Статья_Алпысбай Б. 2021+-. ож алгебра жне анализ бастамалары курсында оушыларды дифференциалды тедеулерді шешуге йрету

• Название: ож алгебра жне анализ бастамалары курсында оушыларды дифференциалды тедеулерді шешуге йрету
• Дата: 05.05.2022
• Размер: 49.14 Kb.
• Имя файла: Статья_Алпысбай Б. 2021+-.docx
• Тип: Документы; #514232

ӘОЖ

АЛГЕБРА ЖӘНЕ АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫ КУРСЫНДА ОҚУШЫЛАРДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУГЕ ҮЙРЕТУ

Алпысбай Б.А., Сәбитбек А.М.

Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті, Қызылорда қ.

[e-mail], [e-mail]
Жоғары сыныптарда «Алгебра және анализ бастамалары» оқу пәні жаратылыстану-математика және қоғамдық-гуманитарлық бағыттарда міндетті пән болып оқытылады. 10-11-сыныптарда жаратылыстану-математика бағытта «Алгебра және анализ бастамалары» пәнін оқуға 4 сағат бөлінген. Бұл бұрынғыға қарағанда 1 сағатқа артық және сәйкесінше, бұл бағытта оқу мақсаттарының жүйесі кеңейтілген. Математикадан оқу жүктемесінің артуы оқытудың деңгейлік саралануының күшеюімен; математиканың практикалық және қолданбалы бағытының маңыздылығымен; оқушылардың логикалық есептерді шешу қабілеттерін дамытумен, математикалық әдістер мен математикалық аппараттарды қолданып әртүрлі салалардағы процестер мен құбылыстарды сипаттау мен модельдеуге үйретумен негізделеді [1].

Біз жаңартылған білім мазмұнындағы 10-11 сыныптарға арналған «Алгебра және анализ бастамалары» оқу бағдарламасын 2013 жылы бекітіліп, оқу процесіне енгізілген оқу бағдарламасымен салыстырмалы талдаулар жасап, олардың мазмұнына жоғары математика курсының тақырыптары қосылғанын анықтадық. Соның ішінде «Дифференциалдық теңдеулер» тарауында: Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы мағлұмат. Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер» тақырыптары қосылған [1].

Ұзақ мерзімді оқу жоспарында «Дифференциалдық теңдеулер» тарауын оқытудағы мақсаттар: дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдарды білу; дифференциалдық теңдеулердің жалпы және дербес шешімдері анықтамаларын білу; айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулерді шешу; физикалық есептерді шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану; екінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулерді шешу (ay''+by'+cy=0түріндегі, мұндағы a, b, c – тұрақты шамалар); гармоникалық тербелістің теңдеуін құру және шешу болып көрсетілген [1].

Мектеп бағдарламасына дифференциалдық теңдеулерді енгізумен математиканы оқыту әдістемесінде бірқатар жаңадан күрделі мәселелер пайда болды. Атап айтсақ, дифференциалдық теңдеулер деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және техникалық есептерді шығаруға қолданылуы және т.б.

Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.

Дифференциалдық теңдеулер материалдық нүктенің қозғалысын қарастырумен қатар, физиканың басқа да бөлімдерінде (заттың радиоактивті ыдырауы), биологияда (жануарлардың кейбір түрлерінің популяциясы санының табиғи өсуі), химияда (ерітіндідегі заттың концентрациясы) қарастырылады. Сонымен қатар, табиғаттағы көптеген құбылыстар дифференциалдық теңдеулер арқылы сипатталады [2].

Сондай-ақ, дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің іргелі дайындығында, атап айтқанда оқушының ғылыми дүниетанымын, математикалық мәдениетінің белгілі бір дәрежесін қалыптастыруда үлкен рөл атқарады. Дифференциалдық теңдеулер мен олардың әдістерін оқып үйрену біз өмір сүретін әлемді тану үшін тағы бір құралды береді, яғни нақты физикалық кеңістік туралы бейнелік және ғылыми түсінікті қалыптастыруға мүмкіндік береді.

Дифференциалдық теңдеу деп қандай теңдеуді айтады?

Аргументті, осы аргументтің белгісіз функциясын және осы функцияның туындыларын байланыстыратын теңдеулер дифференциалдық теңдеулер деп аталады [3].

Дифференциалдық теңдеуді шешу – бұл теңдеуді қанағаттандыратын барлық функцияларды табу. Мұндай функциялар жиыны жиі дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталатын y = f(x; C) (C – тұрақты) түріне ие.

Дифференциалдық теңдеулерді шешуді үйрету үшін оқушылар нені білуі керек және қандай біліктігі болуы тиіс?

1) оқушылар дифференциалдық теңдеулерді жақсы меңгеруі үшін интегралдау және дифференциалдау ережелері мен әдістерін білуі және орындай білуі тиіс;

2) дифференциалдық теңдеулерді шешу кезінде белгілеуін пайдаланып, туындыны қайта жазу керек, әрі қарай айнымалыларды бөлу керек. Осыдан кейін теңдеудің екі бөлігін де интегралдау керек;

3) дифференциалдық теңдеудің шешімін жазу кезінде кез келген алғашқы функцияға тұрақтыны С қосады. Көп жағдайда оны оң жаққа жазады;

4) С тұрақтыға әртүрлі мәндерді бере отырып, дифференциалдық теңдеудің шексіз көп дербес шешімдерін алуға болады [2].

Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер

Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп



түріндегі теңдеулерді айтамыз. Бұл теңдеуді шешу үшін алдымен айнымалыларды ажыратып алу қажет:



Содан соң осы теңдеуді интегралдау қажет:



1-есеп. айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табыңыз.

Шешуі. Берілген теңдеуді интегралдаймыз:





Жалпы шешімді түрінде көрсету керек.

,

,

Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі [4].

2-есеп. айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табыңыз.

Шешуі. Айнымалыларды ажыратып мынаны аламыз:



Алынған теңдеулердің екі бөлігін де интегралдаймыз

,

Қандай да бір тұрақты С кез келген сандық мәнді қабылдай алатындықтан, кейінгі түрлендірулерге ыңғайлы болу үшін С тұрақтының орнына бір деп жаздық.



Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі.
Біртекті теңдеулер

Дифференциалдық теңдеу



біртекті деп аталады, егер теңдігі орындалса, яғни функциясы нөл дəрежелі біртекті болса. Онда жəне функциялары бірдей дəрежелі біртекті болғанда



теңдеуі де біртекті.

3-есеп. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. Теңдеуді түріне келтірсек, біртекті екендігі айқындалады жəне

, ;

алмастырулары нəтижесінде

,

,

,

теңдіктерін, ал бұдан



шешімін аламыз.

Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Белгісіз функция жəне оның туындысы бойынша сызықтық, яғни



теңдеуі, сызықтық біртекті емес (біртексіз) теңдеу деп аталады. Егер болса, теңдеу:



сызықтық біртекті деп аталады. Қарастырылып отырған аумақта , функциялары үздіксіз.

Біртекті теңдеудің шешімі:

, ,





ірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімі:

,

айнымалыларын еңгізіп келесі теңдіктерді аламыз





деп алатын болсақ, онда келесі теңдіктерді аламыз.

,

,

Соңғы шыққан теңдікті пайдаланып келесідей теңдіктерді аламыз [5]:

,





4-есеп. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. , айнымалыларын еңгізіп келесі теңдіктерді аламыз:

,



, ,

Соңғы шыққан теңдікті пайдаланып келесідей теңдіктерді аламыз:

, ,

Осы теңдіктерді пайдаланып теңдеудің шешімін аламыз: .

Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Математиканы көрнекі-бейнелік қатынас көмегімен оқыту процесін басқаруға болады. Басқаруға мүмкіндік беретін элементтердің бірі – тірек-сызбалар болып табылады. Тірек-сызбалары – қажетті білімдерді еске түсіруге және жалпылауға мүмкіндік беретін ақпараттық кестелер. Ол блоктардан тұрады, олардың әрқайсысы теорияның жекелей қысқаша үзіндісіне арналады. Мұндай тірек-сызбалар жылдам бағыт көрсетуге мүмкіндік беретін мәтін, сурет және формуладан тұрады [5].

Тірек-сызбаларын мұғалімдер оқушылардың оқу-танымдық іс-әрекетін ұйымдастыру үшін пайдалануға болады. Мысал ретінде «Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер» атты тірек-сызбасын ұсынамыз (1-сурет).


1-сурет - «Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер» тірек-сызбасы
Осы 1-суретке сәйкес оқушыларға тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді ажыратуды және оларды шешуге үйрету үшін мынадай алгоритмдік қадамдарды ұсынамыз:

1) тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті біртекті сызықтық теңдеулер үшін сипаттамалық теңдеуді құру;

2) сипаттамалық теңдеудің түбірін табу;

3) табылған түбірлерге сәйкес тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті біртекті сызықтық теңдеудің жалпы шешімін жазу [2].

5-есеп. дифференциалдық теңдеуін шешіңдер.

Шешуі. Берілген теңдеудің сипаттамалық теңдеуін құрастырамыз:

.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлерін табамыз: және .

Осыдан теңдеудің жалпы шешімінің түрі: .

Жауабы: .
6-есеп. дифференциалдық теңдеуін шешіңдер.

Шешуі. Берілген теңдеудің сипаттамалық теңдеуін құрастырамыз:

.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлерін табамыз: .

Осыдан теңдеудің жалпы шешімінің түрі: .

Жауабы: .
Сонымен, оқу процесінде схемалар, формулалар, графиктер түрінде ұсынылған абстрактылы материалды бергенде, оқушы оны көруі тиіс. Берілген жағдайда, материалды көзбен қабылдау жүзеге асырылады; ұсынылған ақпаратты қосымша сөзбен жеткізген артық болмайды.

Әдебиеттер тізімі:

1. 
   Жалпы орта білім беру деңгейінің жаратылыстану-математика бағытындағы 10-11-сыныптарына арналған «Алгебра және анализ бастамалары» пәнінен жаңартылған мазмұндағы үлгілік оқу бағдарламасы //Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрі м.а. 2017 жылғы «27 » шілдедегі №352 бұйрығы.
   
2. 
   Алгебра және анализ бастамалары. Әдістемелік нұсқау. Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сынып мұғалімдеріне арналған құрал /А.Е.Әбілқасымова, В.Е.Корчевский, З.Ә.Жұмағұлова. – Алматы: Мектеп, 2020. – 136б.
   
3. 
   Алгебра және анализ бастамалары. Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық /А.Е.Әбілқасымова, В.Е.Корчевский, З.Ә.Жұмағұлова. – Алматы: Мектеп, 2020. – 256б.
   
4. 
   Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: «Наука», 1971.
   
5. 
   Кисельников И.В. Обучение началам математического анализа в средней школе с использованием различных форм его фундаментальных понятий: Дис.... канд. пед. наук. - СПб., 1997.- 128с.