Модель системы «хищник-жертва». Модель системы хищникжертва

• Название: Модель системы хищникжертва
• Анкор: Модель системы «хищник-жертва
• Дата: 11.01.2022
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: dmm10.docx
• Тип: Лабораторная работа; #328703

МИНОБРНАУКИ РФ

ФГБОУ ВО «Тульский государственный университет»

Кафедра «Прикладная математика и информатика»

Лабораторная работа № 10

на тему: «Модель системы «хищник-жертва»»

по дисциплине «Дискретные и вероятностные математические модели».

Выполнил:	__________		студент группы 241211/12 Тапладзе С. П.
Принял:	__________			профессор Баранов В. П.

г. Тула, 2021 год.
Задание:

1. 
   Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» при заданных значениях параметров r, a, q, N₀ , C₀. Проанализиро­вать зависимость результатов моделирования от значения параметра f в диапазоне 0,1  f 2.
   
2. 
   Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» при заданных значениях параметров r, a, f, N₀ , C₀ . Проанализиро­вать зависимость результатов моделирования от значения параметра qв диапазоне 4q 9.
   

1. 
   Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» при заданных значениях параметровa, f, q, N₀ , C₀ . Проанализиро­вать зависимость результатов моделирования от значения параметра rв диапазоне 0,3r 6.
   

3. 
   Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник жертва» при заданных значениях параметров r, f, q, N₀ , C₀. Проанализиро­вать зависимость результатов моделирования от значения параметра ав диапазоне 0,1a 0,3.
   
4. 
   Модель предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра а. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.
   
5. 
   Модель предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра q. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.
   

7. 
   Модель предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от ам­плитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра f. Значения ос­тальных параметров фиксировать по усмотрению.
   
8. 
   Модель предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от ам­плитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра r. Значения ос­тальных параметров фиксировать по усмотрению.
   
9. 
   Модель предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от ам­плитуд колебаний численности жертв в зависимости от соотношения значений начальных численностей популяций N₀и С₀. Значения остальных параметров фиксировать по усмот­рению.
   

Для варианта 10: а =0,3, f =0,4, r =6, q =4,N₀=140, С₀=8.

Ход работы:

В этой системе ситуация значительно отличается от предыдущей. В частности, если в случае конкурирующих популяций исчезновение одной означает выигрыш для другой (до­полнительные ресурсы), то исчезновение «жертвы» влечет за собой и исчезновение «хищни­ка», для которого в простейшей модели «жертва» является единственным кормом.

Введем обозначения: С - численность популяции хищника, N - численность популя­ции жертвы. Одна из известных моделей выражается следующими уравнениями:

(1)

В первое уравнение заложен следующий смысл: в отсутствии хищников (т. е. при С = 0) численность жертв растет экспоненциально со скоростью r, так как модель не учитывает внутривидовой конкуренции; скорость роста жертв (т. е. ) уменьшается тем больше, чем чаще происходят встречи представителей видов; а-коэффициент эффективно­сти поиска.

Второе уравнение говорит о следующем: в отсутствие жертв численность хищников экспоненциально убывает со скоростью q; положительное слагаемое в правой части уравне­ния компенсирует эту убыль; f- коэффициент эффективности перехода пищи в потомство хищников.

Методом Рунге-Кутта построим зависимость численности популяций от времени:



Рассмотрим тенденцию изменения в численностях популяций с изменением параметров. При увеличении параметра f график меняется следующим образом:







При увеличении параметра q график меняется следующим образом:







При увеличении параметра r график меняется следующим образом:







При увеличении параметра a график меняется следующим образом:





Проверим, как изменится график при изменении параметровN₀и С₀:






Код программы на языке С#:

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Threading.Tasks;

using System.Windows.Forms;

namespace dmm10

{

public partial class Form1 : Form

{

public static double F1(double r, double a, double N, double C)

{

return r*N - a*C*N;

}

public static double F2(double f, double a, double q, double N, double C)

{

return f*a*C*N - q*C;

}

public static double RK1(double h, double r, double a, double y1, double y2)

{

double k1, k2, k3, k4;

k1 = F1(r, a, y1, y2);

k2 = F1(r, a, y1 + h * k1 / 2.0, y2);

k3 = F1(r, a, y1 + h * k2 / 2.0, y2);

k4 = F1(r, a, y1 + h * k3, y2);

return y1 + h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6.0;

}

public static double RK2(double h, double f, double a, double q, double y1, double y2)

{

double k1, k2, k3, k4;

k1 = F2(f, a, q, y1, y2);

k2 = F2(f, a, q, y1, y2 + h * k1 / 2.0);

k3 = F2(f, a, q, y1, y2 + h * k2 / 2.0);

k4 = F2(f, a, q, y1, y2 + h * k3);

return y2 + h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6.0;

}

public Form1()

{

InitializeComponent();

chart1.Series[0].ChartType = System.Windows.Forms.DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Line;

chart1.Series[1].ChartType = System.Windows.Forms.DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Line;

double a = 0.3, f = 0.4, r = 6.0, q = 4.0, N0 = 140, C0 = 8, h = 0.1;

double y1 = N0, y2 = C0;

chart1.Series[0].Points.AddXY(0, y1);

chart1.Series[1].Points.AddXY(0, y2);

for (double t = 0.1; t < 10; t +=0.1)

{

y1 = RK1(h,r,a,y1,y2);

y2 = RK2(h, f, a, q, y1, y2);

chart1.Series[0].Points.AddXY(t, y1);

chart1.Series[1].Points.AddXY(t, y2);

}

label1.Text = String.Format("Параметры: a = {0}, f = {1}, r = {2}, q = {3}, N0 = {4}, C0 = {5}",a,f,r,q,N0,C0);

}

}

}

Вывод:

В работе было реализовано моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» при заданных значениях параметров r, a, f ,q, N₀ , C₀. Были наглядно показаны зависимости запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв, а также общие результаты моделирования в зависимости от значений параметров r, a, f ,q.