дискретная математика 7 вариант. Документ. Решение. Действительно Так как, то

• Название: Решение. Действительно Так как, то
• Анкор: дискретная математика 7 вариант
• Дата: 28.08.2022
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Документ.doc
• Тип: Решение; #654875

ВАРИАНТ 7

1.Определить операции ∪ и \ (каждую по отдельности) через операции Δ и ∩.

Решение.



Действительно:

Так как , то:

1). По определению операции : множество - состоит из всех элементов, принадлежащих , но не принадлежащих . А это и есть множество элементов _.



2). По определению операции : множество - состоит из всех элементов, принадлежащих , но не принадлежащих - а это и есть множество .



2. Является ли тавтологией формула ?
Решение.

Предположим, что формула ложна при некоторых значениях переменных . Представим рассуждения в виде таблицы, в которой каждая последующая строка есть логическое следствие предыдущей:

Л = И Л И, (*)

И,

И И И, (т.к.(*): И И)

Л Получили значения переменных ( И, И, Л), при которых формула ложна: Л, следовательно, данная в условии формула

не является тавтологией.

3. Переведите с естественного языка на язык логики предикатов:

Для любого натурального числа найдется большее его простое число.


Решение.

Универсум: ={натуральные числа}.

Предикаты:

« х – простое число»,

« х – больше, чем у ».

Формула: .

4. Переведите с естественного языка на язык логики предикатов:

Все лягушки, увидев аиста, прыгают и квакают.


Решение.

Универсум: М = {лягушки}.

Предикаты:

« х увидела аиста»,

« х прыгает и квакает»,

Формула: .

5. Для бинарного отношения x ρ y ⇔ «x перпендикулярна y», определенного на множестве всех прямых плоскости, выясните, какими свойствами оно обладает (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) и какими не обладает.
Решение. Рассмотрим наличие свойств у заданного отношения:

а) рефлексивность :

для любого «x перпендикулярна х» - это не верно, следовательно,

- не рефлексивно;

б) симметричность:

для любых «x перпендикулярна y» «у перпендикулярна х» , следовательно, - симметрично;

в) антисимметричность:

если для любых «x перпендикулярна y»и «у перпендикулярна х» ,то

отсюда не следует, что , следовательно, - не антисимметрично;

г) транзитивность:

пусть для любых « x перпендикулярна y»и «у перпендикулярна z»

отсюда не следует, что « х перпендикулярна z» (так как в этом случае прямая х будет параллельна z) , поэтому - не транзитивно.

Таким образом, заданное отношение обладает симметричностью, и не обладает рефлексивностью, антисимметричностью, транзитивностью.

6. На множестве R вещественных чисел задано отношение . Докажите, что это отношение эквивалентности, и найдите классы эквивалентности.
Решение.

1) заданное на множестве R отношение рефлексивно, так как для любого выполняется ;

2) заданное на множестве R отношение симметрично, так как для любых из следует выполнение ;

3) заданное на множестве R отношение транзитивно, так как для любых из того, что следует выполнение .

Таким образом, данное отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно и , следовательно, - по определению эквивалентности,- оно является отношением эквивалентности на множестве R.

Класс эквивалентности, порожденный элементом :

,

класс эквивалентности, порожденный нулем: .

7. Используя математическую индукцию, докажите, что



Решение.

Базис индукции: при равенство выполняется .

Индуктивный переход: пусть при произвольном исходное равенство верно, то есть : (1)

докажем, что исходное равенство выполняется при .

Запишем сумму из членов последовательности и воспользуемся равенством (1):



Что и требовалось доказать.

Таким образом, равенство верно для всех .

8. Расположите следующие 5 функций в порядке увеличения скорости роста (каждая функция есть O(следующая)):

Решение.

1)

докажем с помощью предела: .

2)

докажем с помощью предела:

расширим область определения функций на всю числовую ось (пусть ) и применим правило Лопиталя:



3)

докажем с помощью предела:



Здесь было использовано, что для верно неравенство: . Докажем это методом математической индукции. Действительно, база индукции: .

Индуктивный переход: пусть при выполняется , тогда для .
4)

докажем с помощью предела:

В итоге получаем :

, , , .