Решение экономических задач математическими методами. Проект. Проект по алгебре на тему Тригонометрия в окружающем мире и жизни человека
 Скачать 4.87 Mb.
|
|
Проект по алгебре на тему: «Тригонометрия в окружающем мире и жизни человека»  Подготовила ученица 10 «А» класса КГУОШ №66 Абулбакиева Азиза Руководитель: учитель математики Усачёва Е.А 2021-2022 учебный год Содержание Введение 1. История тригонометрии 2.Тригонометрия в физике 3. Тригонометрия в астрономии 4. Тригонометрия в медицине 5.Тригонометрия в музыке 6.Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре Заключение Вывод Литература В представленном мной исследовательском проекте по геометрии, я изучаю историю тригонометрии, а также связь тригонометрии с другими науками и различными сферами жизнедеятельности человека. В процессе работы над проектом, мной были поставлены цели: выявить связь тригонометрических функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека, а также показать, что данные функции находит широкое применение в повседневной жизни человека. В основе моей исследовательской работы лежит анализ теоретических сведений о тригонометрии, взятых из различных источников и выявление использования этих сведений об этом разделе математики в практической и творческой жизни человека. В ходе работы над проектом я пришла к выводу, что тригонометрия тесно связана с физикой, биологией, встречается в природе, архитектуре, музыке и медицине.  Актуальность темы: Актуальность данного исследования состоит в том, что решение данной проблемы может вызвать интерес у учащихся к предмету математика, в подготовке и написании ЕНТ, поможет найти правильное решение в жизненных ситуациях. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Цель моей работы: установить связь тригонометрии с другими науками и различными сферами деятельности человека. Объект исследования - тригонометрия Предмет исследования - области практического применения тригонометрии Задачи: 1. Изучить литературу и Интернет ресурсы по теме проекта. 2. Выявить и раскрыть связь тригонометрических функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека. 3. Показать, что данные функции находят широкое применение в жизни. Раскрыть на конкретных примерах возможности использования тригонометрии в жизни каждого человека. 4. Проанализировать и систематизировать имеющийся материал. Гипотеза: Я считаю, что большинство физических явлений природы, физиологических процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.  Введение Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. Н.И. Лобачевский Реальные процессы окружающего мира связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Понятие «функция» сыграло и играет большую роль в изучении реального мира. Знание свойств функций позволяет понять сущность происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда. Мир функций богат и разнообразен. В различных науках и областях человеческой деятельности возникают функциональные зависимости, которые могут касаться самых разнообразных явлений природы и окружающего мира. В моём исследовательском проекте рассматривается практическое применение тригонометрических функций. С основными понятиями тригонометрии я познакомилась в 8 классе, когда мы начали изучать азы этого раздела математики. Далее мы более подробно стали ее изучать не только в треугольниках, но и на числовой окружности. И мне стало интересно, что же такое "тригонометрия”, как зародилась эта наука, кто стоял у истоков её развития и где она и спользуется в жизни. Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль в развитии навыков применения на практике теоретических знаний, полученных при изучении математики, играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа. История создания тригонометрии Ранние века. От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают , II век до н. э.). Главным достижением этого периода стало соотношение катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике, позже получившее имя.   Древняя Греция Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку, для них она была частью астрономии. Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной).  Средневековье В IV веке, после гибели античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Они изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным: к примеру, они первыми ввели в использование косинус. Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного (X-XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995-996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд Аль-Бируни - «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15") Аль-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°). После того как арабские трактаты были в XII-XIII веках переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу , два перевода которого были выполнены в XII веке. Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома (около 1320 г.). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV-XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.  Новое время Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса.Происхождение этого слова греческое: треугольник, мера. Иными словами, тригонометрия-наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад. Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности(а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в ӀӀӀ в. до н. э в работах великих математиков Древней Греции-Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (Ӏ в. до н. э), хотя и не приобрели специального названия. Современный минус угла, например, изучался как произведение полухорд, на которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.    В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В Ӏ V - V вв. появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты(476-ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в Ι X в. слово джива (или джиба) было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XΙΙ в. это слово было заменено латинским синус(sinus -изгиб, кривизна) Слово косинус намного моложе. Косинус-это сокращение латинского выражения complement sinus , т.е «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos a = sin (90°- a )).    Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XΙV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (вспомните: линия тангенсов - это касательная к единичной окружности).  Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г в работах венского математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л.Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Я.Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVΙΙΙ столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus x , например -,это угол (а можно сказать, и дуга),синус которого равен x . Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, т.е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес(например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказаний затмений и т,д)  Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с задачами, существенно более трудными, нежели задачи на решении плоских треугольников. Во всяком случае в геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками(правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVΙ Ӏ в.- их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А первый рисунок синусоиды появился в 1634 г.)  Важнейший период истории сферической тригонометрии связан с деятельностью ученых Ближнего Востока. Индийские ученые успешно решали задачи сферической тригонометрии. Однако метод, описанный Птолемеем и основанный на теореме Менелая полного четырехугольника, у них не применялся. И в сферической тригонометрии они пользовались проективными методами, которые соответствовали методам из «Аналеммы» Птолемея. В результате ими был получен набор определенных вычислительных правил, позволявших решить практически любую задачу сферической астрономии. С их помощью такая задача сводилась в конечном счете к сравнению между собой подобных плоских прямоугольных треугольников. При решений нередко применялись теория квадратных уравнений и метод последовательных приближений. Примером астрономической задачи, которую решали индийские ученые с помощью разработанных им правил, служит задачам, рассматриваемая в сочинении «Панга сиддхантика» Варахамихиры (V - VI ). Она состоит нахождении высоты Солнца, если известно широта места, склонения Солнца и его часовой угол. В результате решения этой задачи после ряда построений устанавливается соотношение, которое равносильно современной теореме косинусов для сферического треугольника. Однако и это соотношение, и другое,эквивалентное теореме синусов, не были обобщены как правила, применимые к любому сферическому треугольнику. Среди первых восточных ученных, которые обратились к обсуждению теореме Менелая, нужно назвать братьев Бану Мусса –Мухаммеда, Хасана и Ахмада, сыновей Муссы ибн Шакира, работавшего в Багдаде и занимавшегося математикой, астрономией и механикой. Но наиболее ранним из сохранившихся сочинений о теоремы Менелая является «Трактат о фигуре секущих» их ученика Сабита ибн Корры (836-901) Трактат Сабита ибн Корры дошел до нас в арабском оригинале,. И в латинском переводе XII в. Этот перевод Герандо Кремонским (1114-1187), получил широкое распространение в Средневековой Европе. История тригонометрии, как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур, охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц. Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности. Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием - например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон). Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей - системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов.  Области применения тригонометрии Тригонометрия не относится к прикладным наукам, в реальной повседневной жизни ее задачи редко применяются. Однако этот факт не снижает ее значимости. Очень важна, например, техника триангуляции, которая позволяет астрономам достаточно точно измерить расстояние до недалеких звезд и осуществлять контроль за системами навигации спутников. Также тригонометрию применяют в навигации, теории музыки, акустике, оптике, анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (например, в расшифровке ультразвуковых исследований УЗИ и компьютерной томографии), фармацевтике, химии, теории чисел, сейсмологиии, метеорологии, океанологии, картографии, многих разделах физики, топографии и геодезии, архитектуре, фонетике, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике, кристаллографии. Роль тригонометрии в изучении естественно-математических наук изучают и по сей день. Возможно, в будущем областей ее применения станет еще больше.  Где применяется тригонометрия Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие. Тригонометрия в физике В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту или по струне. Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.    Тригонометрия в астрономии Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии. Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии. Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)   Достижения Виета в тригонометрии Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля. Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).  Тригонометрия в биологии и медицине Самое важное свойство живой природы - это цикличность процессов происходящие в ней. Без цикличности природа существовать не может. Самый примитивный пример – это смена дня и ночи. Биологические ритмы, биоритмы - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Примеры биологических ритмов: Самостоятельные (частота сокращений сердца, дыхания). Суточные (колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ, двигательной активности животных). Приливные (открывание и закрывание раковин у морских моллюсков, связанные с уровнем морских приливов). Годичные (изменение численности и активности животных, роста и развития растений и др.)  Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Именно арабский ученый Альхазен, во времена XI века, сформулировал теорию об определение расстояния через оценку угла. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), который строил свои выводы на основе работы с пилотами военной авиации. Однако после о теории вновь позабыли. Если на хвосте рыбы зафиксировать точку, а потом рассмотреть траекторию движения, то можно увидеть, что при плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции: . Из чего следует, что движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса. Наше сердце, в какой-то степени, не может обойтись без тригонометрии, потому что без электрокардиографии мы бы не могли знать о состоянии нашего сердца, т.е.: о наличии аритмии; в норме ли частота сердечных сокращений и ритм сердца; есть ли изменения, указывающие на то, что сердце испытывает кислородное голодание, т.е. его кровоснабжение недостаточно; наблюдается ли гипертрофия (утолщение) тех или иных отделов сердца, что может привести к серьезным последствиям. Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики: формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.   Движение рыб. Когда рыба перемещается в своей родной среде – воде, то её тело совершает сложные колебания, благодаря которым рыба может развить очень большие скорости, недоступные современным надводным и подводным кораблям. Рыбы используют, по крайней мере, два способа плавания – волнообразно извиваясь всем телом или двигая в основном только хвостом. Рыбы, имеющие змееобразную форму (например, угорь), плавают первым способом, так что изгиб тела движется от головы к хвосту, «отталкивая» назад воду, в результате чего рыба движется вперёд. При втором способе воду «отталкивает» назад только быстро распрямляющийся хвост рыбы. Но даже в самом простом случае туловище и хвост изгибаются в противофазе, образуя синусоподобную кривую. При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.   Тригонометрия в архитектуре и искусстве Тригонометрия широко используется в строительстве, а особенно в архитектуре. Можно привести самый легкий пример в архитектуре: скульптура французского мастера Золотого века искусства. Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Но при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Дело в том, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Ситуация меняется, т.к. статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно, и синус угла падения увеличивается. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения.   Применение в архитектуре. С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия. Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Рассмотрим пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства. Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы. Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий: Детская школа Гауди в Барселоне, Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине, мост в Сингапуре. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии.  Тригонометрия в музыке Каждая нота в рамках новой теории представляется как логарифм частоты соответствующего звука (нота «до» первой октавы, к примеру, соответствует числу 60, октава – числу 12). Аккорд, таким образом, представляется как точка с заданными координатами в геометрическом пространстве. Аккорды сгруппированы в различные «семейства», которые соответствуют различным типам геометрических пространств. Мы слушаем музыку в формате mp3. Звуковой сигнал – это волна, вот её «график».  Как можно увидеть – это хотя и очень сложная, но синусоида, подчиняющаяся законам тригонометрии. Во МХАТе весной 2003 года состоялась презентация альбома «Тригонометрия» группы «Ночные снайперы», солистка Диана Арбенина. Содержание альбома раскрывает первоначальное значение слова «тригонометрия» - измерение Земли. Заключение Тригонометрия прошла длинный путь развития. Она была придумана с целью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. И, теперь мы с уверенностью можем сказать, что тригонометрия не зависит от других наук, а другие науки зависят от тригонометрии. Мы выявили связь тригонометрических функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека, показали, что данные функции находят широкое применение в жизни. Тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, архитектуре, медицине и технике. Тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться, поэтому знание её законов необходимо каждому. Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Это помогает нам лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе. Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, технике, в быту. Рассказ о исторических причинах возникновения тригонометрии, ее развитии и практическом применении побуждает у нас – школьников интерес к изучаемому предмету, формирует наше мировоззрение и повышает общую культуру. Данная работа будет полезна для учащихся старших классов, которые ещё не увидели всю красоту тригонометрии и не знакомы с областями её применения в окружающей жизни. Литература 1. Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике» 2. «Википедия» 3. Учеба.ru 4. Math.ru «библиотека» 5. Виленкин Н.Я. Функции в природе и техники: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл. – 2-е изд., испр.-М: Просвещение, 1985. 6. Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров. 7. Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров. 8. Алимов Ш.А. и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2010. |