Контрольная термех. Динамика вариант 14. Расчётнографическая работа по разделу Динамика
 Скачать 489.33 Kb.
|
|
Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д.Ф. Устинова Кафедра теоретической механики и баллистики Расчётно-графическая работа №___ по разделу «Динамика» Вариант № 14 Выполнил:__________________ Группа_______ Проверил:___________________ Санкт-Петербург 20__ Задание 1 Материальная точка М движется относительно стержня АВ (цилиндрический канал АВ). Движение стержня АВ задано. Определить движение точки М относительно стержня и давление, производимое ею на стенки стержня. Данные, необходимые для решения задач, приведены в таблице, где  – вес точки  ,  – угловая скорость (постоянная величина), l – длина недеформированной пружины,  – начальная скорость точки М относительно подвижного тела (при  ), φ0– значение угловой координаты φ при статическом равновесии вещественной точки,  – жёсткость пружины.
Оси  и  направлены перпендикулярно плоскости чертежа. Переносное движение – вращение вокруг горизонтальной оси. В начальный момент времени пружина не напряжена. Ход решения Решение. Дано:  ,  ,  ,  при начальных условиях:  ,  м/с.   Рис. 1 Рис. 2 Система отсчёта, оси координат приведены на рис. 1, действующие силы на рис.2. Подвижную систему координат  удобно жёстко связать со стержнем  . Неподвижная система координат  связана с осью вращения стержня.Стержень равномерно вращается вокруг неподвижной оси  . На шарик в стержне действуют следующие силы:1) сила тяжести  ; 2) сила упругости пружины  ( – коэффициент пропорциональности); 3) реакция трубки  , имеющая составляющую  (предполагаем отсутствие силы трения в трубке, поэтому  , все силы приложены в плоскости вращения и  ). Для определения давления материальной точки на стенки стержня необходимо найти силу реакции стержня:  .Трубка вращается равномерно, поэтому переносное ускорение имеет только осестремительную составляющую  . Переносная сила инерции направлена от оси вращения и её модуль равен  .Кориолисова сила инерции  направлена противоположно оси  ,  .С учетом всех названных сил, согласно основному уравнению динамики в подвижной системе координат имеем . (1)В проекциях на оси подвижной системы координат имеем систему уравнений (2)Учитывая, что  и следовательно  получаем систему из трех уравнений  (3)Первое уравнение равносильно:  (4)Численное значение  Если обозначить  , тогда  (5)Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение складывается из общего решения однород- ного уравнения х11 и частного решения неоднородного уравнения х12: х1 =х11 + х12. Найдём общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид  Его корни мнимые, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид  . (6)Для нахождения частного решения дифференциальногом уравнения, обусловленного членом –  , будем использовать метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Заменим произвольные постоянные в общем решении на функции  и  . Учитывая (5) и (6), составим систему уравнений для нахождения решения: (7)Решим эту систему уравнений методом Крамера:     где С1– постоянная интегрирования;    где – постоянная интегрирования; Далее частное решение, обусловленное постоянным членом  ищем в виде  , поэтому  , следовательно,    Таким образом, решение для х1 имеет вид   Подставив начальные условия  ,  ,  м/с в полученные уравнения, находим постоянные интегрирования С1 и С2:   Подставив константы  и , получим уравнение относительного движения точки:   Тогда сила реакции стержня равна:  Подставив данные, получим закон движения точки в неинерциальной системе отсчёта   Получаем величину силы реакции трубки  Задание 3 В  соответствии с выданным вариантом задания привести схему грузовой лебедки и поднимаемого груза по наклонной плоскости (см. рис. 3.6 и 3.7, табл. 3.1 и 3.2).Рис.3 Схема редуктора  Рис.4 Схема груза Параметры редукторов
Параметры поднимаемого груза
Кинематический расчет редуктора. В редукторе вращение ведущего вала с угловой скоростью ω1 передается на ведомый вал 2 следующим образом. Водило 3, вращаясь с угловой скоростью ω1, приводит в движение систему шестерен 4, 6, закрепленных на общей оси 4-6. Шестерня 4 находится в зацеплении с опорной шестерней 5. Подвижные шестерни 4, 6 совершают спинное движение: вращаясь вокруг оси 4-6 (относительное движение), вместе с этой осью вращение переносится водилом вокруг центральной оси 1-2 редуктора (переносное движение); шестерня 7 находясь в зацеплении с осью 4-6, приводит в движение ведомый вал 2. Расчет кинематики редуктора проводится методом мгновенного центра скоростей. Пусть угловая скорость ведущего вала  Мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 4, 6 проходит параллельно центральной оси 1-2 через точку касания Kшестерни 5 и шестерни 4. Эта точка  является мгновенным центром скоростей. Так как в рассматриваемой конструкции редуктора мгновенный центр скоростей располагается между осями переносного и относительного движений, то мгновенная ось абсолютного вращения делит расстояние между осями переносного  и относительного движений  внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей, скорость результирующего движения равна сумме угловых скоростей составляющих движений (1) (2)или  (3)Из (2) и (3) находим скорость абсолютного вращения:  (4)Для определения угловой скорости вращения шестерни 7, и следовательно, и угловой скорости ведомого вала 2 воспользуемся тем, что абсолютные скорости точек шестерен 6 и 7 в точке С их зацепления равны между собой, поскольку нет относительного проскальзывания:  Таким образом,  (5)или учитывая, что   (6)Передаточное число редуктора  , (7)или  . (8)Расчет кинетической энергии системы.Кинетическая энергия редуктора вместе с барабаном складывается из энергии ведущего вала и ведущей шестерни 3  , энергии спаренной шестерни  , энергии шестерни 7, вала 2 и барабана.Водило и вал 1 вращаются вокруг неподвижной оси и их кинетическая энергия  Шестерни 4-6 совершают сложное движение. Поэтому кинетическую энергию шестеренок 4 и 6 найдем как половину произведения момента инерции относительно мгновенной оси вращения и квадрата абсолютной угловой скорости (4). Момент инерции относительно мгновенной оси вращения определяется с помощью теоремы Штейнера  (9)В итоге,  (10)Шестерня 7 с ведомым валом и барабаном вращаются вокруг неподвижной оси и их кинетическая энергия равна  (11)Суммарная кинетическая энергия лебедки  (12)Кинетическая энергия груза определяется по теореме Кенига  (13)где  , (14) , (15)rбар – радиус барабана. барабан  R  Рис. 4. Барабан и поднимаемый груз (вид сбоку) Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий лебедки и груза:   , (16)где  – приведенный момент инерции.Вычисление элементарной работы сил, действующих на систему. Работа сил на элементарном перемещении при движении груза без проскальзывания складывается из работы момента, приложенного к барабану,  работы момента сопротивления в редукторе, условно приведенного ко второму валу, работы силы тяжести груза , где  – элементарное изменение высоты центра тяжести груза, работы момента трения качения, действующего на груз, , где  – элементарный угол поворота груза. Все элементарные перемещения, на которых совершается работа, вызваны поворотом вала 1 Рис. 5 Плоское движение груза Таким образом,  (17)Отметим, что только работа момента  входит с положительным знаком в работу  так как моменты  ,  и сила  имеют отрицательную мощность.Из соотношений (6) и (14)    здесь    и, следовательно,  (18)Формула для элементарной работы переписывается следующим образом:  (19)Момент по условию пропорционален угловой скорости  : Сила трения качения  определяется по закону где  – нормальная составляющая реакции наклонной плоскости на груз. Для ее нахождения требуется рассмотреть уравнения плоскопараллельного движения груза: (20) (21) (22)Так как  ,то и, следовательно, из уравнения (3.9)  Для нахождения зависимости  воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Cила F является внутренней силой системы и при нерастяжимости троса ее работа равна нулю.Дифференциал кинетической энергии имеет вид  (22)Подставим выражения (19) и (22) в теорему об изменении кинетической энергии  и сократим левую и правую части полученного выражения на  В результате этих действий записываем дифференциальное уравнение для определения угловой скорости первого вала которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и имеет аналитическое решение  (23)где   Натяжение свободного участка троса в зависимости от времени.Для нахождения силы натяжения троса F применим теорему об изменении кинетического момента для груза относительно мгновенного центра скоростей – точки  : (24)Здесь использовали теорему Штейнера для определения момента инерции относительно оси, проходящей через точку перпендикулярно плоскости рисунка. Зависимость величины  от времени известна, так как  , где угловая скорость  известна из формулы (23). Из формулы (24) находим величину силы F: (25)Задание 4 В дифференциальной передаче, расположенной в горизонтальной плоскости, к водилу O1O2 приложен постоянный вращающий момент M. Шестерня 1 весом Q и радиусом R свободно насажена на общую с водилом ось O1 и может вращаться вокруг нее независимо от водила. С шестерней 1 во внешнем зацеплении находится шестерня 2 весом Q и радиусом r. Считая водило однородным стержнем весом P, а шестерни однородными дисками и пренебрегая трением, определить угловые ускорения водила и шестерни 1. За обобщенные координаты принять углы поворота водила ψ и шестерни 1φ.  Тела, входящие в систему: шестерня 1 совершает вращательное движение вокруг оси O1, водило и шестерня 2 вращаются вокруг O1. 2. Число степеней свободы s = 2. 3. Обобщенные координаты: q1 = ψ – угол поворота водила, q2 =  – угол поворота шестерни 1; обобщенные скорости   4. Уравнения Лагранжа второго рода:   5. Кинетическая энергия системы  .Кинетическая энергия водила:   – момент инерции стержня (водила).Кинетическая энергия шестерни 1:   Кинетическая энергия шестерни 2:   - кинетическая энергия вращения шестерни вокруг оси O1 ,  - кинетическая энергия вращения шестерни вокруг оси O2 , ,   , тогда  и  .Кинетическая энергия системы будет определяться выражением  Касательная составляющая силы реакции действующей на шестерню 2 со стороны шестерни 1:  Обобщенная сила соответствующая обобщенной координате  :  .Обобщенная сила соответствующая обобщенной координате :   , , .для углового ускорения  имеем:   ,  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||