|
|
моделирование. Моделирование и подобие процессов пищевой технологии
Моделирование и подобие процессов пищевой технологии
Процессы пищевой технологии характеризуются большим количеством и многообразием параметров, определяющих протекание процессов, значительным количеством внутренних связей между пара метрами. Чтобы ограничить такой большой поток информации о процессе, создают его модель.
Процесс моделирования включает сравнение модели с явлением (модель считается удовлетворительной, если расхождение невелико).
Применяют два вида моделирования: физическое и математическое. При физическом моделировании изучение процесса происходит на физической модели. Математическое моделирование предусматривает математическое описание модели изучаемого процесса. При этом физический процесс заменяют моделирующим его алгоритмом. Затем устанавливают адекватность модели изучаемому процессу.
Существует аналогия между процессами, различными по своей сущности, — электрическими, гидродинамическими, тепловыми и массообменными. Эти процессы описываются однотипными дифференциальными уравнениями: перенос электричества
і = -(1/p^dU/dxy, перенос количества энергии
т = — p.(dv/dxy, перенос вещества
т = -L>(dc/dx)) перенос теплоты
q — —A(dt/dx),
где dU/dx, dv/dx, dc/dx, dt/dx —градиенты соответственно напряжения, скорости, концентрации и температуры.
Теория подобия. Она дает ответ на вопрос, как следует поставить эксперимент и обработать полученные результаты и на какие процессы их можно распространить, установить условия эксперимента, при которых число опытов будет минимальным; определить наименьшее количество измеряемых величин и правильно обработать результаты экспериментов, выявить области применимости полученных результатов.
Процессы пищевой технологии сложны. В некоторых случаях для их математического описания удается составить дифференциальные уравнения, которые, однако, как правило, неразрешимы. Объясняется это тем, что дифференциальное уравнение описывает целый класс процессов, в пределах которого действуют применяемые законы, и не учитывает частных особенностей отдельных процессов.
Чтобы описать частный процесс, дифференциальное уравнение следует дополнить данными, характеризующими этот частный процесс. Такие данные называются условиями однозначности и позволяют из всего класса процессов, описываемых данным дифференциальным уравнением, выделить конкретный единичный процесс.
Если процессы описываются одним и тем же дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений при подобных условиях однозначности, такие процессы подобны.
К условиям однозначности относятся геометрические условия, характеризующие размеры и форму аппарата, в котором протекает процесс; физические свойства среды; граничные условия, характеризующие взаимодействия среды с телами, ограничивающими объем, в котором протекает процесс; начальные условия системы, т. с. се состояние в момент, когда начинается изучение процесса.
Условия однозначности являются индивидуальными признаками различных процессов, входящих в один и тот же класс. По этим признакам и можно выделить из класса процессов один частный процесс.
Теория подобия позволяет распространить результаты одного опыта на группу подобных процессов в пределах данного класса путем особого способа задания условий однозначности. Это обстоятельство позволяет переносить экспериментальные данные, полученные на модели, на промышленный объект, т. е. моделировать процесс. Для выделения из класса процессов группы подобных условия однозначности задаются в виде ряда подобных значений параметров или в виде произведения соответствующих параметров на постоянные множители — масштабные коэффициенты. Таким образом, условия однозначности различаются на масштабный коэффициент, а процессы, входящие в эту группу, можно рассматривать как один процесс, но протекающий с изменяющимися параметрами, которые различаются только масштабом.
Подобие условий однозначности включает геометрическое подобие аппаратов, подобие физических величин, временное подобие гранич-ных и начальных условий.
Геометрическое подобие аппаратов заключается в том, что соотношение всех сходственных размеров сравниваемых аппаратов является величиной постоянной. Например, если два аппарата (рис. 2.1) геометрически подобны, то
Н' ft' D' d'
__ — __ — __ — __ _ I/ .
Н" й" О" d'
Н = KLH ; h‘ = Kjh ит.д.
где Ki — масштабный множитель геометрического преобразования, являющийся постоянной величиной для сравниваемых аппаратов.
Временное подобие заключается в том, что отношение между интервалами времени завершения аналогичных стадий процесса сохраняется постоянным.
Например, продолжительность наїрева смеси до температуры кипения в первом аппарате составляет , атйо втором — Продолу.
жительность испарения определенного количества воды составляет соответственно и туогда временное подобие процессов будет характеризоваться соотношением
П/Тї = TiZT2-
откуда
т-=ктт;’ ;т2 =кгт" ,
где Кт — масштабный множитель временного подобия.
Временное подобие процессов называется гомохронностью. В случае, когда Кт = 1, наблюдается синхронность процессов, являющаяся
частным случаем гомохронности.
Рис.2.1. Геометрически подобные аппараты
Подобие физических величин возникает при соблюдении геометрического и временного подобия.
Подобие граничных условий заключается в том, что отношение всех значений величин, характеризующих эти условия, для сходственных точек в сходственные моменты времени сохраняется постоянным.
Подобие начальных условий означает, что в начальный момент, когда начинается изучение процесса, соблюдается подобие полей физических величин, характеризующих процесс.
Для двух подобных процессов можно записать следующие функциональные зависимости между переменными, характеризующими эти процессы:
для первого процесса —(Н ,h',p ,р,...) = О,
для второго процесса —f2(H ",h",р",р",...) = О
или f3(KiH ",Kih'Kpp",Кри",...) = 0.
Два первых уравнения описывают подобные процессы, а это значит, что уравнения не различаются. Третье уравнение описывает те же процессы и отличается от первых двух масштабными множителями. Для соблюдения подобия необходимо, чтобы при умножении переменных на масштабные множители не изменялось уравнение.
Определим условия подобия на примере дифференциального уравнения второго закона механики F = m(dv / dr), гдс&- сила; т — масса; v — скорость; т— время.
Приведем уравнение к безразмерному виду. Для этого разделим обе части уравнения на правую часть: Fdr / (zndv) = 1.Тогда для первого из двух рассматриваемых подобных процессов FdT'/(m dv ) = 1, для второго—FdT"/(m dv ) = 1.
Так как процессы подобны, заменим переменные первого процесса через соответствующие переменные второго процесса, умножим их на масштабные коэффициенты:
KfF"KTdT"
Kmm"Kvdy"
Сгруппируем масштабные коэффициенты:
KfKT F dr " _
КтКу m"dv"
Полученное уравнение и уравнение второго процесса не должны различаться. Однако они различаются комплексом из произведения масштабных коэффициентов. Эти уравнения, очевидно, будут тождественны только тогда, когда этот комплекс будет равен единице: KjKT / KjnKy = 1. Это соотношение выражает условие подобия процессов: умножение переменных на постоянные масштабные коэффициенты не меняет самого дифференциального уравнения.
Заменим масштабные коэффициенты соответствующими значениями. Тогда
iF'/FW/т") =
или
Ft Е’т" Е"т'"
—— = — = ??? — idem,
mv т v т v
Выражение idem означает «одно и то же», т. е. в каждом подобном процессе комплексы переменных величин могут изменяться в пространстве и во времени, но в любых сходственных точках рабочего объема в сходственные моменты времени эти комплексы принимают одно и то же значение. Безразмерные комплексы, составленные по такому типу, называются критериями подобия.
Полученный выше критерий характеризует механическое подобие и называется критерием Ньютона: Ne = Fr(mv).
Получение критериев подобия из дифференциального уравнения сводится к следующим операциям: 1) составляют дифференциальное уравнение процесса; 2) дифференциальное уравнение приводят к безразмерному виду делением обеих частей уравнения на правую или левую часть или делением всех слагаемых на один из членов с учетом его физического смысла; 3) вычеркивают символы дифференцирования. Символы степеней дифференциалов сохраняют.
Кроме критериев подобия, получаемых из дифференциальных уравнений, используют также параметрические критерии, представляющие собой соотношение двух одноименных величин и вытекающие непосредственно из условий задачи исследования.
Все критерии подобия можно разделить на определяющие и определяемые. Определяющие критерии состоят только из физических величин, входящих в условия однозначности. Критерии подобия, в состав которых входит хотя бы одна величина, не входящая в условия однозначности, называются определяемыми.
Для обеспечения подобия необходимо равенство определяющих критериев, которое является достаточным условием подобия.
Неопределяющие критерии являются однозначной функцией определяющих критериев.
Первую теорему подобия можно сформулировать так: при подобии процессов равны все критерии подобия.
Вторая теорема подобия (теорема Федермана—Бакингема) утверждает, что результаты опытов следует представлять в виде зависимостей между критериями. Функциональная зависимость между критериями подобия называется критериальным уравнением. Критериальные уравнения описывают всю группу подобных процессов. Это обстоятельство имеет большое практическое значение и позволяет моделировать промышленный объект на подобной лабораторной модели.
Вид критериального уравнения определяется экспериментальным путем. Во многих случаях эта зависимость представляется в виде степенных функций.
Третья теорема подобия (теорема М. В. Кирпичева, А. А. Гух-мана) гласит, что критериальные уравнения применимы только для подобных процессов.
Явления подобны, если их определяющие критерии численно равны, а следовательно, равны и определяемые критерии.
В заключение можно констатировать, что исследование процессов методом теории подобия состоит из получения математического описания процесса с помощью дифференциальных уравнений и условий однозначности, преобразования этих дифференциальных уравнений (или дифференциального уравнения), как показано выше, в критериальное уравнение и нахождения конкретного вида этого уравнения на основании экспериментального изучения процесса. |
|
|
Скачать 51.62 Kb.