лекция. 5 лекция. Лекция

• Название: Лекция
• Анкор: лекция
• Дата: 10.11.2021
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: 5 лекция.docx
• Тип: Лекция; #268550

5. Лекция.

Чистый сдвиг. Кручение стержня круглого поперечного сечения. Напряжения и деформации при чистом сдвиге. Кручение стержня с круглым поперечным сечением. Геометрические характеристики поперечных сечений. Внутренние силовые факторы при изгибе. Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры.

Чистый сдвиг – это напряженное состояние, при котором на гранях выделенного из тела элемента возникают только касательные напряжения  (рисунок 5.1 а). Однородный чистый сдвиг имеет место при кручении тонкостенной трубки (рисунок 5.2).

Можно доказать, что если из элемента, находящегося в условиях чистого сдвига, вырезать элемент с гранями, наклоненными под углами в 45º к исходным граням, то на них касательных напряжений не будет, а будут иметь место только нормальные напряжения (рисунок 5.1 б). При этом на одной паре противоположных граней напряжения являются растягивающими (σ’=), на другой – сжимающими (σ”=).

Как отмечалось ранее, касательные напряжения  связаны с угловой деформацией γ законом Гука

=G∙γ. (5.1)

Можно доказать, что при чистом сдвиге стороны элемента не изменяют своей длины при деформировании, изменение объема также равно нулю.

Аналогично испытаниям материала на растяжение и сжатие, проводят испытание на чистый сдвиг. Для этого используют тонкостенные трубки, закручиваемые моментами. В результате получают условную диаграмму сдвига в координатах  и γ, которая имеет сходство с диаграммой растяжения, при этом для пластичных металлов предел текучести _т=(0,5…0,55)σ_т.

Напряженное состояние, близкое к чистому сдвигу, возникает в заклепках, болтах (устанавливаемых без зазора), шпонках, шлицах, сварных швах.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением

Под кручением понимается такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент М_кр, а остальные ВСФ равны нулю. Кручение обычно возникает при нагружении стержня парами сил (скручивающими моментами), плоскости действия которых перпендикулярны продольной оси стержня. Эпюру крутящего момента строят с использованием метода сечений, при этом М_кр равен сумме моментов относительно продольной оси стержня всех пар сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения

М_кр = ∑M_i. (5.2)

Правило знаков: если наблюдатель со стороны внешней нормали к сечению видит момент М_кр направленным против часовой стрелке, то он считается положительным, иначе - отрицательным. Внешние моменты в (5.2) должны браться с противоположным правилом. На рисунке 5.3 показан пример построения эпюры М_кр.

При расчете стержня (вала) обычно требуется определить напряжения и угловые перемещения в зависимости от величин внешних моментов. Методами СМ можно получить решение только для стрежня кругового или кольцевого поперечного сечения (будем рассматривать только этот случай) и для тонкостенных стержней.

В случае кручения стержня с круговым поперечным сечением будем считать, что каждое поперечное сечение стержня поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое (гипотеза плоских сечений).

Рассмотрим стержень с круговым поперечным сечением, нагруженный по концам моментами M (рисунок 5.4 а). В его поперечных сечениях возникает постоянный крутящий момент М_кр=M. Двумя поперечными сечениями, выделим из стержня элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами  и ( + d) –элементарное кольцо, показанное на рисунке 5.4 в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол d. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол  и займет положение АВ. Дуга BВ равна с одной стороны, ∙d, а с другой стороны  ∙dz. Следовательно,

. (5.3)

Угол ⁰ представляет собой угол сдвига цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений . Величину

(5.4)

называют относительным углом закручивания. Это угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними.

Из рассмотрения (5.3) и (5.4) получим

 =∙θ⁰. (5.5)

По закону Гука для сдвига

τ=G∙θ (5.6)

где  касательные напряжения в поперечном сечении стержня. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях (рисунок 12.4 г).

Очевидна (рисунок 5.5) зависимость . С учетом (5.6) получаем . Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и называется полярным моментом инерции сечения

(5.7)

Т.о., получаем или

. (5.8)

Величину называют жесткостью стержня при кручении.

Из (5.8), с учетом (5.4) получим

. (5.9)

Если М_кр и по длине стержня постоянны, то из (5.9) найдем

. (5.10)

Подставляя (5.8) в (5.6) получим выражение для напряжений

. (5.11)

Т.о., касательные напряжения распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют максимальное значение в точках, наиболее удаленных от центра. При этом

или . (5.12)

Величина

(5.13)

называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения стержня. Формулы (5.10), (5.12) справедливы для кругового и кольцевого сечений.

Полярный момент инерции для круглого сечения найдем из (5.7), учитывая, что элементарная площадь пояска dA=2π∙ρ∙dρ (рисунок 5.4). Имеем

или . (5.14)

Полярный момент сопротивления для круглого сечения 

. (5.15)

Для кольцевого сечения (с наружным D и внутренним d диаметрами) имеем

. (5.16)

. (5.17)

Условие прочности и условие жесткости при кручении имеют вид

, (5.18)

или (5.19)

где [τ], [φ], [θ] – допускаемое касательное напряжение, допускаемый полный и допускаемый относительный углы закручивания соответственно.

Пример 5.1 - Для стального стержня кругового сечения (рисунок 5.3) требуется подобрать диаметр из условия прочности при [τ] = 100 МПа, M₁=2 кН∙м, M₂=3 кН∙м, M₃=9 кН∙м, M₄=4 кН∙м. Для найденного значения диаметра проверить условие жесткости, если [θ]=3 град/м, модуль сдвига для стали G=8∙10⁴ МПа.

Решение. Т.к. поперечное сечение стержня постоянно, опасными будут сечения на втором слева участке, где крутящий момент максимален, M_кр2 = 5 кН∙м.

Из условия прочности (12.18) находим м. Округляя в большую сторону, выбираем окончательно D = 65 мм.

Определяем момент инерции поперечного сечения J_p=π∙D⁴/32=1,785∙10^-5 м³. Проверяем условие жесткости =2,01 град/м < [θ]=3 град/м, т.е. условие жесткости выполняется.

Геометрические характеристики поперечных сечений. Внутренние силовые факторы при изгибе. Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Рассмотрим некоторую плоскую фигуру в системе координат x, y (рисунок 13.1). Интегралы

, (5.1.1)

называются статическими моментами фигуры относительно оси x и оси y соответственно.

Выясним, как изменяются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (рисунок 13.2). Очевидно, что x = x₁ - a; y = y₁ - b.

Тогда

,

.

Величины а и b можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы статиче­ские моменты и были равны нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

В системе координат (x₁, y₁) координаты центра тяжести равны

, . (5.1.2)

Отметим, что статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

Моменты инерции сечения

Возвращаясь к рисунку 5.1.1, рассмотрим три интеграла

, (5.1.3)

, (5.1.4)

. (5.1.5)

Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y соответственно, третий  центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Осевые моменты всегда положительны, центробежный может быть как положительным, так и отрицательным.

При параллельном переносе координатных осей (рисунок 5.1.2) моменты инерции изменяются в соответствии с формулами

, (5.1.6)

, (5.1.7)

. (5.1.8)

Если x₁ и y₁ - центральные, то и

, (5.1.9)

, (5.1.10)

. (5.1.11)

Т.о., при параллельном переносе осей в случае, когда одна из осей – центральная, осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями. При этом в семействе параллельных осей момент инерции относительно центральной оси минимален.

Пример 13.1 - Определить осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x₁, y₁ и x, y (рисунок 5.1.3).

Решение. В качестве элементарной пло­щадки dA возьмем полоску шириной b и высотой dy. Тогда

.

По формуле (5.1.9) получаем

. (5.1.12)

Аналогично получаем , . Центробежный момент инерции ввиду того, что оси x и y являются осями симметрии, а относительно осей x₁ и y₁ равен .

Отметим, что моменты инерции составного сечения равны суммам моментов инерции составляющих областей.

Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рисунка 13.4 легко установить, что

u = y∙ sin  + x ∙ cos ;     v = y∙  cos   x∙  sin  . (5.1.13)

Из выражений

, ,

с учетом (13.13) после несложных преобразований получим

, (5.1.14)

, (5.1.15)

. (5.1.16)

Складывая первые два уравнения, получаем

(5.1.17)

Т.о., сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей постоянна и равна полярному моменту инерции плоской фигуры.

С помощью (5.1.17) несложно определить осевой момент инерции кругового сечения относительно диаметра. Т.к. ввиду симметрии, то

(5.1.18)

Т.к. с изменением угла  значения и . изменяются, а их сумма остается постоянной, то существует такое значение =₀, при котором один из моментов или достигает своего максимального значения, другой – минимального. Значение ₀ найдем, исследуя на экстремум или . Найдем

. (5.1.19)

Оказывается, что при =₀ одновременно центробежный момент инерции обращается в нуль. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Они определяются с использованием (13.14), (13.15) и (13.19) как

. (5.1.20)

Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси l называют величину, определяемую как

. (5.1.21)

1. Вопросы для текущего контроля:


1. При каком нагружении возникает кручение бруса (вала)?

2. Как вычисляют значение крутящего момента в поперечном сечении вала? С какой


целью строят эпюры крутящих моментов?

3. Какие допущения положены в основу вывода формулы для касательных напряжений


возникающих в поперечном сечении вала при кручении?

4. Какое напряженное состояние возникает в каждой точке бруса круглого сечения при


кручении?

5. Как составляется условие прочности и условие жесткости для валов при кручении?