Лекция_4_конспект. Лекция Эквивалентные воздействия
 Скачать 234.15 Kb.
|
|
Лекция 4. Эквивалентные воздействия Эквивалентными воздействиями в теоретической механике называют воздействия, которые при замене одной системы воздействий на другую не изменяют движения (в частности, состояния покоя) тела. Если рассматривается твердое тело, то есть тело, находящееся в покое или совершающее жесткое движение, то, как следует из законов механики, необходимыми условиями эквивалентности являются равенства главных векторов и главных моментов воздействий. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в учебных задачах статики случаи равномерно и линейно-распределенной нагрузки. В случае равномерно - распределенной нагрузки ее линейная плотность (сила на единицу длины) 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = 𝑞𝑞 0 , для линейно-распределенной 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = 𝑞𝑞 𝑜𝑜 𝑥𝑥 𝑙𝑙 Найдем главные векторы и проекции на ось Z главных моментов относительно, например, точки А. Имеем 𝑄𝑄 1 = ∫ 𝑞𝑞 0 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑞𝑞 0 𝑙𝑙, 𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 1 = ∫ 𝑥𝑥(𝑞𝑞 0 𝑑𝑑𝑥𝑥) = 𝑞𝑞 𝑜𝑜 𝑙𝑙 2 2 𝑙𝑙 0 𝑙𝑙 0 ≡ 𝑄𝑄 1 ∙ 𝑙𝑙 2 ; 𝑄𝑄 2 = ∫ 𝑞𝑞 0 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑞𝑞 0 𝑙𝑙 2 , 𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 = ∫ 𝑥𝑥 �𝑞𝑞 0 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑥𝑥� = 𝑞𝑞 𝑜𝑜 𝑙𝑙 2 3 𝑙𝑙 0 𝑙𝑙 0 ≡ 𝑄𝑄 2 ∙ 2 3 𝑙𝑙. Полученные формулы показывают, что для быстрого составления уравнений равновесия удобно заменить распределенные нагрузки сосредоточенными силами 𝑄𝑄 1 и 𝑄𝑄 2 . Собственно говоря, применение эквивалентности на этом и заканчивается. Замечание 1. В учебных задачах на равновесие систем тел необходимым элементом является определение реакций в соединениях этих тел, например, в шарнирах. A y Z z 𝑄𝑄 1 X 𝑙𝑙 2 ⁄ X y A Z 𝑄𝑄 2 2 3 𝑙𝑙 Для получения правильного результата следует заменить распределенную нагрузку на участках по разные стороны от шарнира сосредоточенными силами 𝑄𝑄 1 и 𝑄𝑄 2 , но не на одну силу 𝑄𝑄 (см. рис.). Замечание 2. Попытки придать понятию «эквивалентность» некий универсальный смысл, распространив его и на произвольную систему материальных точек и тем самым на деформируемое тело вообще лишены смысла, поскольку в этом случае понятие эквивалентности сводится лишь к замене одной силы в точке на сумму сил в этой же самой точке. Равнодействующая, центр параллельных сил, центр тяжести. Воздействия (силы и моменты) характеризуются главным вектором сил 𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝑒𝑒 и главным моментом 𝑀𝑀 𝐴𝐴 относительно произвольной опорной точки. Запишем формулу, связывающую моменты относительно двух точек – опорной точки 𝐴𝐴 и так называемой точки приведения 𝑃𝑃: 𝑀𝑀 𝐴𝐴 = 𝑀𝑀 р + 𝐴𝐴𝑃𝑃 × 𝐹𝐹. (4.1) Если есть такая точка приведения 𝑃𝑃, относительно которой главный момент 𝑀𝑀 р равен нулю, то говорят, что система приводится к равнодействующей, приложенной в точке приведения. Из формулы(4.1) 𝑀𝑀 𝐴𝐴 = 0 + 𝐴𝐴𝑃𝑃 × 𝐹𝐹 следует,что приведение к равнодействующей возможно, только если главный 𝑄𝑄 1 𝑄𝑄 2 𝑄𝑄 A 𝑀𝑀 𝐴𝐴 𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝑒𝑒 𝐹𝐹 × 𝑀𝑀 𝐴𝐴 𝐹𝐹 2 ⦁ P момент 𝑀𝑀 𝐴𝐴 и главный век тор 𝐹𝐹 перпендикулярны. При этом множество точек приведения к равнодействующей находятся на прямой 𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝐹𝐹× 𝑀𝑀 𝐴𝐴 𝐹𝐹 2 + 𝜆𝜆𝑒𝑒 , (4.2) где 𝜆𝜆 − произвольный параметр. Рассмотрим систему параллельных сил { 𝐹𝐹 𝑘𝑘 = 𝐹𝐹� 𝑘𝑘 𝑒𝑒}, где 𝐹𝐹� 𝑘𝑘 − проекция 𝐹𝐹 𝑘𝑘 на направление, задаваемое вектором 𝑒𝑒 . Главный вектор 𝐹𝐹 = �∑ 𝐹𝐹� 𝑘𝑘 �𝑒𝑒 ≡ 𝐹𝐹� 𝑒𝑒 и главный момент 𝑀𝑀 𝐴𝐴 = ∑ 𝑅𝑅 𝑘𝑘 × �𝐹𝐹� 𝑘𝑘 𝑒𝑒� = (∑ 𝑅𝑅 𝑘𝑘 𝐹𝐹� 𝑘𝑘 ) × 𝑒𝑒 перпендикулярны, поэтому система приводится к равнодействующей. Покажем, что в этом случае на прямой (4.2) существует такая точка приведения С, называемая центром параллельных сил, положение которой не изменяется при повороте всех сил на произвольный угол (точки приложения сил не изменяются). Подставляя выражения 𝐹𝐹 и 𝑀𝑀 𝐴𝐴 в (4.2) и раскрывая двойное векторное произведение, получим 𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝐹𝐹� 𝑒𝑒×[(∑ 𝑅𝑅 𝑘𝑘 𝐹𝐹� 𝑘𝑘 )×𝑒𝑒] 𝐹𝐹� 2 + 𝜆𝜆𝑒𝑒 = 1 𝐹𝐹� ∑ 𝑅𝑅 𝑘𝑘 𝐹𝐹� 𝑘𝑘 + 𝑒𝑒 [𝜆𝜆 − 1 𝐹𝐹� ∑(𝑅𝑅 𝑘𝑘 ∙ 𝐹𝐹 𝑘𝑘 )]. Чтобы это выражение не зависело от направления сил (вектора 𝑒𝑒), надо положить 𝜆𝜆 = 1 𝐹𝐹� ∑(𝑅𝑅 𝑘𝑘 ∙ 𝐹𝐹 𝑘𝑘 ) и тогда положение центра параллельных сил задается формулой 𝑨𝑨𝑨𝑨 ≡ 𝑅𝑅 𝐶𝐶 = 𝟏𝟏 𝑭𝑭� ∑ 𝑹𝑹 𝒌𝒌 𝑭𝑭� 𝒌𝒌 . (4.3) Частный случай параллельных сил – силы тяжести, действующие на точки тела. Если тело небольшого размера, то можно пренебречь различием в направлении сил (к центру Земли) и различиями в величине сил ввиду разного расстояния до центра Земли. Тогда центр тяжести совпадает с центром масс 𝑅𝑅 𝐶𝐶 = ∑(𝑚𝑚 𝑘𝑘 𝑔𝑔) 𝑅𝑅 𝑘𝑘 (𝑀𝑀𝑔𝑔) = ∑ 𝑚𝑚 𝑘𝑘 𝑅𝑅 𝑘𝑘 𝑀𝑀 Оценим различие в положениях центра масс и центра тяжести «высокого» тела. Пример. Центр тяжести небоскреба. Обозначим 𝜌𝜌 = 𝑚𝑚 ℎ −линейная плотность массы. Сила тяжести, действующая на элемент массы 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝑑𝑑𝜌𝜌 равна 𝑑𝑑𝐹𝐹 = 𝐺𝐺𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺𝐴𝐴 (𝑅𝑅+𝐴𝐴) 2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝐺𝐺𝐴𝐴 (1+ 𝑧𝑧 ℎ ) 2 , где 𝜌𝜌 = 𝐺𝐺𝑀𝑀 𝑅𝑅 2 −ускорение на поверхности Земли. dz R z Суммарная сила тяжести 𝐹𝐹 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 ∫ 𝐺𝐺𝐴𝐴 (1+ 𝑧𝑧 ℎ ) 2 ℎ 0 = 𝐺𝐺𝑔𝑔ℎ (1+ ℎ 𝑅𝑅 ) Координата центра тяжести 𝜌𝜌 Т = 1 𝐹𝐹 ∫ 𝜌𝜌𝑑𝑑𝐹𝐹 = (1+ ℎ 𝑅𝑅 ) ℎ ∙ ∫ 𝐴𝐴 𝐺𝐺𝐴𝐴 (1+ 𝑧𝑧 ℎ ) 2 ℎ 0 = (1+ ℎ 𝑅𝑅 ) ℎ 𝑅𝑅 2 [ln �1 + ℎ 𝑅𝑅 � − ℎ 𝑅𝑅 ∙ 1 �1+ ℎ 𝑅𝑅 � ]. Заменяя ln �1 + ℎ 𝑅𝑅 � ≈ ℎ 𝑅𝑅 − 1 2 ( ℎ 𝑅𝑅 ) 2 , получим 𝜌𝜌 Т = ℎ 2 − ℎ 2 2𝑅𝑅 Для высоты ℎ = 0.5 км получим, что центр тяжести ниже центра масс на 0,25 2∙6370 км ≈ 2 см. |