ММИ1 23В. Решение нелинейных алгебраических уравнений Будем рассматривать задачу приближенного нахождения нулей функции одной переменной
 Скачать 68.7 Kb.
|
|
1. Решение нелинейных алгебраических уравнений Будем рассматривать задачу приближенного нахождения нулей функции одной переменной  .Теорема 1 (Больцано–Коши). Если непрерывная на  функция  на концах его имеет противоположные знаки, т. е. ,то на интервале (a, b) она хотя бы один раз обращается в ноль. Метод Ньютона При наличии хорошего приближения  к корню  функции f(x) можно использовать метод Ньютона, называемый также методом линеаризации или методом касательных. Расчётные формулы метода могут быть получены путём замены исходного уравнения f(x) = 0 линейным уравнением в окрестности корня (1.1)Решение этого уравнения принимается за очередное приближение к искомому корню уравнения  (1.2) Метод Ньютона имеет простую геометрическую интерпретацию:  Необходимые условия сходимости метода Ньютона: 1. Функция  должна быть дважды дифференцируема и непрерывна, должна иметь непрерывную первую производную, а  2.  на всем промежутке, содержащем корень  3.  сохраняет знак на  – функция выпукла вверх, -  функция выпукла вниз.4. Начальное приближение  Метод бисекций (половинного деления) Условие наличия корня  Вычисляется середина отрезка  Если  , то x– корень уравнения.В противном случае выбирается тот из отрезков [a, c] или [c, b], на концах которого функция практически невозможно, то вычисления завершаются при условии  , где ε – точность (малое число). Метод простой итерации Пусть решается уравнение . Заменим его равносильным  . (3.12)Выберем начальное приближение  и подставим в правую часть уравнения (3.12) и получим  . (3.13)Подставляя в правую часть уравнения (3.13)  вместо получим  . Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел (3.14)Если это последовательность сходящаяся, т.е.  , то, переходя к пределу в уравнении (3.14), получим  .Предполагая  непрерывной, получим .Теорема (о простых итерациях). Пусть определена и дифференцируема на , причем все её значения принадлежат . Тогда, если  – правильная дробь:  , то при  :1) процесс итерации  сходится независимо от начального значения  ;2) предельное значение  является единственным корнем уравнения на  .Вариант 23 Дано уравнение   График функции:  Определяем интервал изоляции корня  Метод Ньютона Sub Метод_Ньютона() x = 3 Cells(2, 4) = x For i = 1 To 20 x = x - (1 + Exp(-(x ^ (1 / 2))) - Log(x)) / (-0.5 * (x ^ (-1 / 2)) * Exp(-(x ^ (1 / 2))) - 1 / x) Cells(i + 2, 4) = x Next End Sub Метод бисекций Sub Метод_бисекций() a = 3 b = 3.5 c = (a + b) / 2 Cells(2, 2) = c For i = 1 To 20 c = (a + b) / 2 If f(a) * f(c) < 0 Then a = a b = c Cells(i + 2, 2) = c ElseIf f(b) * f(c) < 0 Then a = c b = b Cells(i + 2, 2) = c End If Next End Sub Метод простой итерации Sub Метод_простых_итераций() x = 3 Cells(2, 3) = x For i = 1 To 100 x = x - (1 + Exp(-(x ^ (1 / 2))) - Log(x)) / (-4.5) Cells(i + 2, 3) = x Next i End Sub Расположим все вычисления в таблице:
Вывод: быстрее всех сходится метод Ньютона, а метод простых итераций – дольше всех. |