Лекція 2. Лекція Урахування похибок наближених обчислень. Класифікація похибок. Абсолютна та
 Скачать 193.07 Kb.
|
|
Лекція 2. Урахування похибок наближених обчислень. Класифікація похибок. Абсолютна та відносна похибки. Точні десяткові знаки. Похибка функції. Похибка математичних операцій. Зумовленість матриць і систем лінійних алгебричних рівнянь. При чисельному розв’язуванні майже будь-яких математичних і прикладних задач отримуємо не точний розв’язок, а результат з тією чи іншою мірою точності. Це пояснюється тим, що під час розв’язування задачі виникає низка похибок, пов’язаних з неточністю вхідних даних, виконанням арифметичних операцій не над точними дійсними числами, а над їхніми наближеннями, які одержують в результаті заокруглень, способом розв’язування поставленої математичної задачі. При цьому повну похибку результату розв’язування задачі складають: похибка задачі - пов’язана з наближеним характером вихідної моделі(неусувна), похибка методу(усувна), похибка заокруглень. Абсолютна та відносна похибки Точні десяткові знаки. Нехай А – довільне додатнє число, а a – деяке наближення числа. Тоді А може бути зображене у вигляді нескінченного десяткового дробу  де  - десяткові знаки числа А,  - кількість десяткових знаків,  .Однак у разі розв’язання задач на комп’ютерах ми можемо використовувати лише числа зі скінченною і цілком визначеною кількістю розрядів. Припустимо, що для зображення чисел використовують розрядів. Тоді наближене число  що замінює точне число А, набуде такого вигляду , де , - кількість десяткових знаків.Значущою цифрою вважатимемо будь-яку з цифр 1, 2, …, 9, а також цифру 0, якщо вона є проміжною або знаходиться в кінці числа і є результатом вимірювань або обчислень. Приклад:  - три значущі цифри - дві значущі цифри - чотири значущі цифри або  - дві значущі цифриОзначення Величина  називається абсолютною похибкою наближеного числа а  - його відносною похибкою.На практиці найчастіше число A є невідомим. Тому в цьому випадку ми не зможемо визначити абсолютну похибку. Тоді користуються так званою граничною абсолютною похибкою. Гранична абсолютна похибка наближеного числа  - це будь-яке число, не менше за абсолютну похибку цього числа:  .Якщо відома гранична абсолютна похибка числа , то точне число A лежить у межах .Цю формулу скорочено записують у вигляді:  .Приклад. Якщо  ,  , то оскільки  ,  . Тому можемо прийняти  . За умови  , маємо  . Тому одержуємо кращу граничну абсолютну похибку  .Зауваження. Сформульоване поняття граничної абсолютної похибки досить широке, оскільки будь-яке число  , яке задовольняє нерівність , можна прийняти за граничну абсолютну похибку. На практиці за треба брати якомога менше число.Означення. Гранична відносна похибка  наближеного числа називається будь-яке число, котре є не менше за відносну похибку цього наближеного числа.Згідно з означення маємо  .Приклад. Якщо , , то, оскільки  , за граничну відносну похибку наближеного числа можна прийняти  .Означення Число має точних десяткових знаків, якщо його абсолютна похибка не перевищує одиниці -го десяткового знака, тобто  .Приклад.  ,  . Тут  Звідси  .Тоді  .Теорема Якщо число має точних десяткових знаків, то його відносна похибка не перевищує величини  .Теорема Якщо відносна похибка числа задовольняє умову  , то число має точних десяткових знаків.Похибка функцій. Розглянемо функцію  , неперервно диференційована в деякій області зміни аргументу. Нехай  - наближені значення аргументу, причому їхні абсолютні похибки дорівнюють, відповідно,  і малі порівняно з величинами . Тоді абсолютна похибка функції  .На практиці  - малі значення. Тому обмежимось лінійною частиною приросту  , якою є повний диференціал  . Тоді  .Звідси позначивши через   граничні абсолютні похибки аргументів  , а через  граничну похибку функції  для малих отримаємо .Легко бачити, що  .Тоді за граничну відносну похибку функції можна взяти .Похибка арифметичних операцій.
Теорема. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел. Нехай  , тоді  .Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто  .Теорема Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел. Нехай  , тоді  .
Розглянемо різницю двох наближених чисел  та  :  . Тоді  .З останньої формули випливає, що для близьких чисел та гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання досить близьких чисел.
Нехай  , де всі множники можемо вважати додатними, тоді .Якщо  , де  , то  .Отже, граничні відносні похибки під час множення та ділення наближених чисел додаються. Найчастіше використовують норми вектора:  -  норма, або норма найменших абсолютних різниць; -  норма, або евклідова норма чи норма найменших квадратів; -  норма, або sup-норма чи норма Чебишева і підпорядковані їй норми матриць ; ; , відповідно, де  - максимальне власне число матриці  .Величину  називають числом зумовленості матриці  .Якщо  - невелике, то матриця СЛАР називається добре зумовленою, якщо ж - велике, то матриця називається погано зумовленою. |