плоскость и прямая. курсовая С.Н. геометрия. Плоскость и прямая

• Название: Плоскость и прямая
• Анкор: плоскость и прямая
• Дата: 06.06.2022
• Размер: 219.05 Kb.
• Имя файла: курсовая С.Н. геометрия.docx
• Тип: Реферат; #572661

Пензенский Государственный Университет

Кафедра «Математика и суперкомпьютерное моделирование»

Тема курсовой работы

«Плоскость и прямая»

Выполнила: студентка гр. 21ВМ1

Сайдиева Н.П.

Проверила: к.физ.-мат. н.,

доцент кафедры «МСМ»

Деревянчук Е.Д.

Содержание :

1. 
   Введение
   
2. 
   Плоскость в пространстве
   
   1. 
      Общее уравнение плоскости
      
   2. 
      Угол между прямой и плоскостью
      
   3. 
      Точка пересечения прямой с плоскостью
      
3. 
   Прямая в пространстве
   
   1. 
      Общее уравнение прямой
      
   2. 
      Угол между прямой и плоскостью
      
   3. 
      Координаты точки пересечения прямой и плоскости
      
4. 
   Задачи
   
5. 
   Заключение
   
6. 
   Список литературы
   

1.Введение

Прямая и плоскость в пространстве.

Всякое уравнение первой степени относительно координат   

Ax+By+Cz=0 (1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор   ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (1) коэффициенты А, В, С одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (1):

1. 
   D = 0, Ах + By + Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
   
2. 
   С = 0, Ах + By + D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
   
3. 
   С = D = 0, Ах + By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
   
4. 
   С = В = 0, Ах + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
   

Уравнения координатных плоскостей: 

Прямая в пространстве может быть задана:

1. 
   как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:
   
2. 
   двумя своими точками   тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
   
3. 
   точкой   ей принадлежащей, и вектором   ей коллинеарным.
   

2.Плоскость в пространстве

2.1. Общее уравнение прямой

Определение: Уравнение вида 

Определение: Порядок поверхности определяется по высшему показателю степени переменных х, у и z или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Определение: Уравнение вида Ax+By+Cz+D=O называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим частные случаи приведенного уравнения:

1. D = 0; Ах + By + Сz = 0. Из этого уравнения видно, что точка О(0; 0; 0) удов- летворяет этому уравнению, следовательно, это уравнение описывает

плоскость, проходящую через начало координат (Рис. 1).

  Рис. 1. Плоскость, проходящая через начало координат.

2. С = 0; Ах + Ву + D = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое значение переменной z, поэтому данное уравнение описывает плоскость, которая параллельна оси аппликат (Oz) (Рис. 2). 

Рис. 2. Плоскость, проходящая параллельно оси аппликат.

• 
   - плоскость параллельна оси ординат (Оу);
  
• 
   - плоскость параллельна оси абсцисс (Ох).
  

Замечание: При отсутствии в уравнении плоскости одной из переменных величин говорит о том, что плоскость параллельна соответствующей координатной оси.

3. С=0; D=0; Ах+ By=0 - плоскость проходит через начало отсчета параллельно оси аппликат (Рис. 3). 

Рис. 3. Плоскость, проходящая через начало координат параллельно оси аппликат.

• 
   - плоскость проходит через начало координат параллельно оси ординат;
  
• 
   - плоскость проходит через начало координат параллельно оси абсцисс.
  

4.   - плоскость проходит через точку   параллельно плоскости   (Pис.4)  

Рис. 4. Плоскость, проходящая параллельно координатной плоскости 

• 
  А = С = 0; Ву + D = 0 - плоскость проходит через точку   параллельно плоскости 
  
• 
   - плоскость проходит через точку   параллельно
  
• 
  плоскости 
  

5. В = С = D = 0; Ах = 0=>х = 0 - уравнение описывает плоскость   (Рис. 5).



Рис. 5. Координатная плоскость  .

• 
   - уравнение описывает плоскость 
  
• 
   - уравнение описывает плоскость 
  

2.2. Угол между прямой и плоскостью


Угол α между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой вычисляется по формуле:



Пучок плоскостей

Определение: Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая L - осью пучка. Пусть ось пучка задана уравнениями:



Умножим второе уравнение системы на постоянную и сложим с первым уравнением:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁+ λ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0.

Это уравнение имеет первую степень относительно х, у, z и, следовательно, при любом численном значении λ определяет плоскость. Так как данное уравнение есть следствие двух уравнений, то координаты точки, удовлетворяющие этим уравнениям будут удовлетворять и данному уравнению. Следовательно, при любом численном значении λ данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Полученное уравнение есть уравнение пучка плоскостей.

2.3. Точка пересечения прямой с плоскостью
Пусть плоскость Q задана уравнением общего типа: Ax+By+Cz+D=0, а прямая L в параметрическом виде: x=x₁+mt, y=y₁+nt, z=z₁+pt, тогда чтобы найти точку пересечения прямой L и плоскости Q, нужно найти значение параметра t, при котором точка прямой будет лежать на плоскости. Подставив значение x, y, z, в уравнение плоскости и выразив t, получим


Значение t будет единственным, если прямая и плоскость не параллельны.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости:

Рассмотрим прямую L:



и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0.
Прямая L и плоскость α:

а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т. е.



б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, т. е.

и Am + Bn + Ср = 0.
3.Прямая в пространстве

Прямая линия в пространстве бесконечна, поэтому задавать ее удобнее отрезком. Из школьного курса Евклидовой геометрии известна аксиома, «через две точки в пространстве можно провести прямую и, притом, только одну». Следовательно, на эпюре прямая может быть задана двумя фронтальными и двумя горизонтальными проекциями точек. Но так как прямая - это прямая (а не кривая), то с полным основанием мы можем соединить эти точки отрезком прямой и получить фронтальную и горизонтальную проекции прямой (рис. 13).

Доказательство от обратного: в плоскостях проекций V и Н заданы две проекции а' b' и ab (рис.14). Проведем через них плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций V и Н (рис.14), линией пересечения плоскостей будет прямая АВ.

3.1.Общее уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей: 

Определение: Геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1), называется прямой в пространстве, а система уравнений (1) называется общим уравнением прямой.

Замечание: Для того чтобы система уравнений (1) определяла прямую в пространстве необходимо и достаточно, чтобы нормальные вектора плоскостей, определяющих прямую,   были неколлинеарными, т.е. выполняется одно из неравенств: 

Пусть прямая проходит через точку   параллельно вектору   который называется направляющим вектором прямой , тогда ее уравнение называется каноническим и имеет вид:



Замечание: Если в уравнении (2) одна из проекций направляющего вектора равна 0, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

3.3.Координаты точки пересечения прямой и плоскости

Пусть прямая (L) задана общим уравнением 

 а плоскость (Q) уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из системы уравнений:   Если прямая (L) задана каноническим уравнением   

а плоскость (Q)

• 
  уравнением Ax + By + Cz + D = 0, тo поступают по следующей схеме:
  
• 
  переходят от канонического уравнения прямой к параметрическому, т.е. записывают уравнение прямой в виде
  
• 
  полученные выражения подставляют в уравнение заданной плоскости и находят параметр t:
  

.

• 
  вычисляют координаты точки пересечения, подставив найденное значение   в параметрическое уравнение прямой 
  

Рассмотрим возможные случаи:

1. 
   если выполняются условия  , то прямая не пересекает плоскость (прямая параллельна плоскости);
   
2. 
   при условиях   прямая лежит на плоскости;
   
3. 
   если  , прямая пересекает плоскость в одной точке.
   

3.2.Угол между прямой и плоскостью

Метод прямоугольного треугольника

Прямая общего положения, наклонена к плоскостям проекций под некоторым произвольным углом.

Угол между прямой и плоскостью определяется углом, составленным прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 22). Угол a определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости Н.

В прямоугольном треугольнике AВb1 катет Ab1 равен горизонтальной проекции ab; а другой катет Вb1 равен разности расстояний точек А и В от плоскости Н. Если из точки В на горизонтальной проекции прямой ab проведем перпендикуляр и отложим на нем величину Z,то, соединив точку а с полученной точкой b0, получим гипотенузу аb0, равную натуральной величине отрезка АВ. На эпюре это выглядит так (рис. 23):

Аналогично определяется угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b) - рис. 24.

Замечание: при построениях на горизонтальной проекции прямой мы откладываем на вспомогательной прямой величину Z; при построениях на фронтальной проекции - величину Y.

Рассмотренный метод носит название прямоугольного треугольника. С его помощью можно определить натуральную величину любого интересующего нас отрезка, а также углы его наклона к плоскостям проекций.

Взаимное положение прямых

Если точка принадлежит прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой (правило принадлежности, см. рис. 14). Из школьного курса геометрии знаем , что две прямые пересекаются в одной точке (или: если две прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются в этой точке).

Проекции пересекающихся прямых на эпюре имеют ярко выраженный признак: проекции точки пересечения лежат на одной линии связи (рис. 25). Действительно: точка К принадлежит и АВ, и CD; на эпюре точка k' лежит на одной линии связи с точкой k.

Проекции прямого угла

Если две прямые общего положения пересекаются пол прямым углом, то их проекции образуют угол, не равный 90° (рис. 31).

А так как при пересечении двух параллельных плоскостей третьей в пересечении получаются параллельные прямые, то горизонтальные проекции ab и cd - параллельны.

Если повторить операцию и спроецировать прямые АВ и CD на фронтальную плоскость проекций, мы получим тот же результат.



4.Задачи

№1(42 по Богомолову Н.В.).

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1; 2; -3) перпендикулярно прямой (x+2)/4=(z+3)/2.

Решение : Очевидно , что в данной задаче нормального вектора искомой плоскости можно взять параллельный ему направленный вектор q равный (4; 3; 2) данной прямой. Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку М перпендикулярно вектору q.

4(x+1)+3(y-2)+2(z+3)=0, или 4x+3y+2z+4=0.

№2 (45 по Богомолову).

Убедиться в том, что прямая (x-2)/4=(y+4)/3=(z-1)/(-2) параллельна плоскости 5x-2y+7z+3=0.

Решение: Используя условие параллельности прямой и плоскости, получаем 5*4+(-2)*3+7(-2)=0, т.е. прямая и плоскость параллельны .

№3( 52 по Богомолову )

Найдите точку пересечения прямой (x+3)/2=(y-1)/3=(z+5)/2 с плоскостью 2x+3y+z-22=0.

Решение:

L: (x+3)/2=(y-1)/3=(z+5)/2 , следовательно

2x+3y+z-22=0 , следовательно 2*( ) +3*( )+( )-22=0, отсюда

4t -6+9t+3+2t-5-22=0 , 15t=30, t=30/15 , t=2.

, следовательно точка М(1; 7 4 -1).

№4( 53 по Богомолову ).

Составьте уравнение перпендикуляра к плоскости x-3y+2z-26=0, проходящей через точку (-2; 2; -4). Найдите координаты основания этого перпендикуляра.

Решение:

Из условия нам понятно , что плоскость(l) перпендикулярна прямой(n) , следовательно, , отсюда

Уравнение будет такое : (x+2)/1=(y-2)/(-3)=(z-4)/2.

№5( 54 по Богомолову )

Проверьте, что прямая (x-1)/(-2)=(y-4)/(-3)=(z+1)/3 параллельна плоскости 3x-5y-3z-4=0.

Решение:

Направляющий вектор прямой имеет координаты (-2;-3;3)
Нормальный вектор плоскости имеет координаты
(3;-5;–3)
Если прямая параллельна плоскости, то ее направляющий вектор и нормальный вектор плоскости взаимно перпендикулярны.
Векторы перпендикулярны, значит скалярное произведение векторов равно нулю.

(-2)*3+(-3)*(-5)+3*(-3)=0
Значит прямая параллельна плоскости.

№6( 55 по Богомолову )

Проверьте , что прямая (x-1)/2=(y+3)/(-1)=(z-4)/5 лежит в плоскости 3z-4y-2z-7=0.

Решение: Проверить лежит ли прямая (x-1) / 2=(y+3)/ (-1)=(z+2) / 5
на плоскости 4x+3y+z+3=0 .

n (3;-4;-2) → нормальный вектор плоскости ; 
s(2; -1;  -5) →направляющий вектор прямой  ; 
M₀(1;-3;4) _произвольная точка на прямой.
составим скалярное произведение :
n.s =3*2+(-4)*(-1)+(-2)*(-5) =0   ⇒ n ⊥ s , т.е. прямая параллельно плоскости или лежит на ней, но  точка M₀(1;-3;4)  не лежит на плоскости, действительно   
n * M₀≠0  (не удовл. уравн.),значит прямая не лежит  на плоскости.

№7( 56 по Богомолову).

Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку M(3; 2; 1).

Решение:

Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящей через данную прямую:



Так как координаты точки М должны удовлетворять уравнению плоскости, то , подставим их в соотношении x=3, y=2, z=1, имеем

или 8+5 =0.

Подставим найденное лямбда в соотношение и получим ответ .

5.Заключение

В данной работе описаны и рассмотрены «Прямая и плоскость в пространстве». Даны их основные понятия , так же были рассмотрены точки пересечения прямой и плоскости , угол между ними.

В дополнение о плоскости , рассказывается про общие уравнение плоскости , также и про общее уравнение прямой . Немало важная тема – это пучок плоскостей , про которую написано выше .

В курсовой работе были решены задачи , такие как :

• 
  Нахождение уравнения плоскости.
  
• 
  Нахождения точки пересечения.
  
• 
  Нахождение принадлежности прямой к плоскости .
  
• 
  Нахождение параллельности плоскости и прямой.
  

6.Список литературы

1. 
   Богомолов Н.В. Учебное пособие для ссузов (2003 , Высшая школа )
   
2. 
   Стереометрия. Геометрия в пространстве. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
   
3. 
   Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. - 7-е изд., стер., 2004. - 224 с. - (Курс высшей математики и математической физики.)
   
4. 
   Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, 2005. - 304 с.