Проект. Определение наименьшего общего кратного
 Скачать 210.94 Kb.
|
|
org center - math www сайт наш Посетите Copyright © MathCenter 2020 Наименьшее общее кратное Определение наименьшего общего кратного Прежде всего давайте подумаем о том, что такое кратное. Кратное — число, делящееся на данное целое число без остатка. Его также можно рассматривать как результат произведения двух чисел. Другими словами, любое число из той части таблицы умножения, которая относится к определённому числу, кратно этому числу. ● 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... все кратны 3, потому что они находятся в таблице умножения на 3 ● 10, 20, 30, 40, 50, ... все кратны 10, потому что все они находятся в таблице умножения на 10. ● 3 x 4 = 12, поэтому 12 кратно как 3, так и 4 ● 5 x 5 = 25, поэтому 25 кратно 5 ● 12 x 5, поэтому 60 кратно как 5, так и 12 Общее кратное - это кратное, общее для нескольких чисел. ● 12, 24, 36 и 48 все являются кратными 3 и 4, потому что эти числа одновременно кратны 3 и кратны 4. Наименьшее общее кратное двух чисел - это наименьшее число, кратное обоим числам Наименьшее общее кратное множества чисел - это наименьшее кратное, общее для всех чисел. Часто наименьшее общее кратное сокращают до НОК Вы всегда можете найти общее кратное двух чисел, перемножив их, но это не всегда может быть наименьшее общее кратное (поскольку может существовать общее кратное меньшей величины). org center - math www сайт наш Посетите Copyright © MathCenter 2020 Как найти наименьшее общее кратное (или НОК) Итак, как мы находим наименьшее общее кратное (НОК)? Есть несколько способов сделать это, но мы покажем вам два самых простых: ● метод составления списка всех кратных ● метод разложения на простые множители Нахождение наименьшего общего кратного (или НОК) методом составления списков кратных Найти наименьшее общее кратное значит найти наименьшее число, кратное обоим (или всем) числам. Итак, очевидный способ найти НОК двух чисел - просто составлять списки кратных для каждого из чисел пока не появится одно и то же число в обоих списках. Оно и есть НОК. Это самый простой способ найти НОК любого набора чисел. Единственная проблема с этим способом заключается в том, что это может занять довольно много времени, особенно если числа большие и не имеют общих множителей. Помните, если есть только два числа, вам нужно только записать кратные до значения другого числа. Пример: если вы ищете наименьшее общее кратное для 5 и 8, вам нужно только подняться до 8 -го кратного числа 5 или 5 -го кратного числа 8 (то есть 40). Это потому, что мы знаем, что a x b всегда будет общим кратным для a и b, хотя не всегда может быть наименьшим общим кратным Примеры Пример 1) Найдите наименьшее общее кратное для 5 и 3. Кратные числа 5 это: 5, 10, 15 , 20, 25, 30 , 35, 40, ... Кратные числа 3 это: 3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21, 24, 27, 30 , ... org center - math www сайт наш Посетите Copyright © MathCenter 2020 Итак, мы нашли два общих кратных, которые встречаются в обоих списках: 15 и 30. Обратите внимание, что нам действительно нужно было только дойти до 3 -го кратного 5 или до 5 -го кратного 3, чтобы найти ответ. Наименьшее общее кратное - это 15 (то есть 3 x 5). Пример 2) Найдите наименьшее общее кратное для 5 и 11. Кратные числа 5 это: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 , 60 Кратные числа 11 это: 11, 22, 33, 44, 55 , 66, ... Наименьшее число в обоих списках - 55 (то есть 5 x 11). Наименьшее общее кратное это 55. Пример 3) Найдите наименьшее общее кратное для 6 и 15. Кратные числа 6 это: 6, 12, 18, 24, 30 , 36, 42, 48, 54, 60 , 55, 60 Кратные числа 15 это: 15, 30 , 45, 60 , 75, 90, ... Мы нашли два общих кратных: 30 и 60. Наименьшее число в обоих списках - 30 (обратите внимание, что это меньшее значение, чем 6 x 15). Наименьшее общее кратное это 30. Пример 4) Найдите наименьшее общее кратное для 4, 6 и 10. Кратные числа 4 это: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 42, 48, 52, 56, 60 , 64 Кратные числа 6 это: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 ... Кратные числа 10 это: 10, 20, 30, 40, 50, 60 , ... Наименьшее число во всех списках - 60. Наименьшее общее кратное: 60. Вычисление наименьшего общего кратного методом разложения на простые множители Этот метод хорошо работает для больших чисел, когда использование метода кратных займет много времени, но его сложнее использовать! Вам нужно записать каждое число в виде произведения простых множителей. org center - math www сайт наш Посетите Copyright © MathCenter 2020 Теперь запишите каждое из этих произведений в экспоненциальной форме (в виде степени). Теперь объедините свои множители, начиная с наименьшего множителя и наибольшего показателя степени каждого множителя. Теперь посмотрите на свои списки простых множителей. Для каждого повторяющегося множителя вам нужно использовать множитель с наивысшим показателем степени (или один из множителей, если показатели степени одинаковые). Умножьте оставшиеся простые множители в списке, чтобы найти НОК. Это звучит сложно, но если вы посмотрите на примеры ниже, мы надеемся, что это станет более понятным! Пример 1) Найдите наименьшее общее кратное для 14 и 20. Запишите каждое число в виде произведения простых множителей: ● 14 = 2 x 7 ● 20 = 2 x 2 x 5 = 2 2 x 5 Затем объедините множители и упорядочите этот список по числам и показателям степени: 2 2 , 2, 5, 7 Теперь удалите из списка все позиции, представляющие то же число с меньшей степенью. Множитель 2 повторяется, поэтому нам нужно использовать только наивысший показатель степени, равный 2 2 Наш новый список: 2 2 , 5, 7. Теперь мы перемножаем множители из списка. Это дает нам: 2 2 x 5 x 7 = 2 x 2 x 5 x 7 = 140 Наименьшее общее кратное: 140. Пример 2) Найдите наименьшее общее кратное для 144 и 78. Запишите каждое число в виде произведения простых множителей: ● 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 24 x 32 ● 78 = 2 x 3 x 13 org center - math www сайт наш Посетите Copyright © MathCenter 2020 Затем объедините множители и упорядочите этот список по числам и показателям степени: 2 4 x 2 x 3 2 x 3 x 13 Теперь удалите из списка все позиции, представляющие то же число с меньшей степенью. Множитель 2 повторяется, поэтому нам нужно использовать только наивысший показатель степени, равный 2 4 Множитель 3 повторяется, поэтому нам нужно использовать только наивысший показатель степени, равный 3 2 Наш новый список: 2 4 , 3 2 , 13. Теперь нам нужно перемножить простые множители, чтобы найти НОК. Это дает нам: 2 4 x 3 2 x 13 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 1872 Как видите, разобраться с использованием метода кратных займет некоторое время! Наименьшее общее кратное (НОК): 1872. Пример 3) Найдите наименьшее общее кратное для 14, 31 и 12. Запишите каждое число в виде произведения простых множителей: ● 14 = 2 x 7 ● 31 = 31 (уже простое) ● 12 = 2 x 2 x 3 = 2 2 x 3 Затем объедините множители и упорядочите этот список по числам и показателям степени: 2 2 , 2, 3, 7, 31 Множитель 2 повторяется, и нам нужно использовать только наивысший показатель степени, равный 2 2 Наш новый список: 2 2 , 3, 7, 31 Теперь нам нужно перемножить простые множители, чтобы найти НОК. Это дает нам: 2 2 x 3 x 7 x 31 = 2 x 2 x 3 x 7 x 31 = 2604 Наименьшее общее кратное (НОК) равно 2604. org center - math www сайт наш Посетите Copyright © MathCenter 2020 org center - math www сайт наш Посетите Copyright © MathCenter 2020 Пример 4) Найдите наименьшее общее кратное для 129 и 321. Запишите каждое число в виде произведения простых множителей: ● 129 = 3 x 43 ● 321= 3 x 107 Затем объедините множители и упорядочите этот список по числам и показателям степени: 3, 3, 43, 107 Множитель 3 встречается в обоих числах, и показатель степени тот же, поэтому нам просто нужно включить его только один раз. Наш новый список: 3, 43, 107 Теперь нам нужно перемножить простые множители, чтобы найти НОК. Это дает нам: 3 x 43 x 107 = 13803 Наименьшее общее кратное (НОК): 13803. |