Лекция 3 высшая математика 1 семестр. Лекция Теорема 3

Название	Лекция Теорема 3
Анкор	Лекция 3 высшая математика 1 семестр
Дата	03.10.2022
Размер	0.79 Mb.
Формат файла
Имя файла	L_3_1sem__1 (1).doc
Тип	Лекция #710332

Лекция 3.

Теорема 3.3.
Последовательность { x_n }

имеет конечный предел, который обозначают «е».
Доказательство.
x_n< z_n

N . x_n строго и ограничена сверху, например, числом z₁ = 4.

Следовательно, по АБВ

, который обозначают «е»

(

) .
Следствия.
1). z_n = ( 1 + 1/n )ⁿ⁺¹ = x_n(1+1/n) e ; x_n< e < z_nпо лемме 3.1.

Вычислим приближенно число е :

n = 1 : 2 < e < 4

n = 2 : 2,25 < e < 3,375

n = 3 : 2,37 < e < 3,161 , и т.д. ( e = 2,718281… )
2).

N , так как ( 1 + 1/n )ⁿ < e < ( 1 + 1/n )ⁿ⁺¹, прологарифмируем по основанию е , nln ( 1 + 1/n ) < 1 < (n+1) ln ( 1 + 1/n ) .
Определение 3.3.
Пусть дана последовательность вещественных чисел { x_n }

, а также некоторая строго возрастающая последовательность натуральных чисел { n_k }

( например,

n₁ =5 , n₂ = 7 , n₃ =10, … ).

Рассмотрим элементы последовательности { x_n }

с номерами из { n_k }

( например, х₅ , х₇, х₁₀ , … ).

Они образуют последовательность { x }

, которая называется подпоследовательностью последовательности { x_n }

( можем переобозначить

у_к = x ).
Замечание. n_k

k.
Лемма 3.4.
Последовательность { x_n }

сходится к числу а тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к числу а .
Доказательство.
1). Так как любая подпоследовательность последовательности { x_n }

сходится к числу а , то последовательность { x_n }

сходится к числу а , так как каждая последовательность является своей подпоследовательностью.
2). Пусть последовательность { x_n }

сходится к числу а.

Возьмем произвольное положительное

. N N: n N |x_n – a|< .

Рассмотрим последовательность { x }

. Возьмем K = N .

Тогда k K | x - a |< , так как n_k

k N .

Следовательно, > 0 K N: k K | x – a|< .

Глава II. Предел и непрерывность функции.
Параграф 1. Понятие предела функции.
Определение 1.1.
Проколотой

- окрестностью числа а называется множество

\ {a} , которое обозначим

(

- радиус окрестности ).
Определение 1.2.
] A

R

1). Точка х называется внутренней точкой множества А , если она входит в А вместе с некоторой своей окрестностью.

2). Точка х называется внешней точкой множества А , если существует окрестность точки х , в которой нет точек множества А (ясно, что внешние точки не принадлежат множеству А ).

3). Точка х называется граничной точкой множества А , если любая окрестность точки х содержит как точки множества А , так и точки, не принадлежащие множеству А (граничные точки могут принадлежать или не принадлежать множеству А ).

4). Точка х называется предельной точкой (или точкой сгущения) множества А , если любая проколотая окрестность точки х содержит точку множества А (предельные точки могут принадлежать или не принадлежать множеству А ).

Если точка х принадлежит множеству А , но не является предельной точкой А , она называется изолированной точкой множества А .
Примеры.
1). ] A = (a, b]

{c}.

a)

(a, b) является внутренней точкой А.

б)

[a, b]

{c} является внешней точкой А.

в) Точки a , b , c- граничные точки А.

г)

[a, b] является предельной точкой А, точка с - изолированная точка А.

2). ] A = { x_n }

, которая сходится к числу а , причем x_n

N . Тогда точка а - точка сгущения А , точки x_n

N - изолированные точки А.
Задача.
Точка a - предельная точка множества А

(

{ x_n }

А \{a} : x_n

а ) .
Определение 1.3 предела функции по Коши.
Пусть функция fопределена в некоторой проколотой окрестности

точки а.

Число А называется пределом функции в точке а, если

> 0

> 0 : ( 0 < |x – a| <

| f (x) – A | <

)

( для любого положительного числа

существует положительное число

(дельта) такое, что как только х отличается от а менее, чем на

( и х

а ) , так сразу же f (x) отличается от А менее, чем на

)

или

Число А называется пределом функции в точке а, если

> 0

> 0 :

f (x)

( для любого положительного числа

существует положительное число

(дельта) такое, что для любого х из проколотой окрестности точки а радиуса

f (x) принадлежит окрестности точки А радиуса

) .

Обозначение:

или f (x)

( f (x) стремится к А , если х стремится к а ).
Определение 1.4 предела функции по Гейне.
Пусть функция fопределена в некоторой проколотой окрестности

точки а.

Число А называется пределом функции в точке а, если

{ x_n }

: ( x_n

f (x_n)

)

( Для любой последовательности { x_n }

, которая стремится к а , последовательность соответствующих значений функции стремится к А ).

Теорема 1.1.
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство.
1). Пусть выполнено определение предела по Коши. Покажем, что выполнено определение предела по Гейне.
Возьмем произвольное положительное

.

Существует

: ( 0 < |x – a| <

| f (x) – A | <

).

Возьмем произвольную последовательность { x_n }

: x_n

а .
Для этого

N N: n N |x_n – a|<

, и, следовательно, | f (x_n) – A | <

.
Cледовательно, > 0 N N: n N | f (x_n) – A | <

, то есть, f (x_n)

.
2). Пусть выполнено определение предела по Гейне. Покажем, что выполнено определение предела по Коши от противного.
Предположим, что выполнено определение предела по Гейне , но не выполнено определение предела по Коши, то есть

₀> 0 :

> 0 : х

: | f (x) – A |

₀.
Рассмотрим последовательность значений _n = 1 / n. Для каждого _nпостроим x_n: х_n

и | f (x_n) – A |

₀.
Получим последовательность { x_n }

, которая сходится к точке а , так как

- 1 / n < x_n – a <1 / n ( см. теор. 1.3 ) . Тогда f (x_n)

.
Следовательно, для ₀ N N: n N | f (x_n) – A | <

_0.
Тогда n Nодновременно выполняются неравенства | f (x_n) – A |

₀ и

| f (x_n) – A | <

₀ , что невозможно.
Получили противоречие. Следовательно, если выполнено определение предела по Гейне , то выполнено определение предела по Коши.

Параграф 2. Теоремы о функциях, имеющих предел.
Определение 2.1.
Образом множества Z при отображении f : X

Y ( Z

X ) называется множество

f ( Z ) = { y

Y |

Z : f (z)=y }.
Теорема 2.1.
Пусть функция fимеет конечный предел в точке а . Тогда существует проколотая окрестность точки а , в которой функция ограничена

( ]

. Тогда

: f (

) ограниченное множество вещественных чисел ).
Доказательство.
Возьмем

= 1.

> 0 :

| f (x) – A | < 1.

Следовательно, | f (x)| = | f (x) – A + A |

| f (x) – A | + | A | < 1 + | A |

.
Теорема 2.2.
Пусть функции f и gопределены в некоторой проколотой окрестности точки а.

]

, и А > B.

Тогда

: f (x) > g (x)

.
Доказательство.
Возьмем

= (А-В) / 2.

₁> 0 :

| f (x) – A | < (А-В) / 2 (

(А+В) / 2 < f (x) ) ;

₂> 0 :

| g (x) – B | < (А-В) / 2 (

g (x) < (А+В) / 2 ) .
Пусть

= min{

₁ ,

₂ } . Тогда

g (x) < (А+В) / 2 < f (x) .

Следствие.
]

и А > 0 ( A < 0 ) .

Тогда

: f (x) > 0 ( f (x) < 0 )

.

( Взять g (x) = 0 , и, следовательно, В = 0 ).
Теорема 2.3 о предельном переходе в неравенствах.
Пусть в некоторой проколотой окрестности

точки а определены функции f и g, и f (x)

g (x)

. Тогда, если у этих функций существуют пределы в точке а , они связаны тем же неравенством.
Теорема 2.4 о сжатой переменной .
Пусть в некоторой проколотой окрестности

точки а определены функции f (x), g (x), h (x) ; и f (x)

h (x)

g (x)

.

Пусть

. Тогда

.
Теорема 2.5.
Пусть в некоторой проколотой окрестности

точки а определены функции f и g , и

. Тогда
1).

.

2).

3).

, если В

0 .
Замечание.
Доказательства теорем 2.3, 2.4, 2.5 проводятся с использованием определения предела по Гейне и аналогичных теорем для последовательностей.
Докажем для примера теорему 2.3.
Пусть

.

Пусть { x_n }

- произвольная последовательность из

, такая, что x_n

а . Тогда f (x_n)

, g (x_n)