Погрешности результатов вычислительной математики. Погрешности результатов вычислительной математики Предмет и методы вычислительной математики
 Скачать 170 Kb.
|
|
Погрешности результатов вычислительной математики 1.Предмет и методы вычислительной математики. Вычислительная математика разрабатывает методы доведения до числового результата решений основных задач математического анализа, алгебры и геометрии. Численный метод решения задачи – это определённая последовательность операций над числами (вычислительный алгоритм). Языком численного метода являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на компьютере, что делает эти методы мощным и универсальным инструментом исследования. Однако задачи, подлежащие решению, формулируются обычно на математическом языке (языке уравнений, функций, производных, интегралов и т. п.). Поэтому разработка численного метода необходимо предполагает замену исходной задачи другой, близкой к ней, и сформулированной в терминах чисел и арифметических операций. Несмотря на всё разнообразие способов такой замены, некоторые общие свойства присущи всем вычислительным алгоритмам. Эти свойства демонстрирует следующий простейший пример. Пример. Найти положительный корень уравнения  , т.е. извлечь квадратный корень из  . Можно написать ответ  , но символ  не решает задачи, так как не даёт способа вычисления величины  . Поступим следующим образом. Возьмём какое – либо начальное приближение  (например,  ) и будем последовательно вычислять значения  ,  ,  , . . . с помощью формулы  , получим: Начиная с , шесть цифр в дробной части не меняются, поэтому  с точностью  .Сформулируем теперь принципы, общие для всех численных методов: 1) Исходная задача заменяется другой задачей – вычислительным алгоритмом; 2) Вычислительный алгоритм содержит параметр k, которого нет в исходной задаче; 3) Выбором параметра k можно добиться любой близости решения второй задачи к решению первой; 4) Неточная реализация алгоритма, вызванная округлениями, не меняет существенно свойств алгоритма. 2. Погрешности результатов численного решения задач. Вычисления всегда выполняются с округлёнными числами и по формулам, приближённо заменяющим исходную задачу, поэтому и ответ будет приближённым числом. Задача заключается в том, чтобы следовать правилам, обеспечивающим минимальную погрешность результата. Принцип минимальности разности между числом  и его округлённым значением  приводит к следующему правилу округления: если старший отбрасываемый разряд < 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется; если старший отбрасываемый разряд > 5, то предшествующая ему цифра в числе увеличивается на 1; если старший отбрасываемый разряд равен 5, то предшествующая ему чётная цифра в числе не меняется, а нечётная увеличивается на 1. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащие цифры подразделяют на верные и сомнительные, исходя из понятия абсолютной и относительной погрешности числа. Погрешностью приближённого числа называется разность  между ним и точным значением . Так как точное значение неизвестно, то и погрешность обычно неизвестна и можно найти только оценку погрешности. Обозначим оценку погрешности приближённого числа символом  , тогда определяется из неравенства .Число называется абсолютной погрешностью приближённого числа . Обычно выбирается возможно меньшее значение . Абсолютные погрешности записывают не более чем с двумя – тремя значащими цифрами и в приближённом числе не следует сохранять те разряды, которые округляются в его абсолютной погрешности. Округляются абсолютные погрешности по своим правилам: только в большую сторону.Количество верных значащих цифр числа отсчитывается от первой значащей цифры до первой значащей цифры его абсолютной погрешности; остальные цифры числа называют сомнительными. В окончательных результатах вычислений обычно оставляют верные цифры и одну сомнительную. Пример. Длина и ширина комнаты, измеренные с точностью до  , равны  и  . Определить погрешность величины площади комнаты  и записать площадь с верными и одной сомнительной цифрами.Решение. По условию  и  . Максимальная и минимальная возможные значения площади равны ;  .Вычисляем  ,  , следовательно, можно взять  . Таким образом, величина площади имеет три верных цифры и сохраняя одну сомнительную, получим  .Во многих приложениях принято характеризовать точность приближённых чисел их относительной погрешностью. Обозначим относительную погрешность приближённого числа символом  , тогда по определению  . Относительная погрешность обычно выражается в процентах и её принято записывать не более чем с двумя – тремя значащими цифрами. Относительная погрешность – это безразмерная и нормированная величина, поэтому её удобно использовать для сравнения точности различных приближённых величин.Пример. Найти относительную погрешность площади комнаты. Решение.  Задача 2. 2.1. Округлить число   ) до трёх значащих цифр;  ) до четырёх значащих цифр;  ) до пяти значащих цифр; ) до восьми значащих цифр;  ) до десяти значащих цифр. 2.2. Округлить число  : ) до одной значащей цифры; ) до четырёх значащих цифр; ) до трёх значащих цифр. 2.3. Определить количество верных значащих цифр числа , если известна его абсолютная погрешность  : )  ; ) ; ) ; ) ; )  . 2.4. Длина, ширина и высота аквариума измерены с точностью до и равны  ,  ,  .Найти объём аквариума с верными и одной сомнительной цифрами и относительную погрешность величины объёма. |