История Росии. Реферат ма. Реферат по предмету Высшая математика (часть 1) По тему Прямая на плоскости и в пространстве
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ РЕФЕРАТ По предмету : Высшая математика (часть 1) По тему : Прямая на плоскости и в пространстве. Группа: ЭН 118(2) Выполнил: Мусаев Р.Р 9. Прямая на плоскости и в пространстве. Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат. Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию. Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t. Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, Причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: - C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат - А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох - В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу - В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу - А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий. Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: И обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Определение. Каждый ненулевой вектор (a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0. Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или , где Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу. Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2. Нужна курсовая работа? От 24 ч Без плагиата! Поможем написать курсовую. Комплексное сопровождение. Опыт 17 лет.Без плагиата! Поможем написать курсовую. Комплексное сопровождение. Опыт 17 лет. Rosdiplom.biz Перейти Яндекс.Директ Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений. Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как . Общие уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей. Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением: × + D = 0, где - нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости. Пусть в пространстве заданы две плоскости: × + D1 = 0 и × + D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z). Тогда общие уравнения прямой в векторной форме: Общие уравнения прямой в координатной форме: Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду. Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям. Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство: A . При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору . Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения: Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А. Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами: ; в некотором базисе . Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А . Или Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно. Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А. Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l – корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l. Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов. Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l. Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направлениеили собственную прямую. Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые. Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия. Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то , где l – собственное значение (характеристическое число) преобразования А. Если матрица линейного преобразования А имеет вид: , то Характеристическое уравнение: Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня. Плоскость в пространстве – необходимые сведения. В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве. Раздел. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ посвящен всестороннему изучению линий на плоскости, плоскостей и линий в пространстве. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Общее уравнение прямой на плоскости. 2. Канонические уравнения прямой на плоскости и в пространстве. 3. Прямая с угловым коэффициентом. 4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. 5. Параметрические уравнения прямой. 6. Нормированное уравнение прямой. 7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.  Общее уравнение прямой на плоскости. Докажем, что если на плоскости π фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое уравнение 1 -ой степени с двумя переменными х и у определяет относительно этой системы прямую линию. У L 0 π х Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система 0 ху и задано уравнение 1 -ой степени: Ах+Ву+С=0 (1). Это уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение (х0; у0): Ах0+Ву0+С=0 (2). Вычитаем (1)-(2), получаем: А(х-х0)+В(у-у0)=0 (3). Уравнение (3) эквивалентно уравнению (1).  Уравнение прямой, плоскости. 1. Общее уравнение прямой на проходящей через Докажем, что уравнение данную точку перпендикулярно данному вектору у L А(х-х0)+В(у-у0)=0 (3) определяет прямую L, проходящую через точку М 0 (х0; у0) и перпендикулярную вектору n={А; В}. N М 0(х0; у0) М(х; у) 0 х Пусть точка М (х; у) лежит на указанной прямой, тогда векторы n={А; В} и М 0 М={х-х0; у-у0} ортогональны и их скалярное произведение равно нулю (т. Е. , n М 0 М=0): А(х-х0)+В(у-у0)=0. Уравнение Ах+Ву+С=0 (1) с произвольными коэффициентами А, В и С такими, что А≠ 0 и В≠ 0 одновременно, называется общим уравнением прямой. Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (1), ортогональна к вектору n={А; В}. Этот вектор называется нормальным.  2.Канонические уравнения прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляюшим вектором этой прямой. Задача. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку М 1(х1; у1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l; m}. Пусть точка М (х; у) лежит на указанной пря-мой, тогда векторы q={l; m} и М 1 М={х-х1; у-у1} коллинеарны, т. Е. координаты этих векторов пропорциональны: у L М 1(х1; у1) q 0 М(х; у) х Заметим, что в каноническом уравнении (4) один из знаменателей l или m может оказаться равным нулю. Уравнение (4) – определяютсяуравнение прямой уравнения Аналогично каноническое канонические на плоскости. Проходящей через данную точку пространства М 1 имеющей заданный направляющий вектор q={l; m; n}: прямой, (х1; у1; z 1) и (5) – канонические ур-ия прямой в простр-ве. П  рямая с угловым коэффициентом. Если прямая параллельна оси 0 х или совпадает с Рассмотрим прямую, этой прямой к осиоси 0 х. непараллельную 0 х будем ней, то угол наклона у считать понятие Введем равным 0. Угла наклона этой прямой к оси 0 х. угла наклона прямой к оси 0 х назовем Тангенс угловым коэффициентом этой пересекает Пусть рассматриваемая прямой: k=tgα. Ось 0 х в точке А. оси 0 х: k=0. Для прямой ║-ой L N А α 0 х М Возьмем на оси 0 х произвольную точку М, лежащую по ту сторону от Для А, куда ┴-ой оси ось 0 х, а точкипрямой направлена 0 х: k=∞. На рассматриваемой прямой произвольную точку N, лежащую по ту сторону от точки А, куда направленаточку М (х ; у ) Выведем уравнение прямой, проходящей через данную ось 0 у. 1 1 1 и имеющей данный угловой коэффициент k. Данной прямой к оси 0 х. Угол α= ﮮ NAM назовем углом наклона Утверждение. Если прямая не параллельна(7) – 0 у и имеет направ. Уравнение оси уравнение прямой с ляющий вектор q={l; m}, то угловой угловым коэффициентом. Коэффициент этой прямой k=m/l. B – представляет собой величину отрезка, Для того, чтобы вывести уравнение отсекаемого данной прямой назаданную прямой, проходящей через оси 0 у, начиная от начала координат. Точку М (х ; у ) и имеющей заданный угловой коэффициент k, умножим 1 1 1 обе части канонического уравнения (4) на m и учтем, что m/l=k. Получим: у-у1=k(х-х1); у=kх+b (7), b=у1 -kх1. У  равнения прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две точки: М 1(х1; у1) и М 2(х2; у2) М 1(х1; у1; z 1) и М 2(х2; у2; z 2) Ур-ия прямой, проходящие через две данные точки, имеют вид: (8) Для их получения достаточно заметить, что прямая проходит через точки: М 1(х1; у1) и М 2(х2; у2) М 1(х1; у1; z 1) и М 2(х2; у2; z 2) и имеет направляющий вектор: q=М 1 М 2={х2 -х1; у2 -у1} q=М 1 М 2={х2 -х1; у2 -у1; z 2 -z 1} и воспользоваться каноническими уравнениями.  Параметрические уравнения прямой. Получаются из канонического уравнения. Примем за параметр t каждое из отношений в канонических уравнениях (-∞  Нормированное уравнение прямой. Рассмотрим какую угодно прямую L. Проведем через начало координат прямую n┴L, обозначим буквой Р точку пересечения указанных прямых. На прямой n возьмем единичный вектор n, направление которого совпадает с направлением отрезка ОР. У n L Р Θ М х 0 Цель: выразить уравнение прямой L через два параметра: 1) длину р отрезка ОР; 2) угол Θ между вектором n и осью 0 х. Так как n – единичный вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид: Это и есть. Искомое уравнение прямой L, выраженное через и только Очевидно, что точка М(х; у) лежит на рассматриваемой прямой L тогда два параметра: Θ и р. Это уравнение тогда, когда проекция вектора ОМ на ось, определяемую вектором n, равна р, т. Е. называется нормированным. Уравнением прямой. Так как n – единичный вектор, то в силу определения скалярного произведения: . Следовательно, точка М(х; у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению: хcosΘ+уsinΘ-р=0 (10)  Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть две прямые заданы своими каноническими уравнениями: Задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла φ между их направляющими векторами q 1={l 1; m 1} и q 2={l 2; m 2} q 1={l 1; m 1; n 1} и q 2={l 2; m 2; n 2}: (11) Условие ║-ти эквивалентно условию коллинеарности q 1 и q 2, заключается в пропорциональности координат: Условие ┴-ти: =>  Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями А 1 х+В 1 у+С 1=0 и А 2 х+В 2 у+С 2=0. Так как нормальными векторами этих прямых являются соответственно векторы n 1={А 1; В 1} и n 2={А 2; В 2}, то задача об определении угла между прямыми сводится к определению cosφ между n 1 и n 2: (12) • Условие ║-ти прямых эквивалентно условию коллинеарности векторов n 1 и n 2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т. Е. : • Условие ┴-ти прямых может быть получено из (12) (cosφ=0):  Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у=k 1 х+b 1 и у=k 2 х+b 2. У φ=α 2 -α 1 φ α 1 0 • Условие ║-ти прямых: k 1=k 2 • Условие ┴-ти прямых: tgφ не существует, т. Е. 1+ k 1 k 2=0=> k 2=-1/k 1 α 2 х  Прямую линию в пространстве являющуюся линией пересечения двух различных и не параллельных плоскостей, определяемых уравнениями можно задать двумя уравнениями этих плоскостей: (5) Замечание. Для того, чтобы плоскости, определяемые уравнениями А 1 х+В 1 у+С 1 z+D 1=0 и А 2 х+В 2 у+С 2 z+D 2=0 не совпадали и не были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций: Канонические уравнения прямой в пространстве. Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства М 1 (х1; у1; z 1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l; m; n}. Заметим, что точка М(х; у; z) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы q={l; m; n} и М 1 М={х-х1; у-у1; z-z 1} коллинеарны: (6)-канонические уравнения.  Отклонение точки от прямой. Введем фундаментальное понятие отклонения произвольной точки М Правило: для нахождения отклонения δ от данной прямой L. Это правило позволяет отыскать и точки М(х0; у0) от прямой L следует в Пусть число d обозначает расстояние от точки М до прямой L. Назовем расстояние от точки М до прямой левой части нормированного уравне-ния отклонением δ точки М от прямой L число +d в случае, когда точка М и прямой L подставить на место х и у L, от расстояние число –d начало координат лежат по разные стороныибо прямой L, и равно |δ|. В случае, когда точки х0 ииу. Оточки М. одну сторону от прямой L. Координаты М 0 лежат по Если же начало координат лежит на прямой L, положим отклонение равным +d в случае, когда точка М лежит по ту сторону от L, куда направлен Укажем алгоритм приведения общего уравнения прямой к вектор n, и равным –d в противном случае. Нормированному виду: смысл левой части уравнения хcosΘ+уsinΘ-р=0 Выясним геометрическийдля приведения общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0 для любых х и у. к нормальному виду следует умножить его на нормирующий множитель , знак прямой противополо. Теорема. Левая часть нормированного уравнения которогохcosΘ+уsinΘ-р=0 жен знаку с. Равна отклонению точки М(х; у) от прямой L, определяемой этим уравнением. Доказательство. Спроектируем точку М на ось, определяемую вектором n. Пусть Q проекция точки М. Отклонение δ точки М от прямой L равно PQ: у L Р δ=PQ=OQ-OP=OQ-p, OQ=прn. ОМ=хcosΘ+уsinΘ, δ=хcosΘ+уsinΘ –p. N 0 Q М х |