Математика олимпиада. Решение. Сторона каждого треугольника 22228см, тогда периметр равен 8864 см. Ответ 64 см
 Скачать 113.62 Kb.
|
1 2 5 класс 1.(2б) В числе 3 728 954 106 зачеркнуть три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили бы наименьшее семизначное число. Ответ: 2 854 106. 1б, если угадано семизначное число, но не являющиеся наименьшим 2. (3б)Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны. Радиус каждой из окружностей равен 2 см. Окружности касаются друг друга и сторон квадрата. Чему равен периметр «звездочки», нарисованной жирной линией?  Решение. Сторона каждого треугольника 2+2+2+2=8см, тогда периметр равен 8*8=64 см. Ответ: 64 см 3. (4б) В данном примере различные цифры зашифрованы различными буквами. Определите, какое равенство зашифровано: ОТВЕТ + ОЧЕНЬ = ПРОСТ Решение. Зашифрованное равенство: 34214 + 35170 = 69384. 4.(4б) Как разложить семь алмазов в четыре одинаковые шкатулки, чтобы вес всех шкатулок получился одинаковым, если вес алмазов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. граммов. Ответ обоснуйте. Решение Вес одной доли алмазов равен 7 г. Ответ: 7 + (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4). 5.(4б) Четыре ученика – Витя, Петя, Юра и Сергей – заняли на математической Олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы: а) Петя – второе, Витя – третье; б) Сергей – второе, Петя – первое; в) Юра – второе, Витя – четвертое. Укажите, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть. Ответ обоснуйте. Ответ: I – Петя, II – Юра, III – Витя, IV – Сергей. 6 класс 1.(2б)В двузначном числе в два раза больше единиц, чем десятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами. Найдите это число. Решение. Выпишем все такие двузначные цифры: 12,24, 36, 48. Найдем сумму каждого из них с числом 36.12+36=48, 24+36=60, 36+36=72, 48+36=84. Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только число 48.Ответ: 48. Рис.1 2.(3б)На плоскости даны 6 точек, расположенных в виде прямоугольника так, как указано на рис. 1. Сколько существует треугольников, у которых одна вершина находится в точке А, а две другие – в каких-либо остальных точках? Сколько существует таких треугольников, у которых одна вершина находится в точке F?  Решение.  Указание. Обозначив буквами все остальные точки (рис.2.), нетрудно указать все треугольники: ABF, ABE, ACD, ACF, ACE, ADF, AEF. Рис. 2 Во втором случае также 9 способов. Ответ: по 9 способов. 3.(4б) Если Коля купит 11 тетрадей, то у него останется 7 рублей, а на покупку 15 тетрадей ему не хватит 5 рублей. Сколько денег у Николая? Ответ обоснуйте. Ответ: 40 рублей. 4.(4б) У мамы четыре дочери Поля, Валя, Катя и Маша. Девочки играли и разбили вазу. На вопрос: «Кто это сделал?» Поля, Валя и Катя ответили: «Не я», а Маша – «не знаю». Потом оказалось, что две из них сказали правду, а две неправду. Знает ли Маша, кто разбил вазу? Ответ объясните. Решение. Среди ответов Поли, Вали и Кати может быть только один ложный ответ, иначе при двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое. Тогда вторым ложным ответом будет ответ Маши. Значит, Маша знала, кто разбил стекло. 5. (4б) Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + …..+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте. Решение Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007. Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007. Ответ: будет. 7 класс 1.(2б) Какими цифрами можно заполнить “кроссворд” С О Н О К О Н О С, Если по всем горизонталям и вертикалям стоят точные квадраты? (учитывается количество указанных вариантов) Решение. Среди трехзначных чисел, являющихся точными квадратами, есть только три с одинаковыми цифрами единиц и сотен: 121, 484, 676, причем в качестве числа ОКО подходит лишь 676. В свою очередь, точных квадратов с цифрой 6 в середине всего два – это 169 и 961. Отсюда следует, что “кроссворд” можно заполнить двумя способами. Ответ: 169 961 676 и 676 961 169. 1б, если угадан 1 вариант 2. (3б) Разделите фигуру рис.1 на две равные части так, чтобы из них можно было составить квадрат:  Решение  2б, если угадан 1 вариант. 1 2 |