идеальная жидкость и эйлера. Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера. Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера
 Скачать 0.56 Mb.
|
|
Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера. Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера. Идеальная жидкость - жидкость без вязкости. На самом деле любая жидкость вязкая. Модель идеальной жидкости применяется, если силы вязкости, действующие на ЖЧ, малы по сравнению с другими силами. Подставим в уравнения Навье-Стокса движения вязкой сжимаемой жидкости (газа) -  . Получим: (1)данные уравнения называются уравнениями Эйлера и описывают движение идеальной сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнение неразрывности имеет при этом выглядит:  (2)В векторной форме уравнения Эйлера:  или  (3)а в форме Громеки-Ламба:  (4)где  - вектор-вихрь.Для жидкости в баротропном состоянии -  . В разделе «Гидростатика» мы ввели для баротропной жидкости функцию давления R:  или  . Подставим  и  в последнее уравнение Эйлера: (5)Для несжимаемой жидкости  : (6)Как раньше обозначив  , получим: (7)Уравнения Эйлера вместе с уравнение неразрывности (4 уравнения) содержат 5 неизвестных:  В случае несжимаемой жидкости известно и система замкнута. Для сжимаемого газа система дополняется уравнением состояния:  .Граничные условия для идеальной и вязкой жидкости различаются. В отсутствии вязкости жидкость не прилипает к стенке, а скользит вдоль нее с собственной скоростью. Условие непроницаемости стенки имеет вид:  (8)где  - проекция скорости жидкости на стенке по нормали к стенке;  - проекция скорости стенки на нормаль к стенке. ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ , несжимаемой и сжимаемой жидкости. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Л. Эйлера Рассмотрим элементарный параллелепипед (кубик) жидкости с ребрами  , параллельными осям координат. Эта жидкая частица движется относительно неподвижной системы координат. ТочкаА– полюс (в центре тяжести).
Масса частицы :  .Ускорение в проекции на ось :  Поверхностные силы – это силы нормального давления окружающей частицу жидкости. Они равны произведению давления на площадь грани. Рассмотрим грани, перпендикулярные оси , их площадь . Пусть в полюсе давление равно . Давление на левую грань  , на правую грань .Сила на левую грань  , на правую грань .: . Массовые силы в проекции на ось :  .Сумма сил равна произведению массы на ускорение ( в проекции на ось ):  Разделим на массу и аналогично запишем проекции на другие оси
Можно развернуть выражение для ускорения, учитывая что скорость есть не только функция времени, но и координат. При описании метода Эйлера на прошлой лекции было получено выражение (например – в проекции на ось :  Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости в развернутом виде запишутся:  В задачах динамики неизвестными являются функции – давления  – проекции скорости  , , – и плотность  всего пять неизвестных. Для определения неизвестных используется система уравнений Эйлера. Поскольку число неизвестных превышает число уравнений, к системе добавляют уравнение неразрывности и уравнение состояния среды (зависимость плотности от давления). Для несжимаемой жидкости уравнение состояния  и уравнение неразрывности Общего решения полученной системы уравнений нет, только частные решения для специальных задач. |
