математика производная. Онацко Андрей Производная П2-21-11. Правила нахождения производных. Непрерывность функции. Геометрический смысл производной. Понятие производной

• Название: Правила нахождения производных. Непрерывность функции. Геометрический смысл производной. Понятие производной
• Анкор: математика производная
• Дата: 19.01.2022
• Размер: 0.6 Mb.
• Имя файла: Онацко Андрей Производная П2-21-11.pptx
• Тип: Правила; #335890

Производная

Онацко Андрей П2-21-11

Содержание

• Понятие производной.
• Алгоритм нахождения производной.
• Примеры.
• Таблица производных.
• Физический смысл производной.
• Правила нахождения производных.
• Непрерывность функции.
• Геометрический смысл производной.

Понятие производной

Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

f ′(x) = lim

∆f

∆x

∆x→0

Нахождение производной называют дифференцированием

Понятие производной

f ′(x) = lim

∆f

∆x

∆x→0

х0

х0+ ∆х

f(x0)

f(x0 + ∆х)

∆х

х

у

0

∆f

у = f(x)

• Зафиксировать значение х0, найти f(x0).
• Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х).
• Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
• Составить отношение .
• Вычислить lim .
• Этот предел и есть f ′(x0).

Алгоритм нахождения производной

∆f

∆х

∆f

∆х

∆x→0

Примеры

1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo

Примеры

2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo

Примеры

3. Найти производную функции y = x2 в точке хo

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке хo

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке хo

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo

Таблица производных

f (x)	f ′(x)	f (x)	f ′(x)
C	0	√x	1/(2√x)
kx + b	k	ex	ex
x2	2x	ax	ax lna
xn	nxn–1	tg x	1/cos2x
1/x	– 1/x2	ctg x	– 1/sin2x
sin x	cos x	ln x	1/x
cos x	– sin x	loga x	1/(x lna)

Физический ( механический ) смысл производной

Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т.е. s = s(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t).

Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u + v)′ = u′ + v′

2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем

(Сu)′ = С∙u′

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′

4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем

v(x)

1

v 2

v′

= –

v

1

( )

′

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем

v(x)

u(x)

v 2

u′v – uv′

=

( )

v

u

′

Производная сложной функции

(f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x)

Примеры:

1. ((5x – 3)3)′ = 3(5x – 3)2∙(5x – 3)′ =

= 3(5x – 3)2 ∙ 5 = 15(5x – 3)2

2. (sin(4x + 8))′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8)′ =

= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х, то она непрерывна в этой точке.