Главная страница
Навигация по странице:

  • МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

  • «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра общей и технической физики ОТЧЁТ

  • Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера.

  • Цель работы

  • Определения (основных физических понятий, процессов, объектов и величин)

  • Законы и соотношения (использованные при выводе расчетной формулы)

  • Основные расчётные формулы

  • Формулы погрешности косвенных измерений

  • Таблица результатов измерений

  • Пример вычислений: Исходные данные

  • Расчет результатов эксперимента

    		•

    теорема штейнера. Отчёт по лабораторной работе 5


    Скачать 299.43 Kb.
    НазваниеОтчёт по лабораторной работе 5
    Анкортеорема штейнера
    Дата26.03.2023
    Размер299.43 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаFizika_5_Laba_Mekhanika.docx
    ТипДокументы
    #1016218

    ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ



    МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

    РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
    федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

    высшего образования
    «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

    Кафедра общей и технической физики
    ОТЧЁТ

    по лабораторной работе №5

    По дисциплине ФИЗИКА

    (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

    Тема: Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера.

    Выполнил: студент гр. БТБ-20 Зайцева Д.С.

    (подпись) (Ф.И.О.)

    Проверил:

    (должность) (подпись) (Ф.И.О.)


    Санкт-Петербург

    2021 год

    Цель работы: измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.

    Краткое теоретическое содержание

    Явление, изучаемое в работе: вращательное движение тела, момент инерции тела.

    Определения (основных физических понятий, процессов, объектов и величин):

    1. Вращательное движение – движение, при котором все точки тела движутся по

    окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

    1. Инерция - свойства тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

    2. Движение по инерции – это движение тела, свободного от внешних воздействий.

    3. Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от материала формы и размеров тела, а также от распределения массы тела относительно оси вращения.

    4. Момент силы (крутящий момент) — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

    5. Модуль кручения пружины прямо пропорционален моменту силы, и обратно пропорционален углу, на который отведена пружина от состояния покоя. Это крутящий момент, который стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние, результате чего возникают крутильные колебания.

    6. Крутильные колебания – это колебания элементов конструкций и машин, выражающиеся в периодически меняющейся деформации кручения.

    7. Моментом инерции тела относительно некоторой оси называется физическая величина, равная сумме произведений материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

    Законы и соотношения (использованные при выводе расчетной формулы):

    Теорема Штейнера

    Момент инерции относительно произвольной оси О1О1 равен сумме момента инерции 0, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.


    где - момент инертности тела, кг*м2; – момент инерции тела относительно оси, кг*м2; m – масса тела, кг; d – расстояние между осями, м

    В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний. Исследуемые тела насаживаются на ось спиральной пружины. Если закрутить пружину на угол , то в результате деформации пружины возникнет упругая сила. Она создает крутящий момент (момент силы) М, модуль которого равен

    M=D

    где D – модуль кручения пружины,  - угол, на который поворачивают тело, рад.

    Период крутильных колебаний


    Основываясь на теореме Штейнера, можно предположить, что зависимость

    момента инерции от квадрата расстояния до оси, а также зависимость момента силы

    от угла поворота будет прямо пропорциональная, т.к. теорема похожа на уравнение

    прямой kx+b, и, следовательно, должна наблюдаться схожая зависимость.
    Схема установки



    Рис. 1. Общий вид экспериментальной установки

    Основные расчётные формулы:

    1. Момент инерции материальной точки:



    2. Момент инерции однородного диска:



    3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2:



    4. Момент инерции шара радиуса R:



    5. Момент инерции тонкого стержня:



    6. Момент инерции тела, насаженного на ось пружины:



    7. Модуль кручения пружины:



    8. Момент силы:



    где m - масса тела, кг; R – радиус, м; l – длина тела, м; J – момент инерции тела, ; D – модуль кручения пружины, . T – период колебаний, с; M - момент силы, ;  - угол, рад; F- сила, Н.

    Формулы погрешности косвенных измерений:

    – средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции исследуемого тела (экспериментально);

    – средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции стержня с грузами;

    – средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции стержня.

    – средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции сплошного цилиндра и диска;

    – средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции шара;

    – средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции стержня по теореме Штейнера.

    Таблица результатов измерений:

    Таблица №1. Определение модуля кручения пружины.

    Физическая величина


    F
    l
    M
    D

    Ед. измерения

    Номер опыта
    рад
    Н
    м




    1
    /2
    0,7
    0,06
    0,042
    0,026

    2


    1,55
    0,093
    0,03

    3
    3/2
    2,03
    0,1218
    0,026

    4
    2
    2,6
    0,156
    0,024

    Таблица 1. Определение модуля кручения пружины

    Таблица №2. Определение периода колебаний системы с исследуемым телом и определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии

    Физ. величина
    T
    m
    R
    R1
    R2
    Tcр






    Единицы измерения/номер опыта
    с
    кг
    м
    м
    м
    с
    * кг* м2
    * кг* м2
    %

    1-цилиндр
    1,016
    0,351
    0,05






    1,0152




    76

    1,015






    1,015






    1,015






    1,015






    2-шар
    1,679
    0,652
    0,07






    1,6784
    2
    1,27
    57,5

    1,678






    1,678






    1,680






    1,677






    3-полый цилиндр
    0,553
    0,348



    0,046
    0,05
    0,5656
    2,4
    8
    70

    0,577









    0,567









    0,567









    0,564









    4-диск
    1,747
    0,26
    0,1






    1,7476
    2,2
    1,3
    69

    1,747






    1,748






    1,748






    1,748






    Таблица 2. Определение периода колебаний системы с исследуемым телом и определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии

    Таблица №3. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения

    Физ. величина
    r
    r2
    T
    J
    mг

    Единицы измерения/номер опыта
    м
    м2
    с
    * кг* м2
    *10-3 кг

    1
    0,02
    0,0004
    2,410
    4,26
    212

    2
    0,04
    0,0016
    2,522
    4,67

    3
    0,06
    0,0036
    2,564
    4,83

    4
    0,08
    0,0064
    2,813
    5,8

    5
    0,1
    0,01
    3,001
    6,6

    Таблица 3. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения

    Таблица №4. Проверка теоремы Штейнера

    Физ. величина
    d
    T
    m
    l

    Единицы измерения/номер опыта
    м
    с
    кг
    м

    1
    0,02
    2,127
    0,132
    0,604

    2
    2,837

    3
    2,837

    4
    2,835

    5
    2,837

    Таблица 4. Проверка теоремы Штейнера

    Пример вычислений:

    Исходные данные:

    l = 0,604, м - длина стержня;

    m = 0,132, кг - масса стержня;

    mг = 0,212, кг – масса груза.

    Погрешность прямых измерений:

    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

    .

    Расчет результатов эксперимента:

    1. Для угла , опыт №1:

    ;

    .

    2.Определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии (цилиндр):

    Экспериментальное значение момента инерции цилиндра:



    Средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции исследуемого тела (экспериментально):



    Окончательное экспериментальное значение момента инерции цилиндра:



    Относительная погрешность косвенных измерений экспериментально найденного значения момента инерции цилиндра:



    Теоретическое значение момента инерции цилиндра:



    Средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции сплошного цилиндра:



    Окончательное теоретическое значение момента инерции цилиндра:



    Относительная погрешность косвенных измерений теоретического значения момента инерции цилиндра:

    .

    Экспериментальное значение момента инерции шара отличается от теоретического на: .

    3. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения:

    Экспериментальное значение момента инерции грузов:



    Средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции исследуемого тела (экспериментально):



    Окончательное экспериментальное значение момента инерции грузов на стержне:



    Относительная погрешность косвенных измерений экспериментально найденного значения момента инерции грузов на стержне:



    Теоретическое значение момента инерции грузов на стержне:



    Средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции грузов на стержне:



    Окончательное теоретическое значение момента инерции грузов на стержне:



    Относительная погрешность косвенных измерений теоретического значения момента инерции грузов на стержне:



    Отличие экспериментального значения зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения от теоретического:
    .

    4. Проверка теоремы Штейнера:

    Период колебаний стержня без грузов равен T=2,127 с

    с







    После смещения стержня на расстояние d=2 см = 0,02 м его период стал равен T=2,837 с.

    ;

    ;





    По теореме Штейнера:

    ;







    Проверка теоремы Штейнера: экспериментальное значение момента инерции отличается от теоретического:

    .

    Графический материал:



    Рис.2. График зависимости момента силы от угла поворота

    т.к тангенс угла наклона прямой равен модулю кручения пружины D=0,029



    Рис.3. График зависимости момента инерции от квадрата радиуса

    Вывод

    В ходе лабораторной работы были определены моменты инерции и периоды колебаний различных тел, была проверена теорема Штейнера и изучена зависимость момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения. Ожидаемый результат был получен, и действительно оба графика представили собой прямо-пропорциональную зависимость. Это подтверждает верные результаты и теорему Штейнера для измерения моментов инерции различных тел, однако метод крутильных колебаний даёт не самые точные результаты, так как экспериментальная погрешность момента инерции отличается от теоретического на 17,5%.

    написать администратору сайта