высшая математика. Математика (4,16,26,35). Решение а Представим данный ряд как геометрическую прогрессию
![]()
|
Математика 5 №: 4, 16, 26, 35 № 4 Найти сумму ряда: а) ![]() ![]() Решение: а) ![]() Представим данный ряд как геометрическую прогрессию: ![]() Получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1/14 и q = 1/6, ее сумму определим по формуле: ![]() ![]() Ответ: ![]() б) ![]() Для начала разложим выражение в знаменателе на скобки: ![]() Тогда получим: ![]() Так как нижний предел суммирования не равен 1 (в нашем случае он равен 9), то выражение ![]() Изменим нижний предел суммирования на 1: Введём новый индекс таким образом, чтобы его начальное значение равнялось 1. Этот новый индекс суммирования обозначим буквой k. Итак, если n = 9, то k = 1 = n – 8, т.е. n = k + 8. Подставляем в знаменатель вместо n выражение (k + 8). При этом не забываем, что новый индекс изменяется с 1, тогда получаем: ![]() Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда: ![]() Разложим дробь ![]() ![]() Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства: ![]() Приравнивая коэффициенты, имеем: ![]() Тогда, получаем: ![]() Т.е. ![]() Составим частичные суммы для этого ряда: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В сумме S4 уничтожаются слагаемые с 6/4 , в сумме S5 уничтожаются слагаемые с 6/5 и т. д. Все частичные суммы будут состоять из 6 слагаемых. Запишем Sk, учитывая, что шестое слагаемое получается из последнего слагаемого k a при подстановке k = k, пятое слагаемое получается из того же самого слагаемого при k k – 1 и четвертое при k k – 2. Таким образом: Находим ![]() ![]() Тогда сумма ряда будет равна: ![]() Ответ: ![]() № 16 Проверить необходимое условие сходимости числового ряда: а) ![]() ![]() Решение: а) ![]() Выпишем общий член ряда: ![]() Найдем предел: ![]() Так как предел общего члена ряда равен нулю, то необходимый признак сходимости выполнен. Следовательно, ряд сходится. б) ![]() Выпишем общий член ряда: ![]() Найдем предел: ![]() Так как предел общего члена ряда не равен нулю, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится. № 26 Исследовать на сходимость ряды с положительными членами: а) ![]() ![]() Решение: а) ![]() Воспользуемся признаком Даламбера: Выпишем общий член ряда: ![]() Далее запишем: ![]() Найдем предел отношения: ![]() Так как q > 1, то по признаку Даламбера делаем вывод, что ряд расходится. б) ![]() В данном случае воспользуемся признаком Коши: Выпишем общий член ряда: ![]() Найдем предел: ![]() Так как q > 1, то по признаку Коши делаем вывод, что ряд расходится. № 35 Разложить функцию в ряд Маклорена с указанной точностью: ![]() Решение: Поскольку требуется получить разложение с точностью o(х6), то искомая формула должна иметь вид: ![]() Воспользуемся известным разложением элементарной функции ![]() ![]() Тогда, с учетом того, что ![]() ![]() ![]() ![]() Список литературы: 1. Бугров, Я.С. Высшая математика в 3 т. Т.3 в 2 книгах. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 507 c. 2. Клюшин, В.Л. Высшая математика для экономистов.: Учебное пособие для бакалавров / В.Л. Клюшин. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 447 c. 3. Лурье, И.Г. Высшая математика. Практикум: Учебное пособие / И.Г. Лурье, Т.П. Фунтикова. – М.: Вузовский учебник, 2018. – 256 c. 4. Шипачев, В.С. Высшая математика. полный курс в 2 т. том 2: Учебник для академического бакалавриата / В.С. Шипачев. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 341 c. |