алгебра геометрия №3. Решение а Решим систему уравнений методом Крамера. Вычислим определитель основной матрицы

• Название: Решение а Решим систему уравнений методом Крамера. Вычислим определитель основной матрицы
• Дата: 07.12.2020
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: алгебра геометрия №3.doc
• Тип: Решение; #157824

Дисциплина «Алгебра и геометрия»
Вариант № 3
Здание 1 Решить систему уравнений методом Крамера и методом Гаусса



Решение:

а) Решим систему уравнений методом Крамера.

Вычислим определитель основной матрицы:

_{ }=_{ }





 Так как определитель основной матрицы равен нулю, то система не может быть решена этим методом (система не имеет решений или имеет множество решений).

б) Решим систему уравнений методом Гаусса.

Перепишем систему уравнений в матричном виде



от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 5



2-ую строку делим на 5



к 1 строке добавляем 2 строку, умноженную на 2; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 12



Так как ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Здание 2 Для данной матрицы найти обратную матрицу

.

Решение:

Запишем матрицу в виде:
Главный определитель

∆=2•(3•(-3)-(-2•4))-6•(6•(-3)-(-2•5))+(-5•(6•4-3•5))=1

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:


где A_ij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.



Найдем алгебраические дополнения матрицы A^T.

_{ }=3•(-3) - 4•(-2)= -1

_{ }= -(6•(-3)-5•(-2)) = 8

_{ }=6•4-5•3=9

_{ }= -(6•(-3)-4•(-5))= -2

_{ }=2•(-3)-5•(-5)=19

_{ }= -(2•4-5•6) =22

_{ }=6•(-2)-3•(-5) =3

_{ }= - (2•(-2)-6•(-5))= -26

_{ }= 2•3-6•6= -30
Обратная матрица.



Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.



=_{ }=

= _{ }
Обратная матрица найдена верно
Ответ:


Здание 3 Даны векторы

Найти:

a) угол между векторами и ;

b) проекцию вектора на вектор ;

c) векторное произведение ;

d) площадь треугольника, построенного на векторах .

Решение:

а) Найдем скалярное произведение векторов:

_{ }=2 · 1 + 2 · (-4) + 1 · (-2) = 2 - 8 - 2 = -8

Найдем длины векторов:





Найдем угол между векторами:

_{ } = _{ }

b) найдем проекцию вектора на вектор


c) векторное произведение




d) площадь треугольника, построенного на векторах равна:

_{ }= _{ }.
Здание 4 Даны координаты вершин треугольника

1. 
   А)составить уравнение стороны АВ
   
2. 
   составить уравнение высоты АD
   
3. 
   найти длину медианы ВЕ
   
4. 
   найти точку пересечения высот треугольника АВС.
   

Решение:

1. 
   составить уравнение стороны АВ
   

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:



Подставим в формулу координаты точек:



В итоге получено каноническое уравнение прямой:



Или


Из уравнения прямой АВ в каноническом виде получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = x – 4

2. 
   составим уравнение высоты АD
   

Прямая АD перпендикулярна прямой ВС, т.е. перпендикулярна вектору_{ }=_{ }, тогда уравнение высоты АD имеет вид:



_{ }16. Уравнение <sub> 

 </sub>, или _{ }.

Уравнения прямых АD и АВ совпадают, т.е. треугольник АВС прямоугольный.

3. 
   найти длину медианы ВЕ
   

Точка Е – середина отрезка АС.

Найдем координаты точки _{ }или _{ }.

Длина медианы ВЕ равна длине вектора _{ }:

_{ }.

4. 
   найдем точку пересечения высот треугольника АВС.
   

Т.к. треугольник АВС прямоугольный, угол В – прямой, то точка В(3,-1) – это точка пересечения высот треугольника ABC.

Ответ:
а) y = x – 4.

b) _{ } или _{ }.

c) _{ }.

d) (3,-1) – точка пересечения высот треугольника ABC.

Здание 5 Даны координаты вершин пирамиды

A 2; 2;1; B0; 2; 4 ; C  5;1;0 ; D1;4;1

Найти:

a) уравнение плоскости ABC;

b) уравнение прямой AD;

c) угол между плоскостью ABC и прямой AD;

d) объём пирамиды АВСD.

Решение:

1. 
   уравнение плоскости ABC
   

Для составления уравнения плоскости используем формулу:


Подставим данные и упростим выражение:



(x –2)(0·(-1)-(-5)·3) – (y +2)((-2)·(-1)-(-5)·(-7))+(z –1)((-2)·3-0·(-7)) = 0,
15x + 33y - 6z + 42 = 0,
5x + 11y - 2z + 14 = 0.

2. 
   уравнение прямой AD:
   

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:



Так как: _{ } = 0, то уравнение прямой в каноническом виде записать нельзя.

Составим параметрическое уравнение прямой.

Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:

_{ } ,где {l; m; n} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор _{ };

(_{ }, _{ }, _{ }) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A (2; -2;1).

В итоге получено параметрическое уравнение прямой:

3. 
   угол между плоскостью ABC и прямой AD
   

Найдем угол между прямой _{ }

и плоскостью _{ }

Направляющий вектор прямой имеет вид: _{ }.

Вектор нормали плоскости имеет вид:_{ }.

Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:

_{ }= _{ }

4. 
   объём пирамиды АВСD
   

Найдем вектор по координатам точек:

_{ } = {B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z} = {0 - 2; -2 - (-2); -4 - 1} = {-2; 0; -5}

_{ } = {C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z} = {-5 - 2; 1 - (-2); 0 - 1} = {-7; 3; -1}

 _{ }= {D_x - A_x; D_y - A_y; D_z - A_z} = {1 - 2; 4 - (-2); 1 - 1} = {-1; 6; 0}

Объём пирамиды АВСD равен:



Найдем смешанное произведение векторов:



_{ }.



Ответ:
а) 5x + 11y - 2z + 14 = 0.

b) _{ }

c) _{ }, _{ }

d) _{ }.