2. Практика Построение простейших математических моделей. Математическая модель это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка
 Скачать 107.93 Kb.
|
|
Построение простейших математических моделей Математическая модель — это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка. Пусть в трёх зоопарках есть тигры и львы. В первом зоопарке 14 тигров и 12 львов, во втором зоопарке 11 тигров и 11 львов, в третьем зоопарке 8 тигров и 17 львов. Сколько всего тигров и львов в первом зоопарке? В первом зоопарке всего 14+12=26 тигров и львов. Сколько всего тигров и львов во втором зоопарке? Во втором зоопарке всего 11+11=22 тигра и льва. Сколько всего тигров и львов в третьем зоопарке? В третьем зоопарке всего 8+17=25 тигров и львов. Мы трижды выполняли одинаковую операцию: складывали количество тигров и количество львов. Используя математический язык, можно все эти три задачи объединить в одну: в зоопарке живут a тигров и b львов. Сколько всего тигров и львов в зоопарке? Всего тигров и львов a+b. В таком случае говорят, что мы составили математическую модель реальной ситуации. В таблице ниже даны наборы фактических условий, а также их математические модели, где a — количество тигров в зоопарке, b — количество львов в том же зоопарке.
Математическая модель реальной ситуации кроме краткой выразительной записи позволяет решать разные задачи. Пример: на первом складе в 4 раза больше тонн сахара, чем на втором. Если перевезти 5 т сахара с первого склада на второй, то на первом складе окажется на 2 т сахара больше. Найди общее количество тонн сахара на двух складах. Решение: пусть x т сахара — на втором складе, тогда 4x т сахара — на первом. Если вывезти 5 т сахара, то на первом складе останется (4x−5) т. Если 5 т сахара привезти на второй склад, то на нём будет (x+5) т сахара. В задаче сказано, что на первом складе окажется на 2 т сахара больше. Запишем это на математическом языке: (4x−5)−(x+5)=2. Полученное уравнение является математической моделью данной задачи. Решим его: (4x−5)−(x+5)=2;4x−5−x−5=2;3x=12x=4. Получаем, что на втором складе 4 т сахара, а значит, 16 т сахара на первом, так как его в четыре раза больше. Ответ: на двух складах всего 20 т сахара. Можно заметить, что в ходе решения было выделено три этапа рассуждений. Первый этап. Составление математической модели. Была введена переменная x, и текст задачи переведён на математический язык, т. е. была составлена математическая модель задачи в виде уравнения (4x−5)−(x+5)=2. Второй этап. Работа с математической моделью. Здесь было решено уравнение до простого ответа x=4. Третий этап. Формулировка ответа на вопрос задачи. Используя полученное на втором этапе решение, ответили на вопрос задачи. Такую математическую модель называют алгебраической моделью. Задание По данным таблицы построй график изменения суточной температуры:
Решение: в прямоугольной системе координат по оси абсцисс (горизонтальная ось) отметим значения времени, по оси ординат (вертикальная ось) будут обозначены значения суточной температуры. Отметим в прямоугольной системе координат точки с координатами соответствующих чисел из таблицы. Итого получим 12 точек.  Чтобы получить график изменения хода суточной температуры, соединим точки плавной линией.  Данный график является математической моделью, которая описывает зависимость среднесуточной температуры от времени. Исследуя полученный график, можно описать словами, что происходило с температурой воздуха в течение суток. Такая математическая модель называется графической моделью. Математические модели задаются: 1) словесно — описываются словами; 2) алгебраически — в виде уравнений, неравенств или систем; 3) графически — в виде графиков; 4) геометрически — с помощью геометрических фигур. В задаче о массе сахара по словесному описанию мы составили уравнение (алгебраическую модель), а в задании про среднесуточную температуру — графическую модель. Проверка знаний: 1) Переход от словесной модели к математической Перейди от словесной модели к математической: «Число q на 2 больше числа p». p⋅q=2 p:q=2 2p=5q q=p+2 2) Определение ситуации по графической модели Определи, какая графическая модель соответствует ситуации: «На координатной прямой точки X1 и X2 удалены от точки B на расстояние, равное 5».     3) Составление математической модели Составь математическую модель данной ситуации: «Стоимость чашки какао — t р., а чашки фруктового чая — r р. Известно, что 3 чашки какао стоят столько же, сколько 4 чашки фруктового чая». (В левой части уравнения запиши стоимость какао, в правой части — стоимость фруктового чая. Записывай сначала число, потом букву.) Ответ в виде: _ _ = _ _. 4) Математическая модель деления с остатком Составь математическую модель ситуации, данной словесной моделью: «Число m при делении на число n даёт в частном число 15 и в остатке — число 5». Ответ (в каждое окошко пиши букву, число или знак; после знака равенства первым запиши число, затем переменную): _ = _ * _ _ _. 5) Текстовая задача (число квартир в доме) Найди решение задачи, выделяя три этапа математического моделирования: «В первой деревне на 88 домов больше, чем во второй. Определи, сколько домов в каждой деревне, если в двух деревнях всего 178 дом(-ов, -а)». Ответ: во второй деревне домов _; в первой деревне домов _. 6) Текстовая задача (соотношение частей) В железной руде содержатся железо и примеси в отношении 8 : 1. Определи, сколько тонн железа получится из 423 т руды. Ответ: получится железа _ т. 7) Составление математической модели со сравнением данных задач На плантации винограда шла уборка урожая. Одна группа виноградарей работала 5 ч., а другая — 7 ч. Выяснилось, что обе группы собрали одинаковое количество винограда. Найди количество центнеров винограда, которое убрала первая группа виноградарей за 5 ч., если известно, что каждый час она убирала на 12 ц больше второй группы. Ответ: за 5 ч. первая группа убрала _ ц винограда. 8) Движение по течению и против течения Расстояние от пристани A до пристани B по течению реки катер прошёл за 4 ч., а от пристани B до пристани A против течения — за 4,6 ч. Обозначив собственную скорость катера — a км/ч, скорость течения реки — m км/ч, составь математическую модель данной ситуации. a) Найди скорость катера по течению, скорость катера против течения. b) Найди расстояние, пройденное катером по течению. с) Найди расстояние, пройденное катером против течения. d) Сравни найденные в пункте c расстояния. Результат сравнения запиши в виде математической модели. (В сумме на первом месте пиши скорость катера.) Ответ: a) скорость катера по течению реки — _ км/ч; против течения реки — _ км/ч; b) расстояние, пройденное катером по течению: _ ⋅( _ + _ ) км; с) расстояние, пройденное катером против течения: _ ⋅( _ − _ ) км; d) найденные расстояния будут (запиши прилагательное) _______ , т. е. _ ⋅( _ + _) _ _⋅( _ − _ ) км. 9) Количество блокнотов в трёх коробках В трёх коробках всего 358 блокнотов. Определи, сколько блокнотов в каждой коробке, если известно, что в третьей коробке в 2 раза больше блокнотов, чем во второй коробке, и на 13 блокнотов меньше, чем в первой коробке. Ответ: блокнотов во второй коробке _ , блокнотов в третьей коробке _ , блокнотов в первой коробке _ . 10) Расстояние между городами «Пётр и Василий любят ездить в выходной день на велосипедах из одного населённого пункта в другой. Расстояние между двумя городами Пётр проехал за 4 ч., а Василий — за 7 ч. Скорость Василия на 18 км/ч меньше скорости Петра. Вычисли скорости Василия и Петра и расстояние между городами». Ответ: скорость Василия _ км/ч; скорость Петра _ км/ч; расстояние между городами _ км. 11) Соответствие графической модели — аналитической Назови на координатной прямой графическую модель ситуации по её аналитической модели: |x|=2,2.     |