Проект. первообразная1. Первообразная. Пусть на некотором промежутке задана функция. Функция называется первообразной

• Название: Первообразная. Пусть на некотором промежутке задана функция. Функция называется первообразной
• Анкор: Проект
• Дата: 14.03.2023
• Размер: 88.53 Kb.
• Имя файла: первообразная1.docx
• Тип: Документы; #987635

Первообразная.

Пусть на некотором промежутке задана функция . Функция называется первообразной для на этом промежутке, если для всех выполняется равенство

.

Например, функция является первообразной для функции , так как .

Но функция тоже является первообразной для функции , так как .

Аналогично, функции , будут первообразными для функции .

Основное свойство первообразной

Если функция есть первообразная для функции на некотором промежутке , то функция , где С – произвольная постоянная, - также является первообразной для функции на промежутке , причем любая другая первообразная функции на промежутке может быть записана в виде .

Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции получаются из любого из них путем параллельного переноса вдоль оси

Три правила нахождения первообразных:

1.Если есть первообразная для , а - первообразная для , то есть первообразная для .

2. Если есть первообразная для , а – постоянная, то функция первообразная для

3. Если есть первообразная для , а и постоянные, причем , то есть первообразная для .

Таблица первообразных:

Функция	Общий вид первообразных
( постоянная)
> 0,

Пример 1. Докажем, что функция есть первообразная для функции на заданном промежутке:

а)

Найдем производную функции .

, для всех , что и требовалось доказать.

б)

Найдем производную функции .

Так как , то для всех Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя таблицу первообразных, найдем одну из первообразных для функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Пример 3. Для функции найдем первообразную, график которой проходит через заданную точку:

а) ;

Запишем общий вид первообразных для данной функции: Координаты точки графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению . Отсюда находим :



Таким образом, искомая первообразная имеет вид .

Пример 4. Найдем общий вид первообразных для функций:

а) .

Для функции одна из первообразных есть , а для функции одной из первообразных является функция , то по правилу 1 находим, что для функции одной из первообразных будет , а общий вид первообразных будет

б)

По правилу 3 одной из первообразных для функции будет функция , а множество всех первообразных данной функции имеет вид
Задания для самостоятельного выполнения:

1.Найдите первообразную функции, график которой проходит через заданную точку и сравните с ответом:

а) , ,

б) ,

в) ,

г) , ,

д) ,

е) ,

2. Указав правило нахождения первообразных, найдите множество первообразных функции:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ;