й семестр. Лекция 7 1 Лекция 7. «Механические волны». Виды механических волн. Упругие волны в стержнях. Волновое уравнение. Пло- ская гармоническая волна, длина волны, фазовая скорость. Сферические волны. Объемная плотность энергии волны. Вектор Умова – вектор плотности потока энергии. Когерентные волны. Интерференция волн. Стоячая волна. Волна – это процесс распространения возмущений некоторой физической величины в пространстве с течением времени. Если возмущения описываются как механическое движение среды, то волна называется механической. Например, возмущения могут представлять собой отклонения точек среды от своих положе- ний равновесия. Если эти отклонения направлены перпендикулярно движению волны, то волна называется поперечной, если параллельны - то продольной. Примером попе- речных волн являются волны на поверхности жидкости или колебания гитарной струны. В глубине жидкости или в газе могут распространяться только продоль- ные волны. Примером является звуковая волна – малые колебания давления (плотности) в газе или жидкости. Важное свойство волновых движений состоит в локальной связи между возмущениями в близких точках среды. То есть отклонение от положения одной точки вызывает отклонения соседних близких точек. Локальная связь между точ- ками является причинно-следственной связью, поэтому процесс распространения возмущения в таких средах имеет конечную скорость. Монохроматическая волна –– это бесконечная волна, при которой состоя- ние среды описывается с помощью гармонической функции постоянной частоты, является идеализацией волнового процесса Рассмотрим поперечную монохромати- ческую волну, испускаемую некоторым ис- точником, находящимся в начале оси X (х=0) и совершающим колебания по гармоническо- му закону. Пусть его закон колебаний имеет вид ( ) cos A t = ⋅ + ξ ω α . Так как ско- рость движения волны конечная, то обозначим её через v. Колебание, испущенное источником в момент времени t придет (без изменений) в точку, отстоящую от источника на расстоянии L, лишь спустя промежуток времени v L t ∆ = : ( ) ( ) cos cos v L A t t A t = − ∆ + = − + ξ ω α ω ω α Поэтому колебания в координате x>0 будут иметь вид ( ) cos A t kx = − + ξ ω α - волна, бегущая в положительном направлении оси X, а если x < 0, то ( ) cos A t kx = + + ξ ω α - волна, бегущая в отрицательном направлении оси X. Здесь величина v k ω = назы- вается волновым числом. Так как ω - циклическая частота по времени, то временной период 2 T π = ω X x=0 x L= x 1й курс. 2й семестр. Лекция 7 2 k – циклическая частота колебаний по координате X, поэтому пространственный период 2 k π λ = называется длиной волны. Из соотношения v k ω = получаем 2 2 vT π π = λ , откуда получаем vT λ = - то есть длина волны – это расстояние, проходимое вол- ной за время, равное периоду колебаний. Для функции ( ) cos A t kx = − + ξ ω α выполняются соотношения ( ) 2 2 2 cos A t kx t ∂ = − − + ∂ ξ ω ω α , ( ) 2 2 2 cos k A t kx x ∂ = − − + ∂ ξ ω α , 2 2 2 2 2 2 1 1 t k x ∂ ∂ = ∂ ∂ ξ ξ ω откуда 2 2 2 2 2 v t x ∂ ∂ = ∂ ∂ ξ ξ Это уравнение называется волновым уравнением для одномерного случая - вдоль координаты X. Рассмотрим свойства решений этого уравнения. 1. Геометрическое место точек среды, где наблюдаются колебания, называют вол- новым полем. Волновое уравнение – линейное, в том смысле, что сумма двух решений тоже яв- ляется решением. Это так называемый принцип суперпозиции – при наложении волновых полей получается волновое поле, являющееся их суммой. В общем случае решением одномерного волнового уравнения является сумма двух произвольных дважды непрерывно-дифференцируемых функций ( ) ( ) 1 2 v v f x t f x t = − + + ξ , одна из которых - ( ) 1 v f x t − - описывает волновое поле, распространяющееся в по- ложительном направлении оси X – его называют убегающей волной, а вторая, ( ) 2 v f x t + - в отрицательном направлениях оси X – её называют набегающей вол- ной. Действительно, подставим в волновое уравнение выражение ( ) ( ) 1 2 v v f x t f x t = − + + ξ Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 v v v v v v f x t f x t f x t f x t t t ∂ ∂ ′ ′ = − + + = − ⋅ − + ⋅ + ∂ ∂ ξ , ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 v v v v f x t f x t t ∂ ′′ ′′ = − + + ∂ ξ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 v v v v f x t f x t f x t f x t x x ∂ ∂ ′ ′ = − + + = − + + ∂ ∂ ξ , ( ) ( ) 2 1 2 2 v v f x t f x t x ∂ ′′ ′′ = − + + ∂ ξ Штрихи означают производные от функций по аргументу. При подстановке этих соотношений в волновое уравнение 2 2 2 2 2 v t x ξ ξ ∂ ∂ = ∂ ∂ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 v v v v v v v f x t f x t f x t f x t ′′ ′′ ′′ ′′ − + + = − + + получаем тождество. 2. Геометрическое место точек в пространстве, для которых фаза волны одинако- вая называют волновой или фазовой поверхностью. В одномерном случае волно- вая поверхность – это плоскость, которая движется вдоль оси с течением времени t kx const + = ω или t kx const − = ω . Поэтому волна называется плоской. Если волновая поверхность – сфера, то волна называется сферической. 1й курс. 2й семестр. Лекция 7 3 Скорость движения плоской фазовой поверхности можно найти дифферен- цированием по времени уравнений t kx const + = ω или t kx const − = ω : 0 kx + = ɺ ω или 0 kx − = ɺ ω . Видно, что скорость вдоль оси v k ω = ± по величине совпадает со скоро- стью волны, определяемой из волнового уравнения. Таким образом, в волновом уравнении 2 2 2 2 2 v t x ∂ ∂ = ∂ ∂ ξ ξ присутствует квадрат скорости, которая называется фазо- вой скоростью волны. Замечание. В общем случае, фазовая скорость может зависеть от парамет- ров волны (амплитуды, частоты). Для случая, когда скорость зависит от частоты волны, имеется особое название – дисперсия волн. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направле- нии . Пусть плоская волна движется в направлении прямой линии, которая про- ходит через начало координат. Тогда радиус-вектор лю- бой точки, лежащей на этой прямой, тоже лежит на этой прямой и длина этого вектора равна расстоянию R точки от начала координат. Поэтому уравнение волны, которая бежит вдоль этой прямой можно записать в виде ( ) cos A t kR = − + ξ ω α . Фазовая поверхность волны перпен- дикулярна этой прямой. Введем волновой вектор k , на- правленный перпендикулярно фазовой (волновой) поверхности волны в сторону её движения. Длина вектора 2 k π = λ равна волновому числу. Так как волновой вектор параллелен прямой, то можно записать ( ) kR k ,R = и ( ) ( ) sin , A t k R = − + ξ ω α Но для любой плоской волны всегда есть прямая линия, перпендикулярная волновой поверхности и проходящая через начало коорди- нат, поэтому такая форма записи закона движения плоской волны является общей. В чем удобство введения волнового вектора? С его по- мощью можно определять положения любой волновой по- верхности. При этом движение волновой поверхности можно описать с помощью лучей. Луч – это линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке направлена как волно- вой вектор. Волновое уравнение для движения волны в 3х мерном пространстве в общем случае имеет вид: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 v x y z t ∂ ξ ∂ ξ ∂ ξ ∂ ξ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ Если ввести условное обозначение 2 2 2 2 2 2 x y z ∂ ξ ∂ ξ ∂ ξ + + = ∆ξ ∂ ∂ ∂ , то это уравнение можно за- писать в виде X Z Y k R Волновая по- верхность лучи 1й курс. 2й семестр. Лекция 7 4 2 2 2 1 v t ∂ ξ ∆ξ = ∂ , где 2 2 2 2 2 2 x y z ∂ ∂ ∂ + + = ∆ ∂ ∂ ∂ так называемый оператор Лапласа (Пьер-Симо1н Лапла1с – французский ученый). Сферическая волна описывается функцией ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 A A cos t k ,R cos t k ,R R R ξ = ⋅ ω + + α + ⋅ ω − + β Амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию от центра волны. Примеры по выводу волновых уравнений. Рассмотрим малые поперечные колебания тонкой однородной струны дли- ны L и массы m, закрепленной с обоих концов. Пусть сила натяжения струны F постоянная по величине. Форма струны задается уравнением y(x). Выделим ма- лый кусок струны, длина которого вдоль оси X равна ∆ x, а масса ∆ m. Так как ко- лебания поперечные, то запишем второй закон Ньютона для куска ∆ m вдоль оси Y: 2 1 y ma F sin F sin ∆ = ⋅ α − ⋅ α При малых углах (в радианах) справедливо sin tg α ≈ α ≈ α . Но 1 x y tg x ∂ α = ∂ , 2 2 2 x x x x y y y tg x x x x +∆ ∂ ∂ ∂ α = ≈ + ⋅∆ ∂ ∂ ∂ (разложение в ряд Тейлора). Поэтому 2 2 2 2 y x x x x y y y y ma F x F F x x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = ⋅ + ⋅∆ − ⋅ = ⋅ ⋅∆ ∂ ∂ ∂ ∂ Т.к. m m x L ∆ = ∆ и 2 2 y y a t ∂ = ∂ , то 2 2 2 2 x m y y x F x L t x ∂ ∂ ∆ = ⋅ ⋅∆ ∂ ∂ . Окончательно получаем уравне- ние 2 2 2 2 y LF y t m x ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ . Поэтому скорость волны в струне v LF m = ♣ Если возвращающая сила пропорциональна смещению точки от положения равновесия, то вол- на называется упругой. Выведем волновое уравне- ние на примере продольных волн деформации в стержне. Выделим часть стержня длиной ∆ x. Если площадь поперечного сечения стержня равна S, X Y X Y F F x x+ ∆ x α 2 α 1 x X x + ∆ x 1 F 2 F 1й курс. 2й семестр. Лекция 7 5 плотность материала ρ , то масса этой части m S x ρ ∆ = ∆ . При деформациях на эту часть стержня действую силы упругости. Запишем второй закон Ньютона – урав- нение движения этой части стержня вдоль оси Х: 2 1 x ma F F ∆ = − Это уравнение записано в предположении растяжения этой части стержня. Силы с обеих сторон выделенной части вызывают деформацию этой части стерж- ня. При равновесии и отсутствии деформации положение точек в двух близко расположенных сечениях стержня можно задать координатами x и x+ ∆ x. При де- формировании стержня его точки сместятся от равновесных положений. Пусть x 1 (x) – задает положение точки стержня при деформации, если её равновесное по- ложение задавалось координатой x. Тогда для близкого сечения новыми коорди- натами будет x 1 + ∆ x 1 . Изменение линейного размера части стержня вызвано сме- щением точек стержня. Введем величину смещения ξ = x 1 − x. По определению, относительная деформация в данном сечении стержня – это отношение изменения длины части стержня к начальной длине этой части: 1 x x x ε ∆ − ∆ = ∆ . Если стержень сжимается, то его продольные размеры уменьшаются 1 x x ∆ < ∆ и поэтому ε < 0. Та- ким образом, при сжатии ε < 0 и при растяжении ε > 0. Если все точки стержня смещаются на одинаковую величину, то изменения длины участка стержня не происходит. Поэтому деформация равна разности сме- щений соседних точек 1 x x ξ ∆ − ∆ = ∆ . Тогда можно записать 1 x x x x ξ ε ∆ − ∆ ∆ = = ∆ ∆ . В пре- деле (при 0 x ∆ → ) получаем x ξ ε ∂ = ∂ . С учётом напряжений в сечениях стержня 1 x F S = σ , 2 x x F S +∆ = σ . Напряжения в сечениях стержня найдем по закону Гука: x x E = σ ε , x x x x E +∆ +∆ = σ ε , где Е – модуль упругости материала (модуль Юнга). Относительная деформация меняется вдоль стержня, поэтому можно счи- тать, что x x x x x +∆ ∂ = + ∆ + ∂ ε ε ε (разложение в ряд Тейлора). Ускорение точек выделенной части стержня 2 2 x a t ξ ∂ = ∂ . Последовательно под- ставим эти соотношения в уравнения движения: 2 1 x ma F F ∆ = − , т.е. 2 2 x x x S x S S t +∆ ∂ ∆ = − ∂ ξ ρ σ σ , 2 2 1 2 x E E t ∂ ∆ = − ∂ ξ ρ ε ε , 2 1 1 2 x E x E t x ∂ ∂ ∆ = + ∆ − ∂ ∂ ξ ε ρ ε ε , 2 2 x E x t x ξ ε ρ ∂ ∂ ∆ = ∆ ∂ ∂ С учетом равенства x ξ ε ∂ = ∂ , после сокращений, получаем дифференциальное уравнение, описывающее распространение волны (вдоль одного направления – оси Х): 2 2 2 2 E t x ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ ξ ξ ρ или 2 2 2 2 2 v t x ξ ξ ∂ ∂ = ∂ ∂ 1й курс. 2й семестр. Лекция 7 6 Здесь, ξ - параметр, описывающий колебания (величина смещения точек при де- формации), v E ρ = – скорость волны. ♣ Рассмотрим выделенный участок стержня длиной ∆ x. При колебаниях ско- рость этого участка t ∂ ∂ ξ и величина деформации x ∂ ∂ ξ . Соответственно, кинетиче- ская и потенциальные энергии выделенного участка равны 2 1 2 К W S x t ∂ξ = ρ ∆ ∂ и 2 1 2 П W E S x x ∂ξ = ∆ ∂ . Объем участка V S x = ∆ . Объемная плотность механической энергии 2 2 1 1 2 2 К П W W w E V t x + ∂ξ ∂ξ = = ρ + ∂ ∂ Если уравнение движения волны записать в виде ( ) A cos t kx ξ = ω − + α , то с учетом соотношений для скорости ( ) A sin t kx t ∂ξ = −ω ω − + α ∂ и деформации ( ) kA sin t kx x ∂ξ = ω − + α ∂ получается ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 w A sin t kx E k A sin t kx = ρ⋅ω ω − + α + ⋅ ω − + α или ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 w E k A sin t kx = ρ⋅ω + ⋅ ω − + α Используем выражение для скорости волны 2 2 2 v E k = = ω ρ : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 E k w A sin t kx A sin t kx = ρ⋅ω + ⋅ ω − + α = ρ⋅ω ω − + α ρ ω [ ] ( ) ( ) 2 2 1 2 2 A w cos t kx ρ⋅ω = − ω − + α Среднее значение плотности потока энергии, переносимой волной [ ] ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 1 2 2 2 t t A A w lim cos t kx dt t →∞ ρ⋅ω ρ⋅ω = − ω − + α = ∫ Следствия 1) Величины скорости точек ( ) A sin t kx t ∂ξ = −ω ω − + α ∂ и деформации среды ( ) kA sin t kx x ∂ξ = ω − + α ∂ колеблются синфазно друг другу. 2) Закон изменения плотности потока энергии описывается волновым уравне- нием и представляет волну плотности энергии. Скорость этой волны 2 v v 2 ЭН k ω = = в данном случае совпадает с фазовой скоростью волны. (В об- щем случае это не так.) 1й курс. 2й семестр. Лекция 7 7 Вектор Умова Пусть энергия переносится со скоростью v в направле- нии под углом α к нормали некоторой малой площадки S. То- гда вся энергия, прошедшая через эту площадку за малое вре- мя dt окажется в области, объем которой v dV S cos dt = ⋅ ⋅ α ⋅ (на рисунке эта область является косым цилиндром). Если объем- ная плотность энергии равна w, то энергия этого объема W w dV=w v S cos dt = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ Мощность переноса энергии через площадку S: w v dW S cos dt = ⋅ ⋅ ⋅ α Введем вектор плотности потока энергии (Вектор Умова) w v j = ⋅ , тогда dW j S cos dt = ⋅ ⋅ α . Если ввести вектор S n S = ⋅ , направленный по нормали к площадке, и скалярное произведение ( ) j S cos j ,S ⋅ ⋅ α = определить как поток векто- ра Умова через площадку S, то мощность переноса энергии через площадку опре- деляется потоком вектора Умова через эту площадку ( ) dW j ,S dt = . Интенсивность волны – это средняя по времени энергия переносимая вол- ной через площадку в направлении перпендикулярном к этой площадке. Для плоской волны интенсивность 2 2 2 A I S ρ⋅ω = не меняется при распространении волны. Для сферической волны интенсивность через любую сферу радиуса R с центром в источнике 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 4 2 2 2 A A I S R A R ρ⋅ω ρ⋅ω = = π = πρ⋅ω является постоянной величиной. Если интенсивность волны при её распространении в некоторой среде уменьшается, то среда называется диссипативной. Если интенсивность волны увеличивается, то среда называется активной. Интерференция волн Интерференция волн – взаимное усиление или ослабление волн при их наложении друг на друга (суперпозиции волн при одновременном распространении в пространстве), что приводит к перераспределению энергии колебаний, устой- чивому во времени. Интерференция волн на- блюдается согласно принципу суперпозиции волн. Рассмотрим суперпозицию двух волн од- ного направления ( ) 1 1 1 1 1 1 A cos t k x ξ = ω − + α и ( ) 2 2 2 2 2 2 A cos t k x ξ = ω − + α v v ⋅ cos α⋅ dt S α O Y X y 2 ϕ ∑ x 2 x 1 x ∑ y ∑ y 1 ϕ 2 ϕ 1 А ∑ А 1 А 2 δ 1й курс. 2й семестр. Лекция 7 8 Воспользуемся амплитудно-векторной диаграммой. По теореме косинусов ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 A A A A A cos Σ = + − π − δ Учтем, что ( ) cos cos π − δ = − δ , ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 t k x k x δ = ϕ − ϕ = ω − ω − − + α − α , тогда ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 A A A A A cos t k x k x Σ = + + ω − ω − − + α − α Если результирующая амплитуда не зависит от времени, то разность фаз волн должна быть постоянной во времени. Такие волны называются когерентны- ми. В частности, получаем, что частоты когерентных волн совпадают 2 1 ω = ω Вообще говоря, волны могут двигаться к точке встречи в разных средах, по- этому их скорости могут быть там различными, а также расстояния до точки тоже могут быть разными, поэтому следует написать ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 A A A A A cos k x k x Σ = + + − − α − α Поэтому в точке наблюдения может быть либо усиление колебаний при ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 cos k x k x − − α − α = , либо ослабление колебаний при ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 cos k x k x − − α − α = − Стоячая волна. Стоячая волна образуется при наложении двух волн одинаковой частоты, бегущих в противоположных направлениях: ( ) ( ) 1 2 cos cos A t kx A t kx = + + + − + ξ ω α ω α Пусть, например, 1 0 α = и 2 0 α = , тогда ( ) ( ) 2 cos cos A kx t = + ξ ω θ Величину ( ) 0 2 cos A A kx = можно назвать амплитудой стоячей волны. Так как ам- плитуда не может быть отрицательной, то необходимо брать модуль ( ) cos kx . То- гда в тех точках, где ( ) cos 0 kx > значение θ =0, а в тех точках, где ( ) cos 0 kx < надо, для учета знака минус, принять θ = π . Точки, где амплитуда стоячей волны макси- мальная, называются пучностями. Эти точки можно найти из условия ( ) cos 1 kx = , откуда kx n π = ± ⋅ (n – целое число). Следовательно, координаты пучностей 2 2 ПУЧ n n n x n k ⋅ ⋅ = ± = ± = ± π π λ λ π . Соседние пучности находятся друг от друга на рас- стоянии 2 λ - половины длины волны. Точки, где амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узлами. Эти точки можно найти из условия ( ) cos 0 kx = , откуда 2 kx n π π = ± ⋅ (n – целое число). Следовательно, координаты узлов 1 2 2 2 2 2 УЗ n n n x n k ± ⋅ ± ⋅ = = = ± π π π π λ λ π Соседние узлы находятся друг от друга на расстоянии 2 λ - половины длины вол- ны. 1й курс. 2й семестр. Лекция 7 9 Следовательно, расстояние между ближайшими соседними узлами и пучностями равно 4 λ Найдем объемную плотность энергии стоячей волны 2 2 1 1 2 2 К П w w w E t x ∂ξ ∂ξ = + = ρ + ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 w A cos kx sin t E k A sin kx cos t = ρ −ω ω + θ + − ω + θ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 w A cos kx sin t sin kx cos t = ρω ω + θ + ω + θ , ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 cos t cos t cos kx cos kx w A − ω + θ + ω + θ + − = ρω + , ( ) [ ] ( ) ( ) 2 2 1 2 2 w A cos kx cos t = ρω − ω + θ Видно, что плотность энергии тоже является стоячей волной. Т.е. энергия стоячей волной не переносится. |