Реф. непрерывные дроби. Непрерывные дроби Студент 3 курса 120 группы Капылов Кирилл Алексеевич
 Скачать 287.6 Kb.
|
непрерывные дробивыполнил: Студент 3 курса 120 группы Капылов Кирилл АлексеевичМинистерство образования и науки Алтайского края Поспелихинский филиал КГБПОУ «Егорьевский лицей профессионального образования» п.им.Мамонтова 2023 года Непрерывные дробиПоследовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. Приближение вещественных чисел рациональнымиЦепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число � разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству Подходящая дробь �� является наилучшим приближением исходного числа среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит ��. Мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2. Подходящие дробиn-й («энной») подходящей дробью для цепной дроби � называется конечная цепная дробь , значение которой есть некоторое рациональное число � . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x�. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен �. Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей. Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей: Таким образом, величины �� �� являются полиномами от � называемыми континуантами: Последовательности как числителей так и знаменателей подходящих дробей являются строго возрастающими.Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношениемПодходящие дроби, как видно из этого соотношения, всегда несократимы. Перепишем соотношение в виде Отсюда следует, что Теорема ДирихлеФормулировка Пусть f(x) — периодическая функция с периодом 2 π, пусть на интервале от -π до π функция f(x) имеет конечное количество точек строгого экстремума и может иметь конечное количество точек разрыва, причем только первого рода, тогда такая функция разлагается в ряд Фурье: где a0, an, bn — коэффициенты Фурье: f(x-0) и f(x+0) — левосторонний и правосторонни Замечание Если x — точка непрерывности функции f(x), то �(�−0)=�(�+0)⇒�(�−0)+�(�+0)2=�(�).То есть в точках непрерывности ряд Фурье сходится к значению этих точек, а в точках разрыва к среднему арифметическому между левосторонним и правосторонним пределами. Спасибо за внимание !!!!! |