КР3 Высшая математика Лизунов АА. Решение. Для нахождения точек экстремума, применим необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции
![]()
|
Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Дальневосточный государственный университет путей сообщения АмИЖТ – филиал ДВГУПС в г. Свободном Кафедра «Высшая математика» Контрольная работа №3 По дисциплине: «Высшая математика» Вариант № 3 Выполнил: Лизунов Андрей Александрович Шифр: 21 – ЭЖД(С) лет– 463 Проверила: Буря Л.В Свободный 2022г. Задачи 200-300 203. Дана функция двух переменных. Найти первые и вторые частные производные: ![]() ![]() Решение. Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными. Найдем частные производные первого и второго порядков функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 213. Исследовать функцию ![]() ![]() Решение. Для нахождения точек экстремума, применим необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции: ![]() ![]() ![]() ![]() Получаем: ![]() Точки ![]() Для проверки наличия и характера экстремума функции в точке требуется определить знак определителя ![]() Вычислим частные производные второго порядка: ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() Определяем характер точки экстремума: В точке ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() Так как ![]() ![]() Тогда ![]() Ответ ![]() 223. Дана функция скалярного поля ![]() 1) построить линии уровня ![]() 2) найти производную функции u в точке A по направлению вектора ![]() 3) найти ![]() 4) найти наибольшую скорость изменения функции в точке A. ![]() ![]() ![]() Решение. 1) Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D(z), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение. Семейство линий уровня определяется уравнением ![]() Это семейство веток параболы. Тогда для ![]() ![]() Найдем частные производные функции ![]() Частная производная по переменной х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменных у и z и обозначается ![]() ![]() При вычислении ![]() ![]() Вычислим значения частных производных в точке ![]() ![]() ![]() 2) Производная функции ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Для вектора ![]() ![]() ![]() Тогда производная функции u в точке A по направлению вектора ![]() ![]() 3) Градиент функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() 4) Модуль вектора градиента функции равен наибольшей скорости изменения функции в заданной точке. Находим: ![]() 233. Прейти к полярным координатам и вычислить. ![]() ![]() ![]() Решение. Выполним схематический чертеж области: ![]() Перейдем к полярным координатам по формулам: ![]() Тогда: ![]() Заданная область получается при: ![]() Применяя формулу: ![]() Получаем: ![]() Ответ: ![]() 243. Найти работу силы ![]() вдоль дуги линии ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Работа находится по формуле: ![]() Находим: ![]() ![]() ![]() ![]() 253. Дан числовой ряд ![]() а) ![]() ![]() ![]() Решение. а) ![]() Придавая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Исследуем на сходимость по признаку Даламбера. ![]() ![]() Тогда: ![]() на основании признака Даламбера заключаем, что исследуемый ряд сходится. б) ![]() Придавая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Исследуем на сходимость используя радикальный признак Коши. ![]() Поскольку ![]() в) ![]() Придавая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним ряд ![]() ![]() Тогда: ![]() ![]() ![]() Значит, ряд ![]() 263. Дан знакочередующийся числовой ряд ![]() а) ![]() ![]() Решение. а) ![]() Придавая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ряд знакочередующийся. Воспользуемся признаком Лейбница: 1) ![]() 2) ![]() ![]() Следовательно, исходный ряд сходится. Составим ряд из модулей членов ряда: ![]() Воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним ряд ![]() ![]() Тогда: ![]() ![]() ![]() Значит, ряд ![]() Значит, заданный ряд сходится абсолютно. б) ![]() Придавая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ряд знакочередующийся. Воспользуемся признаком Лейбница: 1) ![]() Следовательно, исходный ряд расходится. 273. Определить область сходимости данного степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на границах области. ![]() Решение. Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: ![]() Т.к. ![]() ![]() ![]() Итак, радиус сходимости ряда ![]() ![]() Т.о., ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() Для членов полученного ряда выполняются условия: ![]() В соответствии с признаком Лейбница данный ряд сходится и ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() Применим предельный признак сравнения. Общий член исследуемого ряда ![]() Будем сравнивать с расходящимся обобщенным гармоническим рядом ![]() ![]() ![]() Следовательно, ряд сходится и ![]() ![]() Ответ: ![]() 283.Вычислите определенный интеграл ![]() ![]() Решение. Воспользуемся разложением подынтегральной функции в ряд. Используем формулу: ![]() Получаем: ![]() Тогда заданный интеграл: ![]() ![]() Т.к. второй член разложения ![]() ![]() Ответ: 0,016. 293. Разложить данную функцию ![]() ![]() ![]() Решение. Разложение функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Разложение функции в ряд Фурье примет вид: ![]() Ответ: ![]() Список литературы Математика: Практикум: Учебное пособие. Ч. Часть 2 2018, Северо-Кавказский Федеральный университет (СКФУ) Математика: Учебное пособие 2015, Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В., Юнити Математика:учебник 2017, Сахарова Л.В., Издательско – полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ). |