М.А. Тынкевич Принятие решений в условия неопределенности (теория игр и статистических решений). М.А. Тынкевич Принятие решений в условия неопределенности (теори. Министерство образования российской федерации кузбасский государственный технический
 Скачать 222.67 Kb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра вычислительной техники и информационных технологий ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ) Методические указания и задания к практическим занятиям по курсам “Исследование операций в экономике” и “Экономико-математические методы” для студентов экономических специальностей Составители М.А.Тынкевич О.А. Бияков Утверждены на заседании кафедры вычислительной техники и информа- ционных технологий Протокол № 5 от 16.01.2001 Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией по специальности 351400 Протокол № 3 от 16.01.2001 Кемерово 2001 1 Работа 1. Матричные игры 1.1. Постановка задачи и описание метода решения Теория игр занимается изучением т. н. конфликтных ситуаций, где сталкиваются интересы индивидов, партий, государств и т. п. Разумеется, не существует математической теории, которая могла бы однозначно предсказать результат реальной игры, но существуют ситуации, подоб- ные игровым и допускающие математический анализ. Простейшими среди игр являются матричные игры с нулевой сум- мой. В такой игре участвуют два игрока, первый из которых имеет m вы- боров и второй - n выборов. Если игрок 1 делает свой i-й выбор, а игрок 2 - свой j-й выбор, то выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2) равен R ij. Матрица R = [ R ij / i=1..m , j=1..n ] называется матрицей выигрышей (платежной матрицей). Система правил, однозначно определяющая выбор игрока в зави- симости от сложившейся ситуации, называется стратегией. Каждая фиксированная стратегия игрока, где конкретный выбор со- поставлен любой ситуации, называется чистой. В реальности чаще ис- пользуются т.н. смешанные стратегии, где чистые стратегии смеши- ваются с некоторыми частотами. При ведении игры игрок должен ориентироваться на оптимальную политику партнера и наказывать его за отступления от таковой. С этих позиций игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший V 1 = 1..n = j 1..m = i min max R ij , а игроку 2 - проигрыш, не превышающий V 2 = 1..n = j 1..m = i min max R ij Если в матрице выигрышей существует элемент R k l = V 1 = V 2 , то говорят о наличии оптимальной политики "в пространстве чистых стратегий" и оптимальными выборами для игроков соответственно являются выборы k и l . Пару (k, l) называют седловой точкой. Пример 1. Пусть игра определяется матрицей R = 10 8 6 6 6 4 3 4 6 5 4 3 5 4 3 2 , V 1 = max 6 3 4 2 = 6 , V 2 = min [ 6, 6, 8, 10 ] = 6. Седловые точки - (4, 1) и (4, 2). Цена игры = 6; оптимальный выбор для игрока 1 - четвертый, для игрока 2 равнозначны первый и второй (под ценой игры понимают гарантированный выигрыш-проигрыш при оптимальной политике обоих игроков). 2 Пример 2. Пусть игра определяется матрицей R = 4 4 4 3 7 4 5 3 7 2 5 3 4 2 6 6 7 3 4 5 , V 1 = max 3 2 2 3 = 3 , V 2 = min [ 7, 7 4, 7, 6 ] = 4. Здесь равенство V 1 = V 2 не выполняется; оптимальной чистой стратегии для игроков нет. При анализе игр часто пытаются уменьшить размеры изучаемой матрицы, выявляя доминирование между строками и столбцами. Так в примере 1 элементы четвертой строки больше соответствующих элемен- тов других строк: использование выбора 4 выгоднее других выборов при любой политике противника. Противник видит, что в такой ситуации ис- пользовать выборы 3 и 4 неразумно. При отсутствии седловой точки среди чистых стратегий приходится искать таковую среди смешанных. Если игрок 1 прибегает к своему выбору i с вероятностью P i ,а иг- рок 2 - к своему j-му выбору с вероятностью Q j , то ожидаемый выиг- рыш игрока 1 (проигрыш игрока 2) равен Q R P = Q P R T j i m 1 = i j i ∑ Основная теорема теории игр ( теорема Джона фон Неймана ) утверждает, что любая матричная игра с нулевой суммой всегда имеет седловую точку, т.е. существуют векторы P и Q такие, что max P min Q PT RQ = min Q max P PT RQ = V , (V - цена игры). Поиск цены игры и соответствующих вероятностей сводится к ре- шению пары двойственных задач: максимизировать V при условиях ∑ = ≥ m 1 i i j i V P R , j=1 . . n ∑ = m 1 i i P = 1 P i ≥ 0 , i=1 . . m минимизировать V при условиях V Q R j n 1 j j i ≤ ∑ = , i=1 . . m ∑ = n 1 j j Q = 1 (1) Q j ≥ 0 , j=1 . . n Если учесть, что при увеличении элементов матрицы R на любую константу С цена игры увеличится на С и это изменение не окажет влия- ния на искомые вероятности выборов, то всегда можно добиться положи- тельности элементов матрицы и, следовательно, цены игры. В предположении V > 0 можно провести замену переменных Х i = P i / V , Y j = Q j / V 3 и поставленные задачи преобразовать к задачам с меньшим числом переменных: минимизировать ∑ = m 1 i i X при условиях ∑ = ≥ m 1 i i j i 1 X R , j=1 . . n X i ≥ 0 , i=1 . . m максимизировать ∑ = n 1 j j Y при условиях 1 Y R j n 1 j j i ≤ ∑ = , i=1 . . m (2) Y j ≥ 0 , j=1 . . n Например, для игры с матрицей 0 3 2 1 0 4 3 2 1 возникают задачи: максимизировать минимизировать Y 1 + Y 2 + Y 3 X 1 + X 2 + X 3 при при Y 1 + 2 Y 2 + 3 Y 3 ≤ 1 X 1 + 4 X 2 + 2 X 3 ≥ 1 4 Y 1 + Y 3 ≤ 1 2 X 1 + 3 X 3 ≥ 1 2 Y 1 + 3 Y 2 ≤ 1 3 X 1 + X 2 ≥ 1 Y 1 , Y 2 ,Y 3 ≥ 0 X 1 , X 2 , X 3 ≥ 0 Решение этих задач симплексным методом дает оптимальные зна- чения X = { 11/37, 4/37, 5/37 }, Y = { 8/37, 7/37, 5/37 } и экстремумы целевых функций, равные 20/37. Отсюда V = 37/20 , P = {11/20, 4/20, 5/20} , Q = {8/20, 7/20, 5/20}. Следует учесть, что мы здесь ограничиваемся рассмотрением игр, реализация которых может осуществляться любое число раз, не зависит от результата предыдущих действий и от длительности. Игры, где каждый последующий выбор зависит от результата предыдущих действий, отно- сятся к т.н. многошаговым играм и не имеют столь простого решения [1]. 1.2. Контрольные задания 1.2.1. Требования 1. Для матричной игры, соответствующей варианту контрольного задания, проверьте наличие оптимальной чистой стратегии. 2. Поставьте пару двойственных задач и выполните ее решение сим- плексным или каким-либо другим методом. Оцените полученное опти- 4 мальное решение с позиций здравого смысла. 3. С помощью лекционного материала, учебных пособий или собст- венных умозаключений выясните правомерность постановки задач (1) и (2). Зачем при переходе от постановки (1) к (2) требуется уверенность в положительности цены игры ? 1.2.2. Варианты заданий 1. 1 -1 -1 3 2. 1 3 5 7 3. -2 0 2 4 -1 1 0 -3 7 5 3 1 4 2 0 -2 -2 2 3 1 4 4 4 3 1 0 0 1 4 1 6 3 -3 5 1 4 9 16 6 1 9 1 5 2 4 3 5 16 9 4 1 2 4 4 4 3 2 5 -3 10 10 10 15 3 1 9 6 7 7 5 3 1 8 0 1 -1 0 9 3 -3 4 -4 1 3 5 7 -1 0 0 1 -3 3 -4 -4 4 4 4 3 2 -2 1 0 4 -4 3 -3 0 5 5 0 -2 2 0 1 -4 4 -3 3 10 0 1 2 3 4 11 0 -1 1 2 -2 12 5 -5 3 -3 1 2 4 6 3 -1 0 -1 -2 2 -5 5 -3 4 0 3 2 1 5 0 0 0 3 -3 -1 0 0 1 13 1 2 1 3 2 14 6 4 2 0 15 4 2 0 -2 2 1 4 4 4 0 2 4 6 -2 0 2 4 1 3 4 4 4 3 3 3 2 1 1 1 0 3 1 1 5 4 -1 4 4 -1 -3 2 2 -3 16 1 3 2 1 2 17 0 2 1 0 1 18 9 -9 0 3 1 3 2 4 2 0 2 1 3 -9 5 1 5 0 3 3 3 4 -1 2 2 2 0 1 -1 19 5 -5 3 4 20 5 -5 3 21 0 1 2 3 -5 5 4 2 -5 5 4 1 0 3 2 1 1 1 -1 1 1 1 2 3 0 1 0 0 -1 1 0 0 -1 3 2 1 0 1 0 1 -1 1 0 1 22 -1 1 2 1 2 23 -2 0 1 0 1 24 1 2 3 1 -1 3 2 4 0 -2 2 1 3 2 3 2 3 0 3 3 3 4 -1 2 2 2 3 2 1 5 Работа 2. Статистические решения 2.1. Основные понятия теории статистических решений Теория статистических решений может быть истолкована как теория поиска оптимального недетерминированного поведения в условиях неоп- ределенности. Согласно А.Вальду, поведение считается оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательных экспериментах, т.е. ма- тематическое ожидание убытков статистического эксперимента. В такой постановке любая задача статистических решений может рассматривать- ся как игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа". Иногда усредненные характеристики некоторого случайного процес- са испытывают тенденцию к стабилизации и появляется возможность ли- бо замены его детерминированным, либо использования каких-то методов исследования стационарных случайных процессов ( методов теории массового обслуживания и др.). Однако большинство процессов характеризуется "дурной неопреде- ленностью" , для которой невозможно найти законы распределения и другие вероятностные характеристики. В таких ситуациях приходится прибегнуть к экспертным оценкам. Возникает и проблема выбора критерия оптимальности, поскольку решение, оптимальное для каких-то условий, бывает неприемлемым в других и приходится искать некоторый компромисс. Пусть задан некоторый вектор S = (S 1 ,S 2 ,..,S n ), описывающий n со- стояний внешней среды, и вектор X = (X 1 ,X 2 ,..,X m ), описывающий m до- пустимых решений. Требуется найти вектор X * =(0,0,..,0, X i ,0,..,0), ко- торый обеспечивает оптимум некоторой функции полезности W(X,S) по некоторому критерию K. Информация oб указанной функции представляют матрицей размер- ности m × n c элементами W ij = F(X i ,S j ), где F - решающее правило. Рассмотрим типичный пример формирования такой матрицы. Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо заку- пить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; комплект поставки - 10 станков. Минимальный объем поставок - 20 станков. Соответственно, вектор решений об объеме поставок X = (20,30,40,50). Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, cоставляет 21.9 тыс.руб. Оптовая цена одного станка 4.775 тыс. руб., экс- плуатационные расходы - 3.6 тыс. руб. Затраты на подготовку производ- ства составляют 25.5 тыс.руб. и не зависят от числа станков и объема вы- пуска. Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S работающих станков, и для простоты ограничимся вектором состояний 6 спроса S = (0,10,20,30,40,50). Если решающее правило сформулировать как "доход - издержки", то можно рассчитать элементы матрицы полезности: W i j = ( 21.9 - 3.6 ) × min( X i , S j ) − 4.775 X i − 25.5 S 1 =0 S 2 =10 S 3 =20 S 4 =30 S 5 =40 S 6 =50 X 1 = 20 -121 62 245 245 245 245 X 2 = 30 -168.75 14.25 197.25 380.25 380.25 380.25 X 3 = 40 -216.5 -33.5 149.5 332.5 515.5 515.5 X 4 = 50 -264.25 -81.25 101.75 284.75 467.75 650.75 Например, W 11 = -(4.775 × 20+25.5) = -121, W 12 = (21.9-3.6) × 10-(4.775 × 20+25.5) = 62, W 13 = (21.9-3.6) × 20-(4.775 × 20+25.5) = 245, W 14 = W 15 = 245 (спрос останется неудовлетворенным). 2.2. Выбор критерия принятия решения При известных вероятностях P j для спроса S j можно найти ма- тематическое ожидание функции полезности и определить вектор X * , дающий его максимум: W = j n 1 j j i m .. 1 i P W max ∑ = = Если для приведенного примера предыдущий опыт позволит задать вектор P = (0.01, 0.09, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1), то математические ожидания прибыли при разных выборах: W 1 =-121 × 0.01 + 62 × 0.09 + 245 × 0.2 + 245 × 0.3 + 245 × 0.3 + 245 × 0.1 = 224.87, W 2 = 305.22, W 3 = 330.675, W 4 = 301.12 и выбор максимального из этих значений обнаруживает оптимальность ва- рианта 40 станков с ожидаемой прибылью 330.675 тыс.руб. 2.2.1. Критерий Лапласа В основе этого критерия лежит "принцип недостаточного основа- ния": если нет достаточных оснований считать, что вероятности того или иного спроса имеют неравномерное распределение, то они принимаются одинаковыми и задача сводится к поиску варианта, дающего W = ∑ = = n 1 j j i n 1 m .. 1 i W max . Для нашего примера W 1 = (-121 + 62 + 245 + 245 + 245 + 245) / 6 = 153.5 , W 2 = 197.25 , W 3 =210.5 , W 4 = 193.5 и выбор максимального значения обнаруживает оптимальность выбора 7 варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 210.5 тыс.руб. 2.2.2. Критерий Вальда Критерий Вальда обеспечивает выбор осторожной, пессимистиче- ской стратегии в той или иной деятельности и его суждения близки к тем суждениям, которые используют в теории игр для поиска седловой точ- ки в пространстве чистых стратегий: для каждого решения X i выбира- ется самая худшая ситуация (наименьшее из W i j ) и среди них отыскивает- ся гарантированный максимальный эффект : W = j i n .. 1 j m .. 1 i W min max = = В нашем примере W = max(-121, -168.75, -216.5, -264.25) = -121, т.е. по этому критерию следует закупить 20 станков и максимальный возмож- ный убыток не превысит 121 тыс.руб. 2.2.3. Критерий Гурвица Ориентация на самый худший исход является своеобразной перестраховкой. Однако опрометчиво выбирать политику, которая излишне оптимистична. Критерий Гурвица предлагает некоторый компро- мисс: W = ] W min ) - 1 ( + W max [ x ma j i n .. 1 j j i n .. 1 j m .. 1 i = = = α α , где параметр α принимает значение от 0 до 1 и выступает как коэффициент оптимизма. Так в нашем примере при различных α : α =0.1 α =0.2 α =0.5 α =0.8 α =0.9 X 1 = 20 -84.4 -47.0 62 171 206.4 W= X 2 = 30 -113.85 -58.95 105.75 270.45 325.35 X 3 = 40 -140.3 -70.1 149.5 369.1 442.3 X 4 = 50 -172.75 -81.25 193.25 467.75 559.25 При α =0.5 (равновероятных шансах на успех и неудачу) следует закупить 50 станков и ожидать прибыль порядка 193.25 тыс. руб. При вероятности успеха 0.2 не следует закупать более 20 станков с надеждой, что убытки не превысят 47 тыс.руб. 2.2.4. Критерий Сэвиджа Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений D ij = W ij - i max (W ij ) , элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выго- ду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. 8 Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому крите- рию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления. Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из пер- вого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т. д. S 1 =0 S 2 =10 S 3 =20 S 4 =30 S 5 =40 S 6 =50 X 1 = 20 0 0 0 -135.25 -270.5 -405.75 X 2 = 30 -47.75 -47.75 -47.75 0 -135.25 -270.5 X 3 = 40 -95.5 -95.5 -95.5 -47.75 0 -135.25 X 4 = 50 -143.25 -143.25 -143.25 -95.5 -47.75 0 Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max[-405.75, -270.5, -135.25, -143.25]=-135.25 и, покупая 40 станков, мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 тыс.руб. Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам: 1) по критерию Лапласа приобретать 40 станков, 2) по критерию Вальда - 20 станков, 3) по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма, 4) по критерию Сэвиджа - 40 станков. Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим экономические решения, при условии, что они располагают достаточны- ми средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям. 2.3. Контрольные задания 2.3.1. Требования Выберите вариант контрольного задания. Определите вектор состоя- ний внешней среды и вектор решений. Постройте функцию полезности и выполните решение задачи, используя предложенные выше критерии. Оцените полученное оптимальное решение с позиций здравого смысла. 2.3.2. Варианты заданий 1. Фирма может за небольшую плату (100 руб.) составить любому студенту программу для каких-то типовых расчетов на ПЭВМ. Каждый сотрудник фирмы может качественно выполнить до 10 заказов. Cтои- мость аренды машинного времени составляет 800 руб. в месяц (этого вре- мени достаточно для выполнения 10 работ). Количество студентов, поль- зующихся услугами фирмы, не превышает 100 человек в месяц. Опреде- лить число сотрудников фирмы, дающее максимум общего дохода (для регистрации фирмы необходима численность не менее двух человек). 2. Землевладелец на знойном юге решает вопрос о числе рабочих, 9 привлекаемых к уборке томатов. Урожайность колеблется в зависимости от погоды от 500 до 600 центнеров, закупочная цена стабильна и равна 5 руб/кг. Рабочий за сезон собирает 20 центнеров, получая 1.2 руб/кг за уборку и 280 руб. для оплаты стоимости проезда к месту работ. Затраты на обеспечение рабочих жильем (речь не идет даже о трехзвездочной гос- тинице) составляют 300 руб. и не зависят от численности. 3. В сельхозрайоне с посевной площадью 1430 га решено построить элеватор по одному из типовых проектов на 20, 30, 40, 50 или 60 тыс. центнеров зерна. Привязка проекта обойдется в 37 тыс.руб. Cтоимость материалов и оборудования для элеватора мощности 20 тыс. равна 60 тыс.руб. и растет на 10% с ростом мощности на 10 тыс. Затраты на экс- плуатацию элеватора на 20 тыс. равны 10 тыс. руб. и растут на 10 тыс. c ростом мощности на 10 тыс. За хранение зерна на счет элеватора вносится плата 10 руб. за центнер. Урожайность колеблется от 14 до 20 ц/га. 4. Председатель сельхозкооператива решает закупить бочки для за- солки огурцов. Виды на урожай колеблются от 700 до 1000 кг, в бочку вмещается 50 кг, цена бочки - 300 руб., затраты на засолку - 20 руб. за бочку, аренда места на рынке - 50 руб, реализационная цена - 7.20 руб/кг. 5*. Универмаг, работающий по 10 часов в сутки, ежедневно посе- щают от 7 до 10 тыс. чел. Cтоимость покупок одного посетителя в сред- нем - 50 руб. Время обслуживания - 1 мин. на покупателя. Затраты на оборудование одного рабочего места - 2400 руб., зарплата продавца - 1400 руб. в месяц. Найти число рабочих мест при планировании работы на год (300 рабочих дней), если покупатель не намерен стоять в очереди из более 7 чел. 6. Фирма, действующая в живописном Горном Алтае, планирует де- сятидневные маршруты для туристов в летнем сезоне (60 дней). Известно, что число туристов в течение десятидневки колеблется от 1 до 1.5 тыс. чел. Группы комплектуются из 25 чел. Стоимость путевки – 2 тыс.руб. Зара- ботная плата инструктора составляет 6 тыс.руб. в месяц. На экипировку группы затрачивается 1.5 тыс.руб., на питание группы – 12 тыс.руб. К тому же приходится оплачивать ремонт помещений и снаряжения при под- готовке к сезону 30 тыс.руб. Сколько же инструкторов разумно пригла- сить на работу ? 7. В транспортном цехе ежедневно выходит из строя до 8 агрегатов, каждый из которых мог бы дать продукции на 350 руб. Слесарь- ремонтник, получающий 2500 руб. в месяц, не может в день обслужить более двух станков. Сколько же слесарей должен привлечь на работу на- чальник транспортного цеха ? 8. В городе N решено открыть яхт-клуб (под громким названием скрывается скромная лодочная станция). Предполагаемое число членов клуба колеблется от 100 до 250 чел. Годовой абонемент стоит 1000 руб. Аренда причала, помещений для хранения яхт и стимулирование ускорен- ного получения лицензии обойдутся в 20 тыс.руб. Владельцу абонемента, 10 не получившему яхты, выплачивается неустойка в двойном размере. Сколько же прогулочных яхт следует заказать, если каждая из них стоит 15 тыс.руб. и обычно ежедневно приходит каждый десятый любитель пребывания на воде (прочими затратами пренебречь) ? 9. Организуются пригородные автобусные рейсы. Число пассажиров колеблется от 300 до 450 чел., из которых 10% имеют право бесплатного проезда. Цена билета 6 руб. Вместимость автобуса – 30 чел. Эксплуатаци- онные затраты на один рейс – 50 руб. Оплата шофера за одну поездку - 60 руб. Сколько же организовать рейсов ? 10. В райцентре решается вопрос о строительстве сыроваренного за- вода. Известно, что дневной объем поставок молока колеблется от 4800 до 5600 л в день. Один сепаратор ежедневно перерабатывает 600 л молока в 50 кг сыра. Стоимость аппарата 40000 руб, ежемесячные эксплуатацион- ные расходы –1500 руб, аренда помещения – 12000 руб. в год. Молоко за- купается по 3 руб/л, сыр продается по 45 руб/кг. Неиспользованное молоко приходится вывозить на свинокомплекс молоковозами (вместимость 5 т) с затратами 100 руб за рейс. Сколько же сепараторов закупать ? 11. Прядильная фабрика ежемесячно получает от 35 до 50 т хлопка повышенной влажности. Один сушильный агрегат может высушить 5 т. Затраты на техническое обслуживание агрегата 1000 руб. (независимо от его использования или простоя). Потери от 1 т невысушенного хлопка - 7000 руб. Сколько агрегатов разумно иметь на фабрике ? 12. В 50-е годы в одном из небольших городов области планирова- лось строительство кинотеатра. Имелись проекты на 400, 500, 600 и 750 мест. Затраты на содержание кинотеатра составляли 40 руб. в день и до- полнительно 10 руб. за каждые сто мест (свыше 600). В день можно было дать 6 сеансов, стоимость билета составляла в среднем 40 коп. Количество посетителей колебалось от 2000 до 3000 чел. Какой из проектов следовало выбрать ? 13. Требуется выяснить потребности транспортного агентства в ав- тобусах для экскурсионного обслуживания. Обычно число заявок на авто- бусы колеблется в пределах от 10 до 50. Затраты на эксплуатацию каждого автобуса составляют 10 денежных единиц плюс 100 на содержание авто- парка в целом в день. Экскурсионное бюро выплачивает транспортному агентству 20 денежных единиц за каждую заявку. 14. Бюро трудоустройства населения планирует открытие курсов компьютерной грамотности. Ожидаемая численность слушателей в преде- лах от 100 до 200 чел. За каждого их них бюро получает от работодателя 1000 руб. Преподаватель работает с группой, не превышающей 10 чел. Расходы на хозяйственные нужды составляют 5000 и на оплату препода- вателя 4500 руб. Сколько преподавателей разумно привлечь? 15. В условиях задачи 14 по некоторым мотивам было решено уве- личить оплату преподавателя до 6500 руб. Сколько преподавателей при- глашать в этом случае ? 11 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Тынкевич М.А. Экономико-математические методы (исследование операций). – Кемерово : КузГТУ, 2000. - 176 с. 2. Е.М.Кудрявцев. Исследование операций в задачах, алгоритмах и программах. М.: Радио и связь, 1984. 3. Р.Льюс, Г.Райфа. Игры и решения. - М. : ИИЛ, 1960. 4. Д.Блекуэлл, М.Гиршик. Теория игр и статистических решений. - М.: ИИЛ, 1967. 5. Дж.Нейман , O.Моргенштерн . Теория игр и экономическое поведение. - М.: ИИЛ, 1970. 6. Л.С.Костевич, А.А.Лапко. Теория игр. Исследование операций. - Минск : Вышэйшая школа, 1982. 7. Н.Н.Ченцов. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. - М. , 1972. 8. A.Кофман, Р.Фор. Займемся исследованием операций. М.: Мир, 1966. 9. В.А.Абчук, В.А.Бункин. Интенсификация: принятие решений. Л.: Лениздат, 1987. Оглавление Работа № 1.Матричные игры …………………………. ……. cтр.1 Работа № 2.Статистические решения ….. ………….………. cтр.5 12 Составители Моисей Аронович Тынкевич Олег Анатольевич Бияков ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ) Методические указания и задания к циклу практических занятий по курсам “Исследование операций в экономике” и “Экономико-математические методы” для студентов экономических специальностей Редактор З.М. Савина ЛР № 020313 от 23.12.96 Подписано в печать .02.2001. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Уч.-изд.л. 0,6. Тираж 150 экз. Заказ . Отпечатано на ризографе. Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28. Типография Кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д.Бедного, 4А. |