Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка
 Скачать 96.5 Kb.
|
|
Практическое задание: Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. y’=2x; x+yy’=0; y’=x+1. Теоретический материал и примеры решения дифференциальных уравнений. 1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: 1) независимую переменную  ;2) зависимую переменную  (функцию);3) первую производную функции:  .Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций  , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.Пример 1 Решить дифференциальное уравнение   .  В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:  Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы». Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Интегрируем обе части:   Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.Вместо записи обычно пишут  .В данном случае:   Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение. Множество функций  является общим решением дифференциального уравнения .Придавая константе  различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию  По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение.   Интегрируем уравнение:     Итак, общее решение:  . На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:  В общее решение  подставляем найденное значение константы  : – это и есть нужное нам частное решение.Пример 3 Решить дифференциальное уравнение  Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:  Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:   Переменные разделены, интегрируем обе части:     Решение распишу очень подробно:     Ответ: общий интеграл:  Примечание:общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение. Пример 4 Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию  . Выполнить проверку.Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы  и  , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные: Интегрируем уравнение:     общее решение:  Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию   Подставляем найденное значение константы  в общее решение.Ответ: частное решение:  |