Линейная алгебра Контрольная работа Вопросы к экзамену Литератур. Линейная алгебра контрольная работа

• Название: Линейная алгебра контрольная работа
• Дата: 20.03.2022
• Размер: 74.5 Kb.
• Имя файла: Линейная алгебра Контрольная работа Вопросы к экзамену Литератур.doc
• Тип: Контрольная работа; #405991

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Защита студентов, не ориентирующихся в выполненной контрольной работе (независимо от ее качества), признается неудовлетворительной.

а₁ – количество гласных букв в имени студента,
а₂ – количество согласных букв в имени студента,
а₃ – количество гласных букв в фамилии студента,
а₄ – количество согласных букв в фамилии студента

1. 
   Вычислить определитель:
   

2. 
   Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований
   

3. 
   Найти обратную матрицу (с проверкой):
   
   • 
     с использованием присоединенной матрицы;
     
   • 
     с помощью элементарных преобразований строк:
     

;

4. 
   Решить систему (с проверкой):
   
   • 
     матричным методом;
     
   • 
     методом Крамера:
     

5. 
   Исследовать систему (выписать общее, частное и фундаментальное решения):
   

6. 
   Найти базис и размерность линейной оболочки системы векторов:
   

7. 
   Проверить, что (е₁, …, е_n) – базис пространства, и найти координаты вектора х в этом пространстве
   

8. 
   Выяснить, является ли система векторов (f₁, f₂, f₃) линейно зависимой. Если система линейно зависима, найти зависимость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов). Если система линейно независима, найти матрицу перехода к базису (g₁, g₂, g₃).
   

9. 
   Найти собственные числа и собственные векторы матрицы некоторого линейного оператора
   

10. 
    Привести квадратичную форму от двух переменных к каноническому виду:
    

• 
  методом выделения полных квадратов;
  
• 
  методом ортогонального преобразования.
  

Выяснить, является ли заданная квадратичная форма положительно определенной.

11. 
    Вычислить скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
    ,
    ,
    .
    

Пояснить геометрический смысл рассчитываемых произведений.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1. 
   Матрицы. Определители
   
   1. 
      Матрицы. Линейные операции над ними.
      
   2. 
      Определители второго и третьего порядков. Определители n-го порядка.
      
   3. 
      Алгебраические дополнения и миноры.
      
   4. 
      Ранг матрицы.
      
   5. 
      Обратная матрица.
      
2. 
   Системы линейных уравнений
   
   1. 
      Точные методы решения систем линейных уравнений (матричный метод, метод Крамера).
      
   2. 
      Теореме Кронекера-Капелли о совместности систем.
      
   3. 
      Система линейных однородных уравнений. Подпространство решений линейной однородной системы, его размерность и базис. Фундаментальная система решений.
      
   4. 
      Система линейных неоднородных уравнений. Структура множества решений.
      
3. 
   Линейное пространство
   
   1. 
      Определение линейного пространства.
      
   2. 
      Линейная комбинация векторов. Понятие линейной независимости векторов.
      
   3. 
      Базис и размерность векторного пространства.
      
   4. 
      Теорема о разложении любого вектора по векторам базиса.
      
   5. 
      Связь координат вектора в различных базисах одного и того же пространства.
      
   6. 
      Евклидовы и унитарные пространства.
      
4. 
   Линейные операторы
   
   1. 
      Определение линейного оператора. Действия над линейными операторами.
      
   2. 
      Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
      
   3. 
      Характеристический многочлен линейного оператора. Теорема о независимости характеристического многочлена от выбора базиса.
      
5. 
   Квадратичные формы
   

1. 
   Квадратичные формы и их матрицы.
   
2. 
   Канонический вид. Метод Лагранжа.
   
3. 
   Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
   

6. 
   Векторная алгебра
   
   1. 
      Понятие вектора. Основные операции над векторами.
      
   2. 
      Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису.
      
   3. 
      Системы координат. Линейное операции над векторами, заданными в координатной форме.
      
   4. 
      Скалярное произведение векторов.
      
   5. 
      Векторное произведение.
      
   6. 
      Смешанное произведение векторов.
      
7. 
   Прямые линии и плоскости
   
   1. 
      Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.
      
   2. 
      Различные виды уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
      
   3. 
      Различные виды уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
      
   4. 
      Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
      
8. 
   Линии и поверхности второго порядка
   
   1. 
      Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения.
      
   2. 
      Поверхности второго порядка. канонические уравнения.
      
9. 
   Комплексные числа
   
   1. 
      Комплексные числа и действия над ними.
      
   2. 
      Формы записи комплексных чисел.
      
   3. 
      Геометрическая интерпретация комплексных чисел
      

ЛИТЕРАТУРА

Базовая литература

1. 
   Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера.-3-е изд. - М..: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.-479 с.
   

Основная литература

2. 
   Математика в экономике: Учебник ч.1 Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Брайлов, И.Г. Шандра.-3-е изд., перераб. и доп.-М.: Финансы и статистика, 2011.-384 с.
   
3. 
   Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Учебник / В.А. Ильин, А.В. Куркина.-3-е изд., перераб. и доп. – М:Проспект, 2009. – 608 с.
   
4. 
   Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие/Г.С. Шевцов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Магистр, 2011. – 528 с.
   

Дополнительная литература

5. 
   Малыхин В.И. Высшая математика: Учеб. пособие / В.И. Малыхин.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: ИНФРА-М, 2009.-365 с
   
6. 
   Красс М.С. Математика для экономистов: Учеб. пособие для вузов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов.-СПб.: Питер, 2010.-464 с.: ил.