Касательная к окружности. П. 7071. Касательная к окружности Окружность
 Скачать 0.62 Mb.
|
|
П. №70-71. Касательная к окружности * Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. I. Взаимное расположение прямой и окружности Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. I. Прямая проходит через центр окружности O p Прямая пересечёт окружность в 2-ух точках – концах диаметра, лежащего на этой прямой A B II. Прямая не проходит через центр окружности Дано: ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r, прямая p: O ∉ p, OH ⊥ p, |OH| = d O p A B H 1. d < r Дано: ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r, прямая p: O ∉ p, OH ⊥ p, |OH| = d O p A B H 1. d < r Докажем, что прямая p и окружность не имеют других общих точек. Метод от противного: Пусть ∃ т. C: (С∈ω) ∧ (С ∈ p) ΔOAC: (OD – медиана)∧(D∈AC) ⇒OD ⊥ p Т.О. из точки О проведены 2 перпендикуляра к прямой p - Противоречие d < r ⇒ прямая и окружность имеют две общие точки Дано: ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r, прямая p: O ∉ p, OH ⊥ p, |OH| = d O p M H 2. d = r Докажем, что прямая p и окружность не имеют других общих точек. M ∈ p OM > OH=r (наклонная OM больше перпендикуляра OH) ⇒ M ∉ ω d = r ⇒ прямая и окружность имеют только одну общую точку Дано: ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r, прямая p: O ∉ p, OH ⊥ p, |OH| = d O p M H 3. d > r d > r ⇒ прямая и окружность не имеют общих точек II. Касательная у окружности Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Теорема (свойство касательной) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Дано: ω (O, r), p – касательная, А – точка касания Доказать: p ⊥ OA O p А Доказательство: Метод от противного Пусть p не перпендикулярна OA
ЧТД Касательные, проходящие через одну точку Теорема (свойство): Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. О В С А 1 2 3 4 AB и AC – отрезки касательных, проведенных из точки А Дано: ω (O, r), АВ и АС – отрезки касательных из точки А Доказать: (AB = AC) ∧ (∠3 = ∠4) Доказательство:
ЧТД Теорема (признак касательной) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является касательной. O p A Дано: ω (O, r), OA = r, A∈ p, p ⊥ OA Доказать: p - касательная Доказательство: (p ⊥ OA) ∧ (OA = r) ⇒ прямая и окружность имеют только одну общую точку ⇒ p - касательная ЧТД Задача Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности. O p A Построение:
№ 636 Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите угол ACB. III. Решение задач № 639 Прямая AB касается окружности с центром О радиуса r в точке B. Найдите AB, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см. № 645 Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка А1В1. IV. Самостоятельная работа Домашнее задание*
|