поверх. 2-го порядка. Приведение уравнения поверхности 2го порядка к каноническому виду по ин
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
Приведение уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду по инвариантам Рассмотрим задачу приведения к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат уравнением (4.67): (4.73) Требуется определить один из семнадцати возможных канонических видов поверхности (см. теорему 4.3), найти каноническую систему координат , в которой уравнение поверхности имеет канонический вид, а затем построить поверхность в канонической и исходной системах координат. Построение, разумеется, производится только для вещественных поверхностей. Алгоритм приведения уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду Для приведения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат уравнением (4.73), к каноническому виду нужно выполнить следующие действия. 1. По уравнению (4.73) поверхности второго порядка составить матрицу квадратичной функции, матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы: 2. Составить характеристическое уравнение , либо вычисляя его коэффициенты по формулам: , либо разлагая определитель Найти корни (с учетом кратности) характеристического уравнения. Вычислить инвариант Если , то вычислить семиинвариант Если и , то вычислить семиинвариант 3. По таблице 4.3 определить вид поверхности. 4. Занумеровать корни характеристического уравнения в соответствии с правилами: а) если поверхность эллиптического типа, то ; б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через и корни одного знака так, чтобы , а через — корень противоположного знака; в) если поверхность параболического типа, то – если нулевой корень двойной, то и ; – если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то и ; – если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков, то и либо , если или ; либо , если и 5. Найти взаимно ортогональные собственные направления , соответствующие корням характеристического уравнения: а) если , то базисные векторы исходной системы имеют искомые направления б) если все корни простые, то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений Например, собственное направление для простого корня находится как любое ненулевое решение системы или Если и корни и имеют разные знаки , то направление должно удовлетворять дополнительному условию , в противном случае следует заменить столбец на противоположный Если и корни и одного знака , то направление должно удовлетворять дополнительному условию , в противном случае следует заменить столбец на противоположный ; в) если имеется двойной ненулевой корень , то для простого корня найти соответствующий собственный вектор — любое не нулевое решение системы , а для кратного корня в качестве взять любой ненулевой столбец матрицы , а вектор найти, используя векторное произведение: ; г) если имеется двойной нулевой корень , то направление , соответствующее простому корню , найти как ненулевое решение системы . Вычислить проекцию а Если , то направление найти как ненулевое решение системы Если , то направление . Направление найти, используя векторное произведение: Нормируя полученные векторы , определить координатные столбцы векторов канонического базиса. 6. Найти координаты начала канонической системы координат: а) для поверхностей, имеющих хотя бы один центр (эллипсоидов, гиперболоидов, конусов, цилиндров, пар плоскостей), найти любое решение системы уравнений или б) для поверхностей, не имеющих ни одного центра, найти: – в случаях эллиптического или гиперболического параболоидов решение системы где – в случае параболического цилиндра — любое решение системы где 7. Вычислить коэффициенты канонического уравнения: ▼ а) для поверхностей эллиптического типа: (1) — при — уравнение эллипсоида с коэффициентами (2) при — уравнение мнимого эллипсоида с коэффициентами (3) при — уравнение мнимого конуса с коэффициентами ▼ б) для поверхностей гиперболического типа: (4) при — уравнение однополостного гиперболоида с коэффициентами (5) при — уравнение двуполостного гиперболоида с коэффициентами (6) при — уравнение конуса с коэффициентами ▼ в) для поверхностей параболического типа: (7) при — уравнение эллиптического параболоида с коэффициентами (8) при — уравнение гиперболического параболоида с коэффициентами (9) при — уравнение эллиптического цилиндра с коэффициентами (10) при — уравнение мнимого эллиптического цилиндра с коэффициентами (11) при — уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей с коэффициентами (12) при — уравнение гиперболического цилиндра с коэффициентами (13) при — уравнение пары пересекающихся плоскостей с коэффициентами (14) при — уравнение параболического цилиндра с коэффициентом ; (15) при — уравнение пары параллельных плоскостей с коэффициентом ; (16) при — уравнение пары мнимых параллельных плоскостей с коэффициентом ; (17) при — уравнение пары совпадающих плоскостей 8. В координатном пространстве изобразить каноническую систему координат , координаты начала которой найдены в пункте 6, а координаты базисных векторов — в пункте 5. 9. Построить поверхность второго порядка в канонической системе координат по каноническому уравнению, найденному в п.7. Построение центральных поверхностей (эллипсоида, гиперболоидов, конуса) удобно начинать с изображения основного параллелепипеда (см. разд.4.4.2-4.4.4). При построении параболоидов, цилиндров и пар плоскостей использовать разд.4.4.5; 3.3.2-3.3.4, 4.2.1- 4.2.5). Мнимые поверхности не изображаются, за исключением уравнения мнимого конуса или пары мнимых пересекающихся плоскостей, действительными решениями которых являются точка или ось соответственно. Таблица 4.3. Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам Замечания 4.16 1. Согласно пункту 3 замечаний 4.14 для нахождения начала координат параболоидов или параболического цилиндра (см. п.6,"б" алгоритма) можно использовать систему где в случае эллиптического или гиперболического параболоидов; в случае параболического цилиндра. 2. Системы уравнений в п.6,"б" алгоритма можно записать в эквивалентном виде: – в случаях эллиптического или гиперболического параболоидов: где – в случае параболического цилиндра: где 3. Если требуется получить правую каноническую систему координат, а в результате применения алгоритма каноническая система координат оказалась левой, то достаточно изменить направление оси ординат на противоположное, т.е. заменить базисный вектор на противоположный вектор 4. Согласно пункту 6 замечаний 4.12, если известны корни (с учетом кратности) характеристического уравнения, то инварианты можно вы числить по формулам (см. п.2 алгоритма): Примеры приведения уравнений поверхностей к каноническому виду по инвариантам Пример 4.21. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат уравнением Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. ▼ Решение Составляем матрицу квадратичной функции, матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы: 2. Составляем характеристическое уравнение Находим его корни (двойной корень) и (простой корень). Учитывая п.4 замечаний 4.16, вычисляем инварианты: 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность эллиптического типа (все корни характеристического уравнения одного знака, что также подтверждается условиями и ). Поскольку , заданная поверхность — эллипсоид. 4. Поскольку поверхность эллиптического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"а" алгоритма): , чтобы выполнялись неравенства 5. Находим взаимно ортогональные собственные направления , соответствующие корням характеристического уравнения. Поскольку имеется двойной ненулевой корень (см. п.5,"в" алгоритма), то для простого корня находим ненулевое решение однородной системы уравнений или Возьмем, например, решение , т.е. . В качестве направления принимаем первый (ненулевой) столбец матрицы . Направление определяем, используя векторное произведение: следовательно, Нормируя полученные векторы , определяем координатные столбцы векторов канонического базиса: 6. Находим координаты начала канонической системы координат, решая систему уравнений (см. п.6,"а" алгоритма): или Получаем . Следовательно, вектор переноса начала координат имеет координаты , или, что то же самое, начало канонической системы координат имеет координаты в исходной системе координат. 7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (1) эллипсоида (см. п.7,"а!' алгоритма): Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид 8. В координатном пространстве изображаем каноническую систему координат с началом в точке и базисными векторами , координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.53). 9. Строим эллипсоид вращения в канонической системе координат по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.53). Пример 4.22. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат уравнением где а) ; б) ; в) Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. ▼ Решение Составляем матрицу квадратичной функции, матрицу квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы: 2. Характеристическое уравнение имеет корни (см. решение примера 4.18,"в"). Поэтому, учитывая п.4 замечаний 4.14, вычисляем инварианты: 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность гиперболического типа (корни характеристического уравнения имеют разные знаки). При заданная поверхность — однополостный гиперболоид, так как ; при заданная поверхность — конус, так как ; при заданная поверхность — двуполостный гиперболоид, так как 4. Поскольку поверхность гиперболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"б" алгоритма): , т.е. и корни одного знака, причем , а корень противоположного знака 5. Находим взаимно ортогональные собственные направления , соответствующие корням характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы , . Учитывая решение примера 4.18,"в", получаем Нормируя полученные векторы , определяем координатные столбцы векторов канонического базиса: 6. Находим координаты начала канонической системы координат; решая систему уравнений (см. п.б,"а" алгоритма): или Получаем . Следовательно, вектор переноса начала координат имеет координаты или, что то же самое, начало канонической системы координат имеет координаты относительно исходной системы координат. 7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (см. п.7,"б" алгоритма): – при находим коэффициенты и каноническое уравнение (4) однополостного гиперболоида: – при находим коэффициенты и каноническое уравнение (6) конуса: – при находим коэффициенты и каноническое уравнение (S) двуполостного гиперболоида: 8. В координатном пространстве изображаем каноническую систему координат с началом в точке и базисными векторами , координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.54). 9. Строим однополостный гиперболоид (рис.4.54,а), конус (рис.4.54,б), двуполостный гиперболоид (рис.4.54,в) в канонической системе координат по каноническому уравнению, найденному в пункте 7. Пример 4.23. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат уравнением Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. ▼ Решение Составляем матрицу квадратичной функции, матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы: 2. Вычисляем инварианты: Составляем характеристическое уравнение: . Его корни: 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа ( , т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку , заданная поверхность — гиперболический параболоид (8). 4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): — единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и , то , тогда 5. Находим взаимно ортогональные собственные направления , соответствующие корням характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы для для для Так как и корни и имеют разные знаки, то направление должно удовлетворять дополнительному условию . Найденное направление этому условию не удовлетворяет: Поэтому его нужно заменить на противоположное, положив Нормируя полученные векторы , определяем координатные столбцы векторов канонического базиса: 6. Так как заданная поверхность (параболоид) не имеет центра, то составляем систему уравнений для нахождения координат начала канонической системы координат (см. п.6,"б" алгоритма). Вычисляем Решаем систему уравнений Эта система имеет единственное решение Следовательно, вектор переноса начала координат имеет координаты или, что то же самое, начало канонической системы координат имеет координаты в исходной системе координат. Согласно п.1 замечаний 4.16, начало канонической системы координат можно найти, решая систему где 7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (8) гиперболического параболоида (см. п.7,"в" алгоритма): Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид 8. В координатном пространстве изображаем каноническую систему координат с началом в точке и ба зисными векторами , координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.55). 9. Строим гиперболический параболоид в канонической системе координат по каноническому уравнению, найденному в пункте 7 (рис.4.55). Пример 4.24. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат уравнением Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. ▼ Решение Составляем матрицу квадратичной функции, матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы: 2. Вычисляем инварианты: Так как , то вычисляем Составляем характеристическое уравнение: . Его корни: 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа ( , т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку , то поверхность цилиндрическая. Так как и , то заданная поверхность — гиперболический цилиндр. 4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): — единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и , а , то , чтобы выполнялось условие , тогда 5. Находим взаимно ортогональные собственные направления , соответствующие корням характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы для для для Так как и корни и имеют разные знаки, то направление должно удовлетворять дополнительному условию . Найденное направление этому условию удовлетворяет: Нормируя полученные векторы , определяем координатные столбцы векторов канонического базиса: 6. Так как заданная поверхность (гиперболический цилиндр) не являет ся центральной (она имеет прямую центров), то достаточно найти любое решение системы уравнений (см. п.6,"а" алгоритма): или Возьмем, например, решение . Следовательно, вектор переноса начала координат имеет координаты или, что то же самое, начало канонической системы координат имеет координаты относительно исходной системы координат. 7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (12) гиперболического цилиндра (см. п.7,"в" алгоритма): Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид 8. В координатном пространстве изображаем каноническую систему координат с началом в точке и базисными векторами , координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.56). 9. Строим гиперболический цилиндр в канонической системе координат по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.56 см. выше). Пример 4.25. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат уравнением Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. ▼ Решение Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. Составляем матрицу квадратичной функции, матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы: 2. Вычисляем инварианты: Так как , то вычисляем семиинвариант: Составляем характеристическое уравнение .Его корни (двойной корень) и (простой корень). 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа ( , то есть характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку , то поверхность цилиндрическая. Так как и , то заданная поверхность - параболический цилидр. 4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): - двойной нулевой корень; тогда 5. Находим взаимно ортогональные собственные направления , соответствующие корням характеристического уравнения. Поскольку - двойной нулевой корень (см. п.5,"г" алгоритма), то находим направление , соответствующее простому корню , как ненулевое решение системы Вычисляем Так как , то направление Направление находим, вычисляя векторное произведение Следовательно, Нормируя полученные векторы , определяем координатные столбцы векторов канонического базиса: 6. Так как заданная поверхность (параболический цилиндр) не имеет центров, то составляем систему уравнений для нахождения координат начала канонической системы координат (см. п.6,"б" алгоритма). Учитывая п.5, вычисляем Решаем систему уравнений Эта система имеет бесконечно много решений. Возьмем, например, решение . Следовательно, вектор переноса начала координат имеет координаты или, что то же самое, начало канонической системы координат имеет координаты в исходной системе координат. Согласно п.1 замечаний 4.16, начало канонической системы координат можно найти, решая систему уравнений , где 7. Вычисляем параметр канонического уравнения (14) параболического цилиндра (см. п.7,"в" алгоритма): Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид (рис.4.57). 8. В координатном пространстве изображаем каноническую систему координат с началом в точке и базисными векторами , координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.57). 9. Строим параболический цилиндр в канонической системе координат по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.57). |