ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ПОКРЫТИЙ Нуманов О.Р., Набизода М.Ш., Муродов З.С., Пардаев Х.А. Таджикский технич. Расчёт пологих оболочек по безмоментной теории
 Скачать 95.81 Kb.
|
|
РАСЧЁТ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПО БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ Нуманов О.Р. Набизода М.Ш., Сангинов А.С. (ТТУ им. академика М.С. Осими, г. Душанбе) Аннотация. В данной статье приведены расчёт отдельностоящих и неразрезных пологих оболочек положительной кривизны по безмоментной теории. Ключевые слова. Пологая оболочка, неразрезность, безмоментная теория, деформация, усилия, нагрузка, линейная теория, нелинейная теория, диафрагма. Расчёт пологих оболочек двоякой кривизны по безмоментной теории производят при (dz/dx)2«1. (dz/dу)2«1. Пренебрегая квадратами производных и их произведениями, т. е. считаем ds1 ≈ dx и ds2 ≈ dу. Таким образом, условия равновесия пространственного элемента оболочки могут быть заменены условиями равновесия его горизонтальной проекции. В зависимости от степени пологости и характера нагрузки расчет пологих оболочек может производиться по безмоментной или моментной упругой теории, при этом и безмоментное и моментное теории могут быть линейными и нелинейными [1]. Так как нелинейная теория учитывает вертикальные деформации (прогибы) оболочки под воздействием нагрузки, то расчёт по этой теории следует вести только для весьма пологих оболочек, в которых подъём соизмерим с их толщиной и прогибом, т.е. при f/δ  где f= f1+ f2.Очевидно, что нелинейные факторы ухудшают условия работы оболочки, поэтому рекомендуется избегать таких конструкций оболочек с весьма малыми подъёмами. В работе [2] предложен метод, позволяющий более точно решать вопрос о том, что какой способ расчёта применить к той или иной оболочке – по линейной теории или по нелинейной. Для этого по нелинейной теории определяют прогиб от расчётной нагрузки в середине оболочки. После этого также определяют нагрузку в середине оболочки, только по линейной теории. Необходимо отметить, что при равных прогибах нагрузка, вычисленная по линейной теории, будет больше нагрузки, вычисленной по нелинейной теории. Если соотношение нагрузок k= qл /q <1,05, расчёт можно производить по линейной теории, если же k= qл /q >1,05, т.е. разница между нагрузками существенна, расчёт надо производить по нелинейной теории. Расчёт тонких оболочек с относительно большим подъёмом при равномерно распределённой нагрузке можно выполнять по безмоментной линейной теории. Учёт изгибающих моментов необходимо производить только вблизи опорного контура. Пренебрегая при расчёте оболочек изгибающими моментами, мы тем самым пренебрегаем тангенциальными деформациями срединной поверхности, учитывая только её вертикальные перемещения. Далее коротко изложим метод расчёта тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны по безмоментной линейной теории. Рассмотрение условий равновесия элемента оболочки, находящегося под действием вертикальной нагрузки q, приводит к трём дифференциальным уравнениям равновесия:   q. (1)Третье уравнение (1) легко можно быть преобразовано и намного упрощено для эллиптического параболоида. При этом смешанная производная обращается в нуль, а вторые производные по х и у есть не что иное, как кривизны главных парабол в вершине оболочки, т.е. главные её кривизны. Таким образом, окончательно имеем:  r1 + r2 = q. (2)Уравнение (2) является уравнением равновесия всех сил, спроектированных на вертикальную ось. При расчёте оболочек с поверхностью эллиптического параболоида приближенно полагают кривизны оболочки постоянными, равными её главным кривизнам, что позволяет применять (2) для любой точки поверхности. Пользуясь (1), можно дать решение неизвестных усилий N1, N2 и S в виде бесконечных рядов. Для этого вводят функцию напряжений F так, что r1 N1=  ; N2= ; S= . (3)Легко видеть, что выражение (3) удовлетворяют первым двум уравнениям (1). Подставляя функцию F в (2), получаем: 1/r1·  1/r2· q. (4)Произведя замену переменных: у=η/  1 ; х=ξ/ 2 ,получим гармоническое уравнение Пуассона:  q. (5)При решении уравнения (5) необходимо учитывать условия закрепления оболочки на её контуре (условия неразрезности). Необходимо отметить, что на краю безмоментной оболочки мы вправе распоряжаться только теми усилиями или перемещениями, которые действуют по касательной к поверхности. Для отдельно стоящих оболочек контурные диафрагмы обычно предполагаются абсолютно жёсткими в вертикальной плоскости и податливыми из неё. Такой вид закрепления приводит к тому, что нормальные усилия, действующие перпендикулярно плоскости диафрагмы, обращаются на краю оболочки в нуль. Нагрузки от оболочки на диафрагмы передаются, таким образом, только через касательные усилия. После постановки граничных условий решение может быть получено в двойных тригонометрических или, что удобнее, в одинарных гиперболо - тригонометрических рядах. Указанные формулы приведены в формулах 6.3 и 6.4 Руководства [3]. Необходимо отметить, что при расчёте отдельно стоящей оболочки по безмоментной теории делается предположение об абсолютной податливости контурных диафрагм в горизонтальном направлении по всей их длине. Эти граничные условия связываются с равенством нулю нормальных усилий на контуре, перпендикулярных краю оболочки. Выше рассматривали условия расчёта отдельно стоящей оболочки со свободным опиранием по всему контуру. Между тем наиболее употребительной формой оболочек, применяемых для покрытия многопролётных зданий, являются многоволновые оболочки, обычно выполняемые как неразрезные (Рис. 1).
Рис. 1. Многоволновые неразрезные железобетонные пологие оболочки положительной гауссовой кривизны. а) однорядные; б) многорядные. 2а и 2б размеры сторон оболочки Условия закрепления на контуре неразрезных пологих оболочек, имеющих по линии сопряжения общую диафрагму, намного отличаются от условий закрепления одноволновых оболочек. В этом случае необходимо отличать однорядные (рис.1, а) и многорядные (рис.1, б) оболочки. С достаточной для практики точностью можно полагать, что по внешним линиям контура неразрезных оболочек имеет место те же условия, что и на внешнем контуре отдельно стоящей оболочки, т.е. что на контуре отсутствуют нормальные усилия, направленные перпендикулярно оси диафрагмы, а сама диафрагма, будучи абсолютно жесткой в своей плоскости, не сопротивляется усилиям, стремящимся вывести её из плоскости. Соединение оболочки с диафрагмой по-прежнему предполагается шарнирным. Диафрагмы в виде арок, балок, ферм, а также криволинейных брусьев на ряды колонн, расположенные по внутренним контурам, т.е. общие для двух соседних оболочек, можно приближённо полагать несмещающимися как в своей плоскости, так и из неё. Очевидно, что в этом случае нормальные усилия, направленные поперёк оси диафрагмы, не обращаются в нуль. Присоединение оболочки к диафрагме предполагается жёстким (заделка). 1 2 3 4 5 6     х х х х х х            а        а у у у у у у  b b   Рис. 2. Граничные условия неразрезных железобетонных пологих оболочек покрытия Исходя из вышеуказанного, задача о расчёте неразрезных пологих оболочек положительной гауссовой кривизны может быть приближённо сведена к расчёту одноволновых оболочек с различными контурными закреплениями. На рис. 2 показаны шест случаев контурных закреплений (двойной линией обозначен контур, условно не смещаемый в горизонтальном направлении). Решение для первого случая (отдельно стоящая оболочка) было дано выше. Решение средней оболочки (случай 6) приводит к весьма простым результатам – сдвигающие усилия на всей её поверхности обращаются в нуль, а нормальные усилия приобретают вид: N1=- qr1  ; N2=- qr1 , (6)где p=r2/r1=k1/k2. Нормальные сжимающие усилия постоянны по всей поверхности оболочки. При равных кривизнах (р=1) N1= N2=-  . (6а)Второй случай граничных условий даёт следующие значения усилий (обращаем внимание на положение координатных осей на рис. 2, 2): N1=-  r1 х S=-  х (7)где An=2p2 sh nπ  -(1-p)2 nπ 2-2p-1) th nπ Вn=2p2 (ch nπ -1)-(1-p)2 nπ th nπ Cn=(1+p)2 sh nπ  2;p= k1/k2=r2/r1. Третий случай граничных условий: N1=-  r1p2 х S=-   2 х . (8)Формулы для четвёртого и пятого случаев, с целью упрощения, приведены для сферической поверхности, когда р=1, т.е. r1 = r2 = r. Четвёртый случай граничных условий: N1=  ;S=  r  . (9)Пятый случай граничных условий: N1= ;S=  r  (10)Расчёт оболочки для третьего случая граничных условий обычно может быть выполнен посредством тех же таблиц коэффициентов  и  , с помощью которых рассчитываются свободно стоящие оболочки.Действительно, первую формулу системы (8) можно преобразовать, представив входящий в неё гиперболо-тригонометрический ряд в виде произведения другого ряда, входящего в уравнение 1V.12 [1] для отдельно стоящей оболочки, нагруженной равномерно распределённой нагрузки и множителя χ. Искомый множитель χ, представляющий собой частное от деления двух рядов, сходится весьма быстро.χ=  . (11)Тот же коэффициент аналогичным образом может быть получен для сдвигающих усилий. Теперь можно написать выражение для безмоментных компонент усилий для третьего случая граничных условий, пользуясь известными таблицами коэффициентов и  составленными для свободно стоящей оболочки:N1= r1 χ, N2= r2(1- χ), S= (12)где χ=4p2 χ=  . (13)Выше отмечалось, что выражение для поправки сходится весьма быстро. Сходимость поправки зависит лишь от геометрических параметров оболочки pи  , входящих в (13).Имея решение для отдельно стоящих оболочек (случай 1) и для средних ячеек многоволновых оболочек (случай 3 и 6), можно приближённо рассчитать оболочки с любыми граничными условиями, не прибегая к (7), (9) и (11). Так, например, при системе неразрезных однорядных оболочек (рис. 1, а) расчленим мысленно крайнюю оболочку по её оси на две половины. Та её половина, которая примыкает к свободному наружному краю, может быть приближённо рассчитана и сконструирована как отдельно стоящая оболочка; та же половина оболочки, которая примыкает к соседней средней ячейке и имеет с ней общую диафрагму, может быть рассчитана и сконструирована как средняя оболочка (случай 3 граничных условий). При проектировании неразрезных многоволновых оболочек надо обращать внимание на следующее обстоятельство: две соседние оболочки, имеющие общую диафрагму, испытывают взаимное давление по линии их сопряжения (поскольку по внутренним краям усилия, направленные нормально к ним, вообще говоря, не равны нулю). В средних ячейках оболочек (случай 3 и 6) боковые давления на её противоположных краях уравновешиваются. Другое дело – в крайних и угловых ячейках (случай 2, 4 или 5), где боковое давление соседней оболочки не уравновешивается на противоположном, свободном крае. Оболочка как бы стремится оттолкнуться от соседней, причём при расчёте по безмоментной теории суммарная горизонтальная сила отпора может оказаться весьма значительной. Следует оговориться, что вопрос о взаимном «отталкивании» соседних оболочек, имеющих общую диафрагму, нуждается в дополнительном исследовании. Напомним в связи с этим, что безмоментная теория расчёта пологих оболочек двоякой кривизны базируется на трёх основных предположениях: во-первых, равенство нулю изгибающих моментов, а, следовательно, и соответствующих им поперечных усилий по всей поверхности оболочки; во-вторых, контур оболочек абсолютно жёсткий в своей плоскости; в-третьих, контурные элементы не сопротивляются усилиям, направленным нормально их плоскости. Мы уже останавливались на неточности третьего предположения, особенно в угловых зонах оболочки. Обращаясь к первому предположению о безмоментном напряжённом состоянии оболочки, необходимо отметить, что, как будет показано далее, это предположение вблизи контура не оправдывается. Вблизи контура возникают существенные краевые изгибающие моменты и соответствующие им поперечные силы; отсюда вытекает, что нагрузка с оболочки на контур передаётся не только через сдвигающие усилия, как это следует из безмоментной теории, но и через поперечные силы, соответствующие моментному состоянию. Значит, безмоментные компоненты напряжённого состояния в действительности меньше вычисленных по безмоментной теории, в том числе меньше нормальные усилия, вызывающие взаимное «отталкивание» на общей диафрагме многоволновых оболочек. Обратимся, наконец, к рассмотрению второго предположения – об абсолютной жёсткости контурных диафрагм в вертикальной плоскости. Реальные диафрагмы имеют конечную жёсткость. Они прогибаются в вертикальной плоскости, что сопровождается прогибом совместно с ними работающих оболочек. Упругость диафрагм существенно сказывается на напряжённом состоянии оболочки. В 1962 г. в Ленинграде были проведены экспериментальные исследования на моделях оболочек двоякой кривизны, в ходе которых замерялись деформации свободного края оболочки при абсолютно жёсткой и при упругоподатливой диафрагме. В первом случае контур деформировался наружу по всей длине в соответствии с безмоментной теорией. Во втором случае контур вблизи углов претерпел незначительную деформацию наружу, а в средней части прогнулся внутрь. Изменение знака деформации свидетельствует об изменении знака усилия. Затем был проделан следующий опыт: один край оболочки закреплялся только от горизонтального смещения; в вертикальном направлении контурный элемент оставался упругоподатливым. При нагружении модели были замерены усилия, возникающие в скорлупе оболочки и направленные нормально к контуру. В полном соответствии с предыдущим экспериментом приборы в средней зоне контура показали растяжение плиты. По данным ЦНИИСК, также производившего опыты над моделью с упругоподатливым контуром, край оболочки в средней зоне тоже деформировался внутрь – оболочка «сворачивалась». Значить, упругоподатливая диафрагма может изменить не только величину усилия вблизи контура, но даже и его знак. Правильный учёт влияния податливости диафрагм и совместной работы оболочки с диафрагмой позволит уточнить конкретные усилия; в зависимости от степени податливости диафрагмы усилия взаимодействия двух соседних волн могут изменить знак на обратный. Выводы: 1. Расчёт тонких оболочек с относительно большим подъёмом при равномерно распределённой нагрузке можно выполнять по безмоментной линейной теории; 2. При расчётах необходимо учитывать условия закрепления оболочки на её контуре, т.е. условия неразрезности; 3. При расчёте отдельно стоящей оболочки по безмоментной теории делается предположение об абсолютной податливости контурных диафрагм в горизонтальном направлении по всей их длине; 4. Диафрагмы, расположенные по внутренним контурам, т.е. общие для двух соседних оболочек, можно приближённо полагать несмещающимися как в своей плоскости, так и из неё. В этом случае нормальные усилия, направленные поперёк оси диафрагмы, не обращаются в нуль. Присоединение оболочки к диафрагме предполагается жёстким; 5. Упругость диафрагм существенно сказывается на напряжённом состоянии оболочки. Литература: 1.Горенштейн Б.В. Железобетонные пространственные покрытия (Методы разработки и проектирования цилиндрических оболочек, складок и оболочек положительной кривизны). Л., СИ. Ленинградское отделение. 1976, 160 с. 2.Лукаш П.А. Расчет пологих оболочек и плит с учётом физической и геометрической нелинейности. – Сб. «Расчёт конструкций, работающих в упругопластической стадии», М., Госстройиздат, 1961. 3.Руководство по проектированию железобетонных пространственных конструкций покрытий и перекрытий/ НИИЖБ Госстроя СССР. - М.: Стройиздат, 1979. - 421 с. Annotation. This article presents the calculation of separate and continuous sloping shells of positive curvature according to the momentless theory. Аннотатсия. Дар мақолаи мазкур ҳисоби гумбазҳои болопӯши алоҳида ва нобуридаи қатшавиашон мусбат мувофиқи назарияи бемоментӣ оварда шудаанд. Keywords. Gentle shell, continuity, momentless theory, deformation, effort, load, linear theory, nonlinear theory, diaphragm. Калитвожаҳо. Ҷилди моил, нобурида, назарияи бемоментӣ, шаклдигаркунӣ, қувваҳо, боргузорӣ, назарияи хаттӣ, назарияи ғайрихаттӣ, диафрагма. Сведения об авторах 1.Нуманов Олим Рахимович – 1955 г.р., выпускник (ТПИ 1977г.) ТТУ, докторант каф. «ПГС», к.т.н., доцент кафедры «Строительство дорог, сооружений и транспортных коммуникаций» ТТУ им. акад. М.С.Осими, автор более 100 науч. работ, область научных интересов - исследование работы неразрезных пространственных конструкций покрытий в сейсмических районах; исследование поведение транспортных сооружений в сейсмических районах. Личные данные: тел.(992) 98-547-15-55, E-mail nor5@mail.ru 2.Набизода Мухаммадтаиби Шариф – соискатель, ст. преп. кафедры «СД, С и ТК» ТТУ им. акад. М.С. Осими, область научной деятельности – пространственные конструкции покрытия, проектирование и строительства дорог. Личные данные: тел.(992) 907-990-300, E-mail nabizoda-90@mail.ru 3.Сангинов Анзор Сатторович – выпускник ТТУ 2015 г., закончил магистратуру в Тюмени РФ в 2017 г., докторант PhD кафедры «СД, С и ТК» ТТУ им. акад. М.С.Осими, область научной деятельности – пространственные конструкции покрытия. Личные данные: тел. (992) 887-786-060. |