Болатбек Перизат матан СРС3. План Производная функции Техника дифференцирования Таблица производных Дифференциал функции
 Скачать 0.91 Mb.
|
|
Дифференцирование функций одной переменной Казахский национальный женский педагогический университет План:Производная функции Техника дифференцирования Таблица производных Дифференциал функции Производная функцииОпределение. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции Δy=f(x+Δx)–f(x) к приращению аргумента Δx при Δx 0, если этот предел существует и конечен Для обозначения производной функции используют символы: Связь дифференцируемости и непрерывности функцииЕсли функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в ней. Обратное утверждение неверно, т. е., если функция непрерывна в точке, то она может быть не дифференцируемой в этой точке. Например, функция непрерывна, но не дифференцируема в точке x = 0. Пусть f (x) и g (x) дифференцируемые функции и с константа, тогда справедливы соотношения 1. [c f (x)] = c f (x) . 2. [ f (x) g (x) ] = f (x) g (x) . 3. [ f (x) g (x) ] = f (x) g (x) + f (x) g (x) . 4. . Техника дифференцирования Теорема. (Производная сложной функции) Пусть функция g (x) имеет производную в точке x0, функция f (g) имеет производную в точке g0 = g (x0) . Тогда функция f(g(x)) будет иметь производную в точке x0 и справедливо соотношение . Теорема. (Производная обратной функции) Пусть y = f -1(x) обратная функция к функции x = f (y), имеющей производную в точке y0, причем f (y0) 0. Тогда обратная функция y = f -1(x) имеет производную в точке x0 = f (y0) , причем или . Таблица производных
ПримерНайти производные первого порядка функций Решение. Применим формулу производной суммы Далее используем формулы: Тогда: Решение. Используем правило дифференцирования произведения Далее, по таблице производных имеем: Формула (5): Формула (10): Теорема. (Производная функции, заданной параметрически) Если функция аргумента x задана параметрически: , t , где (t) и (t) – дифференцируемы, причем (t) 0 , то производная этой функции по переменной x вычисляется по формуле , x=(t). Пусть функция у = f (x) задана уравнением F (x, y) = 0, не разрешенным относительно y. В этом случае говорят, что функция y задана неявно. Пусть уравнение F (x, y) = 0 задает y как неявную функцию от x, т. е. y = f (x). Предположим, что функция y дифференцируема. Если в уравнении F (x, y) = 0 под y подразумевать функцию y (x), то это уравнение обращается в тождество по аргументу x: F (x, y (x)) = 0. Для нахождения производной y(x) нужно продифференцировать по x обе части, помня, что y есть функция от x, и затем разрешить полученное новое уравнение относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть от x и y: y (x) = (x, y). 1. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И 0 y x x - приращение аргумента - приращение функции Определение Предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к 0 (если этот предел существует и конечен) называется производной функции у = f (x) в точке х0 и обозначается Рассмотрим некоторую функцию у = f (x), определенную в окрестности точки х0. В окрестности точки х0 выберем точку х, и найдем значение функции в этой точке. Обозначения производной: ПРИМЕР____Д_И_Ф_Ф_Е_Р_Е_Н_Ц_И_А_Л_Ф_У_Н_К_Ц_И_И____Решение:___4._Применение_дифференциала_к_приближенным___вычислениям'>ПРИМЕР_1____Д_И_Ф_Ф_Е_Р_Е_Н_Ц_И_А_Л_Ф_У_Н_К_Ц_И_И____Дана_функция___Найти_df_в_точке_х_0=0___Пример_2'>ПРИМЕР 1 Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И Дана функция Найти df в точке х0=0 Пример 2 Дана функция Найти df Решение: Решение: 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И 0 y x x Дифференциал функции y = f (x) в точке х0 равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда аргумент получает приращение К графику функции у = f (x) проведем касательную в точке х0 B A M 3. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛА Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И инвариантность формы 1-го дифференциала 5. Пусть – сложная функция, тогда Итак, ПРИМЕР Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И Решение: 4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям Приращение функции Абсолютная погрешность при замене на равна бесконечно малая более высокого порядка, чем при Вычислить Рассмотрим функцию Пусть тогда Задача сводится к нахождению Итак, Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И Определение Вторым дифференциалом d 2f функции у = f (x) называют дифференциал от первого дифференциала d f, рассматриваемого как функция от х (dx считаем константой). Итак, d 2f=f ΄΄(x)∙dx2. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть у = f (x), x – независимая переменная, d f = f΄(x)∙dx – дифференциал (первый дифференциал). Таким образом, Аналогично определяются третий и выше дифференциалы: Итак, d nf=f (n)(x)∙dxn d 2f= d (d f) = d (f ΄(x)∙dx) = dx∙d (f ΄(x)) = dx∙f ΄΄(x)∙dx = f ΄΄(x)∙(dx)2. d 3f=f (3)(x)∙dx3, d 4f=f (4)(x)∙dx4 ПРИМЕР Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И Дана функция Найти d 2f Решение: СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! |