Главная страница
Навигация по странице:

  • Работают ли методы «параллельных палочек» и «идеального» построения-2

  • Работают ли методы «параллельных палочек» и «идеального» построения-3

  • Работают ли методы «параллельных палочек» и «идеального» построения-4

    		•

    Информатика. 20191216-работаютЛиМетоды. Работают ли методы параллельных палочек и идеального построения1 (17 и 38 тюмы)


    Скачать 67 Kb.
    НазваниеРаботают ли методы параллельных палочек и идеального построения1 (17 и 38 тюмы)
    АнкорИнформатика
    Дата17.11.2022
    Размер67 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файла20191216-работаютЛиМетоды.doc
    ТипДокументы
    #793271

    Работают ли методы «параллельных палочек» и «идеального» построения?-1 (17 и 38 ТЮМы)

    1. В выпуклом четырёхугольнике АВСD выполнены равенства CBD = 2ADB, АBD = 2СDB и АВ = СВ. Докажите, что CD = AD.

    2. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр стороны AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX=YZ.

    3. В остроугольном треугольнике ABC BH – высота. Прямые, симметричные AC относительно AB и BC пересеклись в точке K. Докажите, что угол KBC равен углу ABH.

    4. В треугольнике ABCпроведены биссектриса BL и медианы AMиCK. Оказалось, что треугольник MКL – равносторонний. Докажите, что и треугольник ABC – равносторонний. (С. Л. Берлов, 82)

    5. В треугольнике АВС на стороне АВ выбраны такие точки K и L, что AK = BL. Точки M и N – середины сторон АС и ВС соответственно. Оказалось, что KM = LN. Докажите, что либо АС = ВС, либо KL=AC/2. (С. Л. Берлов, 66)

    6. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OD. На стороне AD выбрана такая точка E, что AE = EC, BE = ED. Докажите, что AB = CD.

    7. Точки A1, B1 отмечены на сторонах AC и BC остроугольноготреугольника ABC соответственно так, что A1B1 || AB. Точки A2 и B2 — основания перпендикуляров, опущенных на AB из A1 и B1 соответственно. Докажите, что AC = AB2+CB1 тогда и только тогда, когда BC = BA2+CA1.

    8. В треугольнике ABCB = 2C и A > 90. Точка D на прямой AB такова, что CD перпендикулярно AC; M — середина BC. Докажите, что AMB = DMC.

    9. В треугольнике ABCABC = ACB = 70, AD — высота, точка E на стороне AB такова, что ACE = 10, F — точка пересечения AD и CE. Докажите, что CF = BC.

    10. На стороне AB треугольника ABC отмечены точки M и K так, что AM = MK, CM = CB, AKC = CAK/2+90. Найдите AC/MB.

    11. На стороне BC острого угла ABC лежат точки P и Q. Проекции этих точек на прямую AB — точки M и N. Оказалось, что AP = AQ и
      AM2–AN2 = BN2–BM2. Найдите величину угла ABC.

    12. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Точка E на стороне BC такова, что AE = AD. Известно, что ABD = COD и ABC = BOC. Докажите, что BE = OD. (А. Смирнов)

    13. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. На прямой AC выбрана такая точка D, что A — середина DC. Перпендикуляр к прямой DC в точке A пересекает отрезок BD в точке E. Докажите, что углы DBA и BCE равны.

    14. На стороне AC треугольника ABC с углом B = 60 выбрана точка M такая, что BCA = 2MBC, а на стороне AB — точка D такая, что BD = MC. Найдите угол DMB.

    15. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D такая, что AC = BD и ABD=25. Известно, что BAC = 40. Докажите, что AD+BC > AB. (А. Пастор)


    Работают ли методы «параллельных палочек» и «идеального» построения?-2 (37 ТЮМ)

    1. Точка D — середина стороны AC треугольника ABC. Известно, что BC = BD. На продолжении стороны BC за точку C отмечена точка E, такая, что CE = CD. Оказалось, что DE  AB. Во сколько раз отрезок BD больше отрезка AD?

    2. Вершины A и E квадрата ABCD и прямоугольника EBFD лежат по одну сторону от общей диагонали BD. Точка G на прямой BE такова, что AG перпендикулярно AE. Докажите, что BG = ED.

    3. В равнобочной трапеции ABCD из точки B опущена высота на большее основание AD и на ее продолжении взята точка E. Отрезки EC и BD пересекаются в точке P. Докажите, что SPED = SEBA+SBPC.

    4. В треугольнике ABC угол B равен 120 и BC = 2AB. Найдите угол между медианами AM и BK.

    5. Точка D лежит внутри треугольника ABC. На сторонах этого треугольника построены внешним образом прямоугольники BCEF, CAGH и ABKL, площадь каждого из которых вдвое больше площади треугольника ABC. Докажите, что сумма площадей треугольников DEF, DGH и DKL в четыре раза больше площади треугольника ABC.

    6. На стороне CD выпуклого четырехугольника ABCD отмечена такая точка E, что AD = DE. На отрезке AE отмечена такая точка F, что AF = EC. Известно, что ADB = BDC = 90–ABE. Докажите, что BF = BC.

    7. Точки K и L расположены на сторонах AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD соответственно так, что AK/KD = CL/LB. Прямая KL пересекает отрезки AC и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что KP/QL = SACD/SBCD.

    8. Внутри треугольника ABC (AB < BC) лежит точка O, равноудаленная от трех его вершин. BD — биссектриса угла B. Точка M — середина стороны AC, а точка P на луче MO такова, что APC = ABC. Точка N — основание перпендикуляра, опущенного из P на BC. Докажите, что каждая из диагоналей четырехугольника BDMN делит треугольник ABC на две равновеликие части.

    9. Через вершину C равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) с острым углом при вершине A провели перпендикуляр к BC и на этом перпендикуляре отметили точку P, лежащую с той же стороны от прямой BC, что и A, и с той же стороны от прямой AB, что и C. Точка D такова, что ABPD — параллелограмм. M — точка пересечения прямой PC и отрезка AD. Найдите отношение DM/DA.

    10. В треугольнике ABC угол A равен 60. Точка M — середина стороны BC. Докажите, что AB+BC > 2AM. (А. Пастор)

    11. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. На стороне BC отмечена такая точка K, что KH = KC. А на стороне AB отмечена такая точка L, что KL — биссектриса угла BKH. Докажите, что AL = LH.

    12. В тупоугольном треугольнике ABC с тупым углом C угол B в два раза больше угла A. На стороне AB отмечена точка P такая, что BP = 2BC. Известно, что середина M стороны AB лежит между P и B. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из M на сторону AC, делит отрезок PC пополам.

    13. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) A= 30. На медиане AD взята точка P, а на стороне AB — точка Q таким образом, что PB = PQ. Найдите угол PQC.

    14. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD биссектриса угла CAD проходит через середину отрезка BD. Известно, что BD = 2AB. Докажите, что AD = 3BC.

    Работают ли методы «параллельных палочек» и «идеального» построения?-3 (36 ТЮМ)

    1. На стороне AB треугольника ABC отмечены точки D и E (D лежит между A и E), а на стороне BC точка F, такие, что BE= BF= DF и AD= CF. Докажите, что BC> AE.

    2. На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N соответственно так, что AM = NC. Точки P и Q — середины отрезков NB и CM соответственно. Докажите, что 2PQ = MN.

    3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) с углом 20 при вершине Aточка E на стороне AC выбрана таким образом, что ABE = 30, а точка F на стороне AB таким образом, что EF = FC. Докажите, что треугольник EFC — равносторонний.

    4. На стороне угла с вершиной P выбраны точки A и B. Проведённые через них перпендикуляры a и b к этой стороне пересекают другую сторону угла в точках Q и R соответственно. Прямая, проходящая через A перпендикулярно BQ, пересекает b в точке T. Прямая, проходящая через B перпендикулярно AR, пересекает a в точке S. Докажите, что точки P, T и S лежат на одной прямой.

    5. Дан ромб ABCD. На отрезках AC и BC отмечены такие точки M и N  B соответственно, что DM = MN. Прямые AC и DN пересекаются в точке P, а прямые AB и DM — в точке R. Докажите, что RP = PD.

    6. Из точки M на основании BC равнобедренного треугольника ABC проведены прямые, параллельные боковым сторонам, и пересекающие стороны AB и AC в точках P и Q. Прямые PQ и BC пересекаются в точке N. Докажите, что NB+NC  2MN.

    7. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, такой, что AC = BC, AD > DC, ADC = 60. Докажите, что AD+DC > BD.

    8. Через точку P на стороне AC треугольника ABC проведена прямая, параллельная медиане AM, которая пересекает сторону BC в точке E, и прямая, параллельная медиане CN, которая пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что медианы AM и CN разбивают отрезок EF на три равные части.

    9. Диагонали AC и BD трапеции ABCD (AB||CD) пересекаются под прямым углом в точке O. Точки M и N расположены на лучах OA и OB соответственно так, что углы ANC и BMD прямые. Точка E — середина отрезка MN. Докажите, что прямая OE перпендикулярна основаниям трапеции.

    10. На отрезке AC отмечена точка B. На отрезках AB и BC построены равносторонние треугольники ABM и BCN по одну сторону от прямой AC. На отрезке AB отмечена точка P. Прямые NP и MB пересекаются в точке Q. Докажите, что CQ ≤ NP.

    11. Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC. Биссектрисы углов ADB и ADC пересекают AB и AC в точках M и N, а биссектрисы углов ABD и ACD пересекают DM и DN в точках K и L соответственно. Докажите, что AM= AN тогда и только тогда, когда MN || KL.

    12. Точка D — середина стороны BC треугольника ABC. На сторонах AB и AC нашлись точки M и N, не являющиеся их серединами и такие, что AM2+AN2 = BM2+CN2 и MDN = BAC. Докажите, что угол A — прямой.

    13. Серединные перпендикуляры к сторонам остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая AO пересекает сторону BC в точке D. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что OD = BD = BC/3.

    Работают ли методы «параллельных палочек» и «идеального» построения?-4 (35 ТЮМ)

    1. BH — высота, а BM — медиана остроугольного треугольника ABC, в котором BC > AB. На стороне AC выбрана точка L таким образом, что CL = 2HM. Докажите, что AB = BL.

    2. В треугольнике ABCA = C+30. На стороне BC выбрана точка K такая, что AB = 2BK. Докажите, что AK ≤ KC.

    3. Дан прямоугольник ABCD, в котором DA > AB. На стороне DA отложен отрезок DE = AB, а на стороне BA — отрезок BZ = AE. K — точка пересечения BE и DZ. Докажите, что CK перпендикулярно BE.

    4. Точка F — середина медианы BD треугольника ABC. Точка E на стороне BC такова, что DE  BC. Докажите, что если AB = AE, то AFD = FED.

    5. В треугольнике ABCB = 30, C = 20. Точки D и E на сторонах BC и AC соответственно таковы, что AC = DC, EC = BD. Найдите EBC.

    6. На диагонали BD выпуклого четырёхугольника ABCD отмечена такая точка E, что AB = DE, BC = AE и CBD = BAE. Докажите, что ABD = 2BDC.

    7. Настороне AB треугольника ABC отмеченыточки D и E,анабиссектрисеугла A —точка F.Известно,что AD= DB, AC= BE,апрямые AB и DF перпендикулярны.Докажите,что CF= EF.

    8. В выпуклом четырехугольнике ABCDDBA = 30, ACB = 45, CAD = 30 и BDC = 75. Найдите разность углов A и C.

    9. Точки E и F на сторонах BC и CA треугольника ABC соответственно таковы, что CE/CB+CF/CA = 1 и CEF = CAB. Пусть M — середина EF и G — точка пересечения прямой CM с отрезком AB. Докажите, что треугольники FEG и ABC подобны.

    10. На стороне AC треугольника ABC отмечена такая точка D, что AB = BD = AC. Точка E симметрична точке D относительно прямой BC (то есть, отрезок DE перпендикулярен прямой BC и делится этой прямой пополам). Докажите, что AE = BC.

    11. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) BAC = 20. M — проекция точки C на сторону AB; N — точка на стороне AC такая, что 2CN = BC. Найдите угол AMN.

    12. Точки D, E, F расположены на сторонах BC, CA, AB остроугольного треугольника соответственно так, что CD/CE = CA/CB, AE/AF = AB/AC и BF/BD = BC/BA. Докажите, что AD, BE и CF — высоты треугольника ABC. (Индия, региональная олимпиада, 2009?)

    13. Медиана AD и высота BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке F. Известно, что BF = FD. Докажите, что C > 30.

    14. В равнобедренном треугольнике ABC с углами A = B = 80 биссектриса угла C пересекает серединный перпендикуляр к AC в точке O. Прямая BO пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что AB = CD.

    15. В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CF и медиана BM. Оказалось, что CF = BM. Докажите, что MBC = FCA тогда и только тогда, когда треугольник ABC равнобедренный.

    16. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC соответственно отмечены точки D, E и G. Прямая DE пересекает продолжение стороны AC за точку C в точке F. Оказалось, что ACB = AED = 2BED, DF = FG и DE = EC. Докажите, что AD = GE.

    написать администратору сайта