Математика 33. Векторное поле. Векторные линии

Название	Математика 33. Векторное поле. Векторные линии
Дата	29.06.2018
Размер	0.9 Mb.
Формат файла
Имя файла	Matematika.docx
Тип	Документы #48092

Математика

33. Векторное поле. Векторные линии.

34. Поток векторного поля. Методы вычисления потока векторного поля.

Потоком векторного поля

,

через поверхность S называется поверхностный интеграл второго рода от векторной функции A (x, y, z) по поверхности S,

, где n – единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
Еще один способ обозначения связан с введением вектора dS = n dS, величина которого равна площади элемента поверхности dS, а направление определяется вектором n.
     Таким образом,

.

      Рисунок 1 иллюстрирует понятие потока векторного поля A через малый элемент поверхности. Поток поля принимает наибольшее значение, если вектор A направлен перепендикулярно к поверхности.

.
Рис. 1. Поток векторного поля A через бесконечно малый элемент поверхности dS равен скалярному произведению .

     В координатной форме поток векторного поля записывается в вмде

.

      Вычисление потока векторного поля сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов

где плоские области представляют собой проекции поверхности S на координатные плоскости соответственно. Выражения получаются из уравнения поверхности S, разрешением относительно соответствующих координат.
     Для обозначения потока векторного поля через замкнутую поверхность используются выражения вида

35. Дивергенция векторного поля.

Рассмотрим произвольную точку M (x, , y, z) и опишем вокруг этой точки замкнутую поверхность ΔS.
     Составим отношение потока вектора A через поверхность ΔS к объему ΔV области, ограниченной этой поверхностью. Затем перейдем к пределу ΔV → 0, стягивая поверхность ΔS в точку.
     Полученный предел называется дивергенцией векторного поля A и обозначается символическим выражением div A .
     Таким образом,

.

     Определение дивергенции векторного поля A можно также представить в виде

Если сопоставить определение дивергенции с определениями плотности распределения массы или плотности распределения заряда, то можно сказать, что дивергенция векторного поля A представляет собой плотность распределения потока векторного поля A.
     Суть понятия "дивергенция векторного поля" выявляется особенно наглядно, если обратиться к уравнению Максвелла

,

которое в явном виде связывает дивергенцию электрического поля E с плотностью ρ распределения зарядов – источников электрического поля. Иначе говоря, дивергенция векторного поля представляет собой плотность распределения источников поля.
36. Формула Остроградского-гаусса в векторной форме.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по телу , ограниченному поверхностью , т.е.

. (2.14)

37. Циркуляция векторного поля.

Пусть вдоль замкнутого контура L задано векторное поле A. Криволинейный интеграл второго рода от вектора A по контуру L называется циркуляцией векторного поля A и обозначается символическим выражением

Направление обхода контура считается положительным, если при движении по контуру ограниченная им область остается слева.

      Отметим, что вектор направлен по касательной к линии L и dr = dl. Поэтому скалярное произведение можно записать в виде , где – проекция вектора A на направление касательного вектора l. По этой причине для обозначения циркуляции используется также символическое выражение .
     Учитывая, что и , а также используя свойство скалярного произведения векторов, выражение под знаком обсуждаемого интеграла можно представить в виде

.

     Таким образом, циркуляция векторного поля A записывается в любой из нижеприведенных форм:

     Циркуляция векторного поля имеет простую физическую интерпретацию. Если F – сила, действующая на частицу, то циркуляция векторного поля F представляет собой работу этой силы по перемещению частицы по замкнутому контуру L.

38. Ротор векторного поля.

Ротор (Вихрь) — векторный оператор векторного поля, показывает насколько и в какую сторону закручено поле в каждой точке. Ротор обозначается значком rot.

В декартовой системе координат ротор вычисляется по след. формуле:

rot(i⃗Fx + j⃗Fy + k⃗Fz)=i⃗

Для простоты восприятия можно представлять ротор как

Или как детерминант следующей матрицы:

где i, j и k — единичные векторы для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то для циклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют равномерно и прямолинейно, ротор будет равен нулю.

Основные свойства:

Линейность

rot(aF+bG)=arot F+brot G

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

rot φF=grad φ ×F+φrot F.

Дивергенция ротора равна нулю:

div rot F=0

Если rot F=0, то F есть градиент скалярного поля φ:

rot F=0⇔F=grad φ

Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через этот контур:

∮CFdl=∫rot FdS
39. Криволинейные интегралы первого рода.

А=М₀, М₁, М₂…=В

Из т. М восстановим перпендикуляр до пересечения с отображением f (M)

,(1) где – длина дуги.

– сумма криволинейного интеграла первого рода.

(2)

Определение. Криволинейным интегралом I рода называется предел интегральной суммы (1) при , где – длина наибольшей дуги .
Свойства:

1°. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления.

2°. Если т. С принадлежит (L) , то криволинейный интеграл I рода по кривой (АВ) равен сумме криволинейных интегралов.

– геометрическая интерпретация криволинейного интеграла I рода.

3°. Рассмотри кривую L для которой задана непрерывная ф-я z=f (M) и непрерывная производная, т.е. гладкая кривая. Если восстановить перпендикуляры оси OZ, то получится цилиндрическая поверхность, ограниченная снизу кривой L, сверху z=f(M) и образующая – это прямые параллельные оси oz. Справа огранич. прямой ВВ´, слева АА´. Если дробление кривой АВ будет достаточно мелким, то дуги превращаются в отрезки.

При мелком разбиении криволинейный интеграл I рода приближенно равен определенному интегралу, а в геометрической интерпретации площадь цилиндрической поверхности численно равна площади криволинейной трапеции.

Криволинейный интеграл I рода численно равен площади цилиндрической аповерхности, которая ограничена кривой L в плоскости XOY, сверху z=f(M) (А´В´), слева образующей АА´, справа ВВ´.
19. Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнения первого порядка, которые можно записать P(y)dy = Q(x)dx называются уравнениями с разделяющимися переменными. Для решения диф уравнения с раздел. Переменными необходимо все переменные с «х» оставить в одной части, с «у» в другой и проинтегрировать обе части полученного равенства:

20. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

Для проверки того факта, что дифференциальное уравнение первого порядка является однородным, нужно ввести некоторую величину k и заменить переменную y на ky и переменную x на kx. После упрощения полученного выражения, если k сократится, то исследуемое уравнение – однородное дифференциальное уравнение.

16. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида p(х)y´+q(х)y = t(x) (1). Для решения линейных уравнений существует 2 метода:

Метод вариации постоянной.

В уравнении (1) отбрасывается правая часть и уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными. , умножаем обе части на dx: p(x) dy = -q(x)y dx, умножаем обе части на : ,

Предположим, что I, тогда ; . (2)

Находим производную равенства (2) и подставляем в равенство (1), решая которое найдем решение уравнения (1)

Метод Бернулли

Находим решение y в виде произведения двух функций y = u(x)v(x), тогда производная: y´ = u´(x)v(x)+u(x)v´(x). Подставляем производную y в исходное уравнение.
21. Уравнение Бернулли.
Уравнение Бернулли – это уравнение, которое задается в виде p(х)y´+q(х)y = t(x) – линейное уравнение. P(x), q(x) –некоторые функции, которые зависят от х. Если линейное уравнение включает в себе помимо функции t(x) в правой части степень функции y, то линейное уравнение называется уравнением Бернулли:

В уравнении (1) разделим обе части на y в степени n:

Воспользуемся методом замены.

, тогда уравнение (1) будет иметь вид:

– линейное уравнение, которое можно решить двумя методами. Возвращаясь к первоначальной переменной y путем обратной замены получим общий интеграл уравнения Бернулли.
22. Уравнения в полных дифференциалах.
Если левая часть уравнения M(x, y)dx+N(x, y)dy=0 представляет собой полный дифференциал некоторой функции V(x, y), т.е. если: M(x, y)dx+N(x, y)dy= dV(x, y). В этом случае можно записать так: dV(x, y)=0, откуда интегрированием получаем общий интеграл V(x, y) = 0. Функция полного дифференциала V(x, y) не всегда видна явно, поэтому необходимо условие, которое подтверждает, что уравнение является уравнением полных дифференциалов.

Т. Для того, чтобы дифференциальное выражение M(x, y)dx+N(x, y)dy, где функции M(x, y) и N(x, y) определены и непрерывны в области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные и , представляло собой полный дифференциал необходимо и достаточно чтобы во всех точках области было выполнено условие: .

23. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

F(x;y;y’;y’’)=0

Или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

y’’=f(x;y;y’).

РешениемДУ y’’=f(x;y;y’)называется всякая функция у= ,которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ y’’=f(x;y;y’) называется функция у= ,где и- не зависящие отх произвольные постоянные.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n-го порядка, которое в общем виде записывается как F(x;y;y’;y’’;…; )=0.
24. Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые путем непосредственного интегрирования.

Рассмотрим уравнение n-го порядка:
(1)

Оно решается непосредственным интегрированием.

$y^(n)</h2>=</h2>{d y^(n-1)}/dx</h2>=</h2>f(x)$

$y^(n-1)</h2>=</h2>int{</h2>}{</h2>}{f(x) dx}</h2>+</h2>c_1$

$y^(n-2)</h2>=</h2>int{</h2>}{</h2>}{y^(n-1) dx}</h2>+</h2>c_2$

. . . . . . . .

При этом постоянные интегрирования C₁, C₂, ... C_n входят в результат в виде многочлена степени n:

$</h2>+</h2> c_n x^{n-1}$
25. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Определения и общие свойства.

40. Криволинейные интегралы второго рода.

Определение. Криволинейным интегралом второго рода от функции по кривой AB называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривой AB на частичные дуги , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

,

где векторный элемент касательной к контуру интегрирования в точке равен

и скалярное произведение

.

Функция называется интегрируемой по (вдоль) кривой AB, сама кривая AB – контуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.

Если AB – замкнутая кривая, т.е. точка B совпадает с точкой A, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура AB условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура AB условимся называть отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру , пробегаемому в положительном направлении, обычно обозначают так: