Документ Microsoft Word (2). НьютонЛйбниц формуласы. Аныталан интегралда айнымалыны ауыстыру жне бліктеп интегралдау

• Название: НьютонЛйбниц формуласы. Аныталан интегралда айнымалыны ауыстыру жне бліктеп интегралдау
• Дата: 23.11.2022
• Размер: 57.97 Kb.
• Имя файла: Документ Microsoft Word (2).docx
• Тип: Документы; #808765

Ньютон-Лйбниц формуласы.Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру және бөліктеп интегралдау

Интегралдау дегеніміз функцияның алғашқы функциясын табу. [a;b] кесіндісінде функция теріс емес. F функциясы үшін S_n шамасы (n→∞) бір санға ұмтылады. Бұл санды F функциясының а – дан в – ға дейінгі интегралы деп атайды. Интегралдау негізгі анализ теоремасына сәйкес кері дифференциалдау операциясы . Интегралдауды басқаша тілмен берілген туындысы бойынша функцияның өзін табу деп те атауға болады . Интеграл негізінен қисық сызықты трапецияның ауданын есептеуде ,дененің қозғалыс заңдылығын анықтауда қолданылады. Функцияның интегралын табудың бірнеше әдістері болады. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір - біріне тәуелсіз түрде Иссак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады . Готфрид Вильгельм Исаак Ньютон фон Лейбниц « Интегралдық есептеу » термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді . Интегралдық есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Якоб Бернулидің , Әсіресе , Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты . Якоб Бернулли Леонард Анықталған интегралдың қазіргі бізге белгілі түрін Фурье ойлап тапқан.

 

а,в – интегралдау шектері

а – төменгі шегі

в – жоғарғы шегі



F функциясы интегралдау астындағы функция

Х айнымалысы интегралдау айнымалысы деп аталады.

Егер [a;b] кесіндісінде f функциясының алғашқы функциясы F болса 

Бұл Ньютон – Лейбниц формуласы деп аталады. F(b) – F(a) айырымын F(x)/^b_a – түрінде қолданылған қолайлы.

 таңбасы 1675 жылы Лейбниц енгізген. Лейбниц Готорид немістің ұлы ғалымы, философ, математик, физик. Интеграл деген сөздің өзін Бернулли 1690 жылы ойлап шығарған. Бұл сөздің мағынасы «бұрынғы қалпына түсіру, орнына келтіру» дегенді білдіреді. Берілген интегралдардың астындағы функцияға қарапайым түрлендірулер және анықталмаған интегралдардың қасиетіне сүйеніп таблицалық интегралға келтіру арқылы интегралдау әдісін тікелей интегралдау деп атайды.  Берілген интегралды таблицалық интегралға келтіруі үшін дифференциалды келесі түрде түрлендіру жиі қолданылады («интеграл астына енгізу» операциясы):

	du=d(u+a), a-const
	du= , a
	cosudu=d(sinu)
	sinudu=-d(cosu)

Жалпы алғанда,   формуладан интегралдарды есептегенде жиі қолданылады.
Айнымалыны ауыстыру әдісін қолданып интегралдау:

 

Айнымалы ауыстыру әдісі интегралдау айнымалысының орнына жаңа айнымалыны енгізу арқылы кестелік интегралдарға келтіруге болады. Айнымалыны ауыстырудың жалпы әдісі жоқ.   интегралын есептеу керек болсын.   ауыстыруын қолданайық, мұндағы   -үзіліссіз туындылары бар функция болсын.

Сонда   және анықталмаған интегралды интегралдау формулаларының инварианттылығы қасиетінің негізінде айнымалы ауыстыру формуласын аламыз

(31.7) формуласы анықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру формуласы деп атайды. Бұл теңдіктің оң жағындағы интегралын есептегеннен кейін, жаңа t айнымалысынан x айнымалысына көшу керек.

 

 

Бөліктеп интегралдау әдісі:

 

 және  -үзіліссіз туындылары бар функциялар болсын. Онда d(uv)=udv+vdu. Осы теңдікті интегралдап

немесе

Бөліктеп интегралдау формуласын қолдану үшін интеграл астындағы өрнекті   және   көбейткіштің көбейтіндісін жазу керек;   және   тапқаннан кейін бөліктеп интегралдау формуласы қолданылады. Бөліктеп интегралдау формуласын бірнеше рет қолдануға болады. Бөліктеп интегралдау арқылы табылатын интегралдардың кейбір түрлерін қарастырайық:

1.

(мұндағы  -көпмүше,  сан.Бұл интегралдарда   aрқылы белгілеп, ал басқа көбейткіштер   арқылы белгіленеді.

2.

қалған көбейткіштерді   арқылы белгіленеді.

3.

мұндағы   және   сандар.   деп   функциясын аламыз.
. Үзіліссіз функциясының жоғарғы шегі айнымалы шегі бойынша алынған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияның дифференциалдану нүктесіне тең.

Басқаша айтқанда жоғарғы шегі айнымалы интеграл, интеграл астындағы функциясының алғашқы функциясы болады.

Анықталған және анықталмаған интегралдар арасындағы байланысы келесі формуламен өрнектеледі:





Дәлелдеуі: Интегралдың геометриялық мағынасын пайдаланып, функцияның дифференциалдану процесін график түрінде бейнелейміз.

функциясының мәндеріне сәйкес келетін нүктесін бекітейік.

Аргумент өсімшесі , ал функция өсімшесі болсын. өсімшесі 1.3 суретте боялған жолақ аудан болсын, оны жуықтап табаны , биіктігі болатын төртбұрыш деп алайық, мұнда функциясы аралығында өзгермейді. Жолақтың ауданын келесі теңдікпен анықталады:

Жуықтап алғанда неғұрлым жоғары қарай орналасса, соғұрлым – тен кіші болады. Шекке көшіп, нақты теңдікке келеміз.

Анықталған интегралды интегралдау әдістері :

Айнымалыны ауыстыру . Егер Ф ( t ) функциясы [ а , В ) кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын және а = Фа ) , b = Ф ( В ) болып , сонымен бірге fx [ a , b ] кесіндісінде үзіліссіз функция болса , Онда келесі теңдік орындалады b f ( x ) dx f ( ( t ) ) ( t ) dt а.

Анықталған интегралдардың қолданылуы: Декарттық координаталар системасында жазық фигуралардың ауданын есептеп табу, полярлық координаталар системасында дененің ауданын табу,қисықтың доғасының ұзындығын табу,дененің көлемдерін табу.