Лекция Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывных функций (без доква)
 Скачать 71.94 Kb.
|
Лекция 3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.Теорема об интегрируемости кусочно-непрерывных функций (без док-ва).Механическая и геометрическая интерпретация определенного интеграла.Основные свойства определенного интеграла.Теоремы об оценке и о среднем значении определенного интеграла.Задача о массе неоднородного стержня Задача 1. Рассмотрим стержень длины  ,имеющий плотность  . Найти массу  .Разобьем произвольным образом стержень на малые участки:  .Тогда можно считать каждый участок  однородным. Масса k-го участка  будет приближенно равна: , где  произвольная точка k-го участка: ,  .Тогда масса стержня будет вычисляться по формуле:  .Перейдя к пределу при  , получим точное значение массы: Вычисление координаты точки, движущейся с переменной скоростью Задача 2. Рассмотрим точку, движущуюся по прямой с переменной скоростью  . Пусть начальная координата точки равна  . Найти координату точки в момент времени  : Разобьем произвольным образом интервал времени  на малые интервалы:  .Считая, что за малом интервале  скорость точки не меняется, получаем изменение координаты за этот интервал: , где  ,  .Тогда  Перейдя к пределу при  , получим точное значение:  Определенный интеграл как предел интегральных сумм Пусть функция  определена на  .Опр. Разбиением  отрезка называется совокупность точек  ,где  . – элементарный отрезок деления ( ), ,  – диаметр разбиения .Выберем произвольные точки  О  Рис. 1 пр. Интегральной суммой функции , соответствующей разбиению отрезка  и выбору точек  ( ), называется величина (см. рис. 1).Опр. Определенным интегралом функции на отрезке называется конечный предел при  интегральных сумм  , если он существует и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек .Обозн.:  , т.е. Тогда масса неоднородного стержня:  ;координата точки:  .Опр. Если для функции существует , то функция называется интегрируемой на (по Риману).Теорема(необходимое условие интегрируемости.) Пусть функция интегрируема на , тогда ограничена на .Теорема(1-е достаточное условие интегрируемости ). Непрерывная на функция является интегрируемой на  Теорема(2-е достаточное условие интегрируемости 2). Пусть  непрерывна на кроме конечного числа точек разрыва первого рода  . Тогда является интегрируемой на  Геометрическая интерпретация определенного интеграла.  , непрерывна на  .Рис. 2  – площадь прямоугольника  со сторонами  (см. рис. 2). – площадь ступенчатой фигуры  При получим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  сверху, осью  снизу и с боков прямыми  : Свойства определенного интеграла Линейность Пусть функции и  интегрируемы на Тогда функция  интегрируема на и функция  ( ) интегрируема на и Док-во: Составим интегральную сумму для функции   Тогда  Аналогично  Тогда  Аддитивность (см. рис. 3). Пусть функция интегрируема на , точка  , тогда  Док-во: Рассмотрим разбиение отрезка такое, что  для некоторого  . Ему соответствуют разбиения отрезков  и  , соответственно,  и    ; Рис. 3   Т.е.  Замечание. Если  , то по определению .  .Тогда равенство (1) справедливо при любом взаимном расположении точек  ,  Теорема (об оценке определенного интеграла) Пусть интегрируема на  ,  . Тогда  .Док-во: . Т.к.  ,то  .    При получим;   Г  Рис. 4 еометрическая интерпретация:   (площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников высотой m и M.) (см. рис. 4). Следствиe (интегрирование неравенства). Пусть  на , тогда .Док-во: Рассмотрим функцию  на  .Возьмем  . По теореме об оценке получаем:  Пример.  т.к.  , то  .По теореме об оценке получаем:  Теорема(о среднем значении для определенного интеграла). Пусть непрерывна на . Тогда  такая, что .Док-во: Т.к. непрерывна на , то она достигает на своего наибольшего и наименьшего значений ,  По теореме об оценке  (равенство достигается для  в этом случае   для непрерывных функций, отличных от константы,   .По теореме о промежуточном значении непрерывной функции:  .Возьмем  . |