Прикладная математика и статистика. ПМ1. Приведена выборка 60 результатов измерений случайной величины Х

• Название: Приведена выборка 60 результатов измерений случайной величины Х
• Анкор: Прикладная математика и статистика
• Дата: 10.02.2023
• Размер: 230.38 Kb.
• Имя файла: ПМ1.docx
• Тип: Документы; #930346

Приведена выборка 60 результатов измерений случайной величины Х

93,5	62	74,3	54,3	55	65,8	53,9	63,5	75	53	63,8	49,2
73,3	72,5	64,3	54,6	72,9	30,9	44,7	60,7	53,4	58,8	56,9	64,6
31,6	73,7	84,4	63,8	74	80,5	64,4	34,6	54,1	62,1	61,7	92,5
73,9	53,5	63,7	74,3	52,8	64,6	73,8	51,8	62,5	42,3	34,7	64,1
52,4	64,8	73,9	41,4	52,4	72,4	62,9	64,1	57,7	50,8	64	62,7

1. 
   Построить интервальный вариационный ряд (ряд 1) по частотам, относительным частотам и накопленным частотам.
   
2. 
   От ряда 1 перейти к точечному вариационному ряду (ряд 2).
   

Определим максимальное и минимальное значения во всей выборке





Количество интервалов определим по формуле Стерджеса



а длина интервала будет равна:



Получим следующие интервалы и входящие в них значения

(30,9; 39,85)	30,9; 31,6; 34,6; 34,7
(39,85; 48,8)	41,4; 42,3; 44,7
(48,8; 57,75)	49,2; 50,8; 51,8; 52,4; 52,4; 52,8; 53; 53,4; 53,5; 53,9; 54,1; 54,3; 54,6; 55; 56,9; 57,7
(57,75; 66,7)	58,8; 60,7; 61,7; 62; 62,1; 62,5; 62,7; 62,9; 63,5; 63,7; 63,8; 63,8; 64; 64,1; 64,1; 64,3; 64,4; 64,6; 64,6; 64,8; 65,8
(66,7; 75,65)	72,4; 72,5; 72,9; 73,3; 73,7; 73,8; 73,9; 73,9; 74; 74,3; 74,3; 75
(75,65; 84,6)	80,5; 84,4
(84,6; 93,55)	92,5; 93,5

Посчитаем частоты на каждом интервале (количество значений входящих в интервал), относительные частоты (частости; отношение частоты к общему количеству) и накопленные частоты, которые получаются суммированием частот значений, предшествующих данному. Также сразу найдем средние значеинй каждого интервала и получим сразу интервальный вариационный и точечный ряды.

Интервалы
30,900	39,850	35,375	4	0,067	4
39,850	48,800	44,325	3	0,050	7
48,800	57,750	53,275	16	0,267	23
57,750	66,700	62,225	21	0,350	44
66,700	75,650	71,175	12	0,200	56
75,650	84,600	80,125	2	0,033	58
84,600	93,550	89,075	2	0,033	60
Контроль			60	1,00

3. 
   Начертить полигоны частот и относительных частот, кумуляту (по ряду 2) и гистограммы частот и относительных частот (по ряду 1).
   

Полигон частот строится в декартовой прямоугольной системе координат по точкам (хi ;ni), полигон относительных частот – по точкам (хi ;ωi), кумулята – по точкам (хi ; * i n ).


Фигура, состоящая из последовательности примыкающих друг к другу прямоугольников, называется гистограммой. Ширина этих прямоугольников равна ширине h интервалов группировки и откладывается по оси абсцисс, высота измеряется по оси ординат и пропорциональна частоте i n или относительной частоте i .

4. 
   Записать аналитически и построить графически статистическую функцию распределения (по ряду 2).
   

Статистическая (эмпирическая) функция, F * (х) – это функция, которая для каждого значения аргумента равна относительной частоте попадания опытных данных в область, лежащую слева от аргумента



График статистической функции распределения F*(x) представляет собой ступенчатую фигуру со скачками в точках, определяемых элементами выборки. Технология построения статистической функции распределения F*(x) состоит в суммировании относительных частот для всех опытных значений, лежащих слева от аргумента. Другими словами, для получения значений статистической функции распределения полученные накопленные частоты делим на объем выборки.

При построении графика значения эмпирической функции распределения относят обычно к верхней границе частичного интервала.

5. 
   Найти выборочные средние: среднюю арифметическую, среднюю геометрическую, среднюю гармоническую; выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесс (по ряду 2) по общим формулам и с применением метода произведений.
   

Запишем формулы для поиска среднего выборочного, геометрического и гармонического и введем вспомогательную таблицу с промежуточными расчетами

35,375	4	141,500	1,549	6,195	0,113
44,325	3	132,975	1,647	4,940	0,068
53,275	16	852,400	1,727	27,624	0,300
62,225	21	1306,725	1,794	37,673	0,337
71,175	12	854,100	1,852	22,228	0,169
80,125	2	160,250	1,904	3,808	0,025
89,075	2	178,150	1,950	3,900	0,022
	60	3626,100	12,422	106,367	1,035

Между выборочной средней, средней геометрической и средней гармонической существует соотношение



Неравенство выполняется

Вычисления характеристик статистических рядов рациональнее производить методом произведений. Так как значения равностоящие, перейдем к условным вариантам по формуле:



приняв ,

Для контроля вычислений воспользуемся тождествами:

Интервалы
(30,9; 39,85)	4	4	35,375	-3	-12	36	-108	324	16	64
(39,85; 48,8)	3	7	44,325	-2	-6	12	-24	48	3	3
(48,8; 57,75)	16	23	53,275	-1	-16	16	-16	16	0	0
(57,75; 66,7)	21	44	62,225	0	0	0	0	0	21	21
(66,7; 75,65)	12	56	71,175	1	12	12	12	12	48	192
(75,65; 84,6)	2	58	80,125	2	4	8	16	32	18	162
(84,6; 93,55)	2	60	89,075	3	6	18	54	162	32	512
	60			0	-12	102	-66	594	138	954
								Контроль	138	954

Вычислим условные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков по формуле









Согласно методу произведений, выборочная средняя и дисперсия определяются по формулам:





Значение выборочной средней, вычисленной по общей формуле и методу произведений, совпадает. Выборочное среднеквадратическое отклонение находится как корень квадратный из выборочной дисперсии:



Коэффициент вариации определяется по формуле:



Центральные моменты, которые связаны с условными следующими соотношениями













Характеристики формы распределения: коэффициент асимметрии и эксцесс, определяются по формулам









Отрицательное значение коэффициента асимметрии указывает на левостороннюю асимметрию кривой распределения, т.е. левая часть кривой длиннее правой и вершина кривой сдвинута влево. А положительное значение эксцесса говорит о том, что кривая распределения по сравнению с нормальной, менее крутая и имеет более острую вершину. Что видно по графикам

6. 
   Определить моду и медиану графически и аналитически (по рядам 1 и 2).
   

Мода (модальное значение ) - наиболее часто встречающееся в статистической совокупности значение признака. Для дискретного вариационного ряда мода соответствует варианте с максимальной частотой. При определении моды обычно применяют следующие соглашения:

а) если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то говорят, что этот вариационный ряд не имеет моды;

б) если две соседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, что мода вычисляется как среднее арифметическое этих вариант

в) если две не соседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд называется бимодальным (т.е. имеет две моды).

В нашем случае модальным интервалом является

57,750__66,700__62,225__21'>57,750	66,700	62,225	21

Также рядом с рядом стоящими

Модальность
	48,800	57,750	53,275	16
	57,750	66,700	62,225	21
	66,700	75,650	71,175	12

В случае интервального вариационного ряда с равными интервалами модальный интервал (интервал, содержащий моду) определяется по наибольшей частоте. Вычисление моды производится по следующей формуле:





Для графического определения моды используют 3 соседних столбца гистограммы (самый высокий и 2 прилегающих к нему). Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс



В нашем примере медианным является следующий интервал ( ):

Медианность
	48,800	57,750	53,275	16	23
	57,750	66,700	62,225	21	44

При вычислении медианы интервального вариационного ряда, сначала находят медианный интервал (интервал, содержащий медиану, в 10 котором содержится накопленная частота, превышающая половину объема выборки). Расчет медианы производится по формуле:



Медиана может быть определена графически по кумуляте. Для этого последнюю ординату, равную сумме всех частот, т.е. объему выборки n, делят пополам. Из полученной точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и дает значение медианы

7. 
   На основе анализа гистограммы и статистической функции распределения оценить близость эмпирического распределения к нормальному закону, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения по критерию Пирсона ( ).
   

Рассчитаем для нашей выборки и сравним его с , но для этого вычислим ряд параметров и занесем все вычисления в таблицу

Для того, чтобы проверить согласуются ли данные выборки с нулевой гипотезой – гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности, поступают по следующему правилу:

1) выдвигают нулевую гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X и находят несмещенные оценки его параметров;


2) определяют теоретические частоты mi, соответствующие опытным частотам, если среди опытных частот имеются малочисленные, то их необходимо объединить с соседними

Перейдем к новым переменным по формуле:



Найдем значения функций Лапласа от полученных переменных, используя статистические таблицы, причем полагают наименьшее значение 𝑢𝑖 = −∞, а наибольшее .

30,900	39,850	-2,540	30,900	-0,50000	-0,46164	0,038
39,850	48,800	-1,770	39,850	-0,46164	-0,34134	0,120
48,800	57,750	-1,001	48,800	-0,34134	0,02392	0,365
57,750	66,700	-0,231	57,750	0,02392	0,09095	0,067
66,700	75,650	0,539	66,700	0,09095	0,22240	0,131
75,650	84,600	1,308	75,650	0,22240	0,48077	0,258
84,600	93,550	2,078	84,600	0,48077	0,50000	0,019
						1

0,038	2,302	1,000	3,000	9,000	9,000
0,120	7,218	7,000	-4,000	16,000	2,286
0,365	21,916	22,000	-6,000	36,000	1,636
0,067	4,022	4,000	17,000	289,000	72,250
0,131	7,887	8,000	4,000	16,000	2,000
0,258	15,502	16,000	-14,000	196,000	12,250
0,019	1,154	1,000	1,000	1,000	1,000
	60	60			100,422

3) по формуле вычисляют статистику критерия;



4) определяют число степеней свободы:


5) задают уровень значимости α и критическую точку критерия определяют по статистической таблице при заданных α и q;

Возьмем два критерия значимости и получим соответствующие из статистических таблиц





6) если то нулевую гипотезу принимают, в противном случае нулевую гипотезу отвергают.

При

8. 
   При заданной надежности γ = 0,95 построить доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания а, неизвестной дисперсии D и среднего квадратического отклонения σ случайной величины Х в предположении, что выборка извлечена из генеральной совокупности, подчиненной нормальному закону.
   

Для уровня значимости и объема выборки 60 найдем в статических таблицах значение критерия


Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ имеет вид:







Найдем параметр q из статистических таблиц по заданной надежности и объеме выборке



Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ нормально распределенной случайной величины Х с надежностью  находится из двойных неравенств: