Сопротивление материалов. решение сопромат растсж и изгиб. Решение Определение внутренних усилий и напряжений
 Скачать 340.18 Kb.
|
|
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении сжатии Задача 1. Для заданных расчетной схемы (рис. 1.1), выбранных в соответствии с шифром, выполнить расчеты на прочность и жесткость: определить внутренние силовые факторы по участкам и построить эпюры, определить положение опасного сечения, из условия прочности подобрать размеры поперечных сечений, определить деформации каждого из участков в отдельности, построить эпюры перемещения сечений. Данные для расчета    рис 1.1 Заданная схема Решение Определение внутренних усилий и напряжений. В защемлении возникает опорная реакция R, вычислять которую нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом из участков, проецируя силы на продольную ось бруса. 1-й участок  2-й участок  3-й участок  Определим напряжения в размерности     Строим эпюру внутренних усилий и напряжений в размерности  Рис.1.2 Проверка: Сечениям, к которым приложена сосредоточенная сила, на эпюре N соответствуют скачки на величину приложенной силы и в направлении ее действия: Сечение g:  (скачек в плюс)Сечение f:  (скачек в плюс)Сечение e:  (скачек в минус)Определив напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок 2. Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет, поскольку они сопротивляются растягивающим и сжимающим нагрузкам одинаково. Проектный расчет. Из условия прочности при растяжении находим требуемое значение площади поперечного сечения  Допускаемое напряжение назначено для Ст.6. Вычислив фактические напряжения на каждом из участков, строим эпюру напряжений  ;   ;   ;  Деформация бруса. Удлинения каждого из участков определим, используя закон Гука при растяжении:    Для построения эпюры перемещения сечений начало отсчета выберем в сечении d, поскольку оно неподвижно (защемлено).     Строим эпюру перемещений сечений  Рис.1.3 Вывод: Найдено положение опасного участка в ступенчатом брусе. Из условия прочности подобрана площадь поперечного сечения опасного участка. Исходя из заданного соотношения площадей, вычислены площади поперечных сечений остальных участков. Рассчитаны деформации каждого из участков, построена эпюра перемещений сечений; полная длина бруса увеличилась на 2,858 мм. Расчет на прочность при изгибе Задача 3. Для стальной балки (рис. 3.1), подобрать поперечное сечение в нескольких вариантах исполнения: двутавровое, прямоугольное с отношением высоты к ширине h/b = 1,5, круглое и трубчатое c отношением d/D = 0,8. Варианты исполнения сопоставить по металлоемкости. Выполнить проверку прочности по касательным напряжениям.  Рис.3.1 Данные для расчета Решение Построим расчетную схему в масштабе, в местах опор приложим соответствующие реакции  Рис.3.2 Расчетная схема Определение опорных реакций. Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю: ∑MB = - RA·1.6 + q·1·(1.6 + 1/2) - M0 = - RA·1.6 + 25·1·(1.6 + 1/2) - 30 = = - RA·1.6 + 25·1·2.1 - 30 = - RA·1.6 + 22.5 = 0 ⇒ ⇒ RA = 22.5/1.6 = 14.0625 кН; Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю: ∑MA = RB·1.6 - q·1·1/2 – M0 = RB·1.6 - 25·1·1/2 - 30 = RB·1.6 + 25·1·0.5 - 30 = = RB·1.6 - 17.5 = 0 ⇒ ⇒ RB = 17.5/1.6 = 10.9375 кН; Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось: ∑Y = RA + RB - q·1= 14.0625 + 10.9375 - 25·1 = 14.0625 + 10.9375 - 25 = 0; Определение внутренних усилий Составим аналитические выражения Q(x) и M(x) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках. Удобно на первом участке рассматривать равновесие левой, а на втором – правой отсеченной части балки.
 Рис.3.3 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Строим эпюры Q и М, и выполняем проверку правильности их построения: на участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q параллельна базисной линии, а эпюра моментов – наклонная прямая (участок II); на участках, где равномерная распределенная нагрузка действует, эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра моментов ограничена параболой, выпуклость которой совпадает с направлением распределенной нагрузки (участок I); на участках, где Q отрицательна, значения М убывают; в сечениях, где приложены сосредоточенные силы (в нашем случае это реакции в опорах), на эпюре Q скачки в направлении этих сил и на их величину, а на эпюре М – изломы в направлении действия этих сил; в том сечении, где приложен момент на эпюре М ему соответствует скачек на величину приложенного момента и в направлении его действия. Из эпюры моментов следует, что опасным является крайнее левое сечение, где момент принимает значение Мmax=30 кНм. Проектный расчет Из условия прочности при изгибе находим требуемое значение момента сопротивления, ориентируясь на рекомендуемые значения допускаемого напряжения  для Ст.6.
Найденному значению момента сопротивления соответствуют следующие размеры поперечных сечений:
Металлоемкость балки определяется ее объемом, то есть произведением длины на площадь поперечного сечения. Поскольку длины балок одинаковы, сопоставим площади поперечных сечений различных форм с двутавровым:  ;  Самое неэкономичное сечение – круг. Распределение напряжений по высоте поперечного сечения Опасным для заданной схемы нагружения является крайнее левое сечение с максимальным изгибающим моментом. Однако поперечная сила в этом сечении равна нулю. Максимальные касательные напряжения возникнут в сечении над опорой А. Qmax=25 кН. Касательные напряжения в произвольной точке вычисляют по формуле  где  – поперечная сила;  – ширина сечения на уровне той точки, в которой вычисляют напряжение;  – момент инерции.Переменным параметром в формуле является  – статический момент отсеченной части площади; зависит от ординаты у во второй степени. Поэтому касательные напряжения описываются уравнением параболы. Поперечная сила во всех сечениях балки отрицательна; она определяем знак касательных напряжений.На основе приведенной формулы для некоторых часто применяемых сечений найдены выражения, по которым вычисляют максимальные касательные напряжения и выполняют проверку прочности, сопоставляя их с допускаемыми касательными напряжениями. Для стали Ст6 согласно рекомендациям,  .
Прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом. Тем самым подтверждается положение о том, что при расчете на прочность длинных балок (l  10h) влиянием поперечных сил можно пренебречь.Выводы Из условия прочности найдены размеры поперечных сечений балок различных вариантов исполнения. Размеры округлены до стандартных значений Сопоставлены металлоемкости балок различных вариантов исполнения. По сравнению с двутавровым сечением самым неэкономичным является круг Произведена проверка сечений по касательным напряжениям | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по таблице сортамента
